Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители (2004) (1095461), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Транспоннрованне матрицы Построим новую матрицу А', столбцами которой являются соот- ветствующие строки матрицы А: Матрица А' называется транспонированной матрицей А, Операция преобразования матрицы А в матрицу А называется транспонированием матрицы А. Пример 3.10. Транспонировать матрицу А (Ат)т 0 1 1 -1 1 1 (АВ) = В А'. Х+У 2Х+ЗУ 2 -1 3 б 4 -7 8 2 4 -1 0 6 Операция транспонирования обладает следующими свойствами, 1) Если матрицу транспонировать дважды, то получится исходная матрица: (это свойство очевидно из определения транспонирования). 2) Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированньгх матриц: (А + В)т =,4Т + Вт (что также очевидно), 3) Транспонированное произведение матрицы А на матрицу В равно произведению транспонированной матрицы В на транспонированную матрицу А: (Проверьте это свойство на матр1щах А и В примера 3.4.) 4) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется: с1еьА = с)ес А.
(Это свойство является прямым следствием первого свойства опре- делителя.) 3.5. Элементарные преобразования матриц Определение З.б. К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования над ее строками нли столбцами: 1) умножение строки (столбца) матрицы на ненулевое число; 2) добавление к одной строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца) той же матрицы; 3) перестановка двух строк (столбцов) матрицы местами. Определение 3.7. Матрицы А и В, которые можно получить друг из друга с помощью элементарных преобразований„называются эквнвалентнымн: А В, Пример 3.11, Римские цифры напротив строк и над столбцами матрицы указывают, какие именно элементарные преобразования проводятся на данном шаге. Ул)эалснопил длл самостзятельной работы 1. Решить систему матричных уравнений В задачах 2 — 5 найти произведения АВ и ВА.
2А=(2 — 3 О), В= 3 1Р,Найти 11 Най 1, вша сова / 2 0 1 -1 -1 2 5 -7 4.А = -1 2 2 -3 — 3 -2 4 2 2 1 1 -2 -3 4 1 В= 1 1 1 Х= 3 1 2 231 ЗП6 0 0 2075 528 0 0 652 769 0 О 841 154 0 О 0 0 0 0 О О О 0 525 1421 114 85 41 154 716 895 4, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА (4 6) необратимая, б. Перемножить матрицы А, В и С сначала в последовательности (АВ)С, а затем в последовательности А(ВС) и убедиться, что результаты совпадают. 7. Вычислить произведение матриц сова — зша ~ ( сова — в1п13 ~ вша сова / 1, вш,6 сов,б ( ' 8,Наитипроизведенне ( х1 хз ) ~ ) ~ ' ) .
) ~*.) 9. Вычислить А — ВА, где А= 2 1 2, В= -4 2 0 12, Найти значение многочлена 1(Х) = Хз — Х вЂ” 1 при 13, Доказать, что каждая матрица второго порядка А ~а Ь'1 — ~ удовлетворяет уравнению Х -(а+6)Х+(ай-Ьс) = О. з ~с а,/ 4Л. Определение и существование обратной матрицы Определение 4.1, Матрица В называется обратной к квадратной матрице А, если Матрица, обратная к А, обозначается А ' и имеет тот же порядок, что и матрица А. Если обратная матрица А ' существует, то матрицу А называют обратимой. Если матрица А обратима, то матрица А з тоже обратима и ее обратная матрица есть А. Матрица может иметь не более одной обратной матрицы. Теорема 4.1.
Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена, т.е. ее определитель отличен от нуля, Пример 4Л, Показать, что матрица Пример 4.3. Найти А ', если А= 2 1 -2 аи — — Анв А21 А22 423 — 3 -6 -6 -4 — 1 6 — 5 4 -3 А = — А, 1 1 йе4 А (3 5)' Решение. Действительно, ее определитель равен О. Поэтому, согласно теореме 4.1, она не имеет обратной. 42. Способы вычисления обратной матрицы Метод присоединенной матрицы Определение 4.2. Матрица А называется присоединенной к квадратной матрице А, если для любых номеров 1 и у где аб — элемент матрицы А, расположенный в ее г-й строке и 1-м столбце; А;3 — алгебраическое дополнение элемента ан матрицы А, Таким образом, присоединенная матрица есть транспонированная матрица алгебраических дополнений. Алгоритм вычисления обратной матрицы основан на следующей теореме: Теорема 4.2.
Ясли матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель отличен от нуля, то Поэтому алгоритм состоит из следующих шагов: а) вычисление определителя матрицы; б) нахождение матрицы из алгебраических дополнений; в) транспонироваиие матрицы, полученной на предыдущем ша- ге; г) деление каждого элемента матрицы, гюлученной на предыдущем шаге, на число, равное определителю первоначальной матрицы. Пример 4.2. Найти А 1, если Решение.
Учитывая, что бег А = -1, последовательно получим: Решение. В этом случае, с)еа А = — 21. Далее получим: А= — 6 — 1 4 -3 -4 -5 1/7 4/21 5/21 А 1 = — -6 -1 4 = 2/7 1/21 -4/21 — 6 б — 3 2/7 — 2/7 1/7 Менлод элементарных преобразований Здесь и далее будем записывать матрицу, полученную из матрицы А приписыванием справа матрицы В тех же размеров, в виде (А/В). Алгоритм вычисления основан на следующей теореме: Теорема 4.3. Если матрица А является невырожденной, то с помощью элементарных преобразований строк матрицу (А~В) можно преобразовать к виду (В~В).
При этом матрица В будет обратной матрице А, Алгоритм состоит из следующих шагов: К квадратной матрице А приписываем справа единичную матрицу тех же размеров. Находим в 1-м столбце матрицы (А ~ Е) ненулевой элемент и переставляем строки (если необходимо) так, чтобы этот элемент был в 1-й строке. Добавляем к каждой строке (исключая первую) последовательно 1-ю строку, умноженную на такие числа, чтобы в полученных строках в 1-и столбце стояли нули.
Находим во 2-м столбце получившейся матрицы ненулевой элемент, который не находится в 1-й строке, и переставляем строки (если необходимо) так, чтобы этот элемент был во 2-й строке, а 1-я строка осталась иа своем месте. Добавляем к каждой строке (исключая вторую) последовательно 2-ю строку, умноженную на такие числа, чтобы в полученных строках во 2-м столбце стояли нули. Находим в 3-м столбце получившейся матрицы ненулевой элемент, который не находится в 1-й и 2-й строках, и переставляем строки (если необходимо) так, чтобы этот элемент был в 3-й строке, а 1-я и 2-я строки остались на своем месте.
Добавляем к каждой строке (исключая третью) последовательно 3-ю строку, умноженную на такие числа, чтобы в полученных строках в 3-м столбце стояли нули. Если и > 3, где и — порядок матрицы А, то проведем последовательно вышеуказанные шаги с 4-м, 5-м и т.д.
до номера и включительно столбцами. В любом случае получим матрицу (Сф), где С вЂ” диагональная матрица. Домножим каждую строку матрицы (С~11) на соответствующее ненулевое число так, чтобы на месте матрицы С получилась единичная матрица. Пример 4.4. Найти А А с помощью элементарных преобразований, если А=(~ решение. Построим матрицу (Ащ. 0 -1 -31 -П 01 3 -1 таким образом, -5 2 Пример 4.5. Найти А ' с помощью элементарных преобразо- ваний, если А= 2 1 — 2 Решение.
В эгом случае 1 2 (А~Е) =- 2 1 2 — 2 1 — 2 1 1 0 0 0 1 0 П вЂ” 21 0 0 1 1П вЂ” 21 2 — 3 — 4 — 6 — 1 О 0 1+ — П 1 0 3 0 1 П1 2П 5 2~3 0 21 1 0 П+ -Ш 4 1 0 -5/3 3 4 0 0 7 С помощью элементарных преобразований добьемся того, чтобы' два первых столбца этой матрицы абразовываяи еди~щчную магри цу второго порядка; 28 1 О О 1/7 4/21 5/21 0 -3 0 -б/7 -1/7 4/7 0 0 7 2 — 2 1 1 0 0 1/7 4/21 5/21 О 1 О 2/7 1/21 -4/21 0 0 1 2/7 -2/7 1/7 АХ=В, ХА=В, АХВ=С, Таким образом, 1/7 4/21 5/21 А з = 2/7 1/21 -4/21 2/7 -2/7 1/7 Заметим, что мы предварительно не проверяли невырожденность матриц, так как, если матрица — вырожденная, то вышеуказанный алгоритм даст сбой, более точно, на некотором шаге мы не сможем выбрать соответствующий ненулевой элемент.
5.1. Уравнение вида АХ = В Уиражнения для самостоятельной работы В задачах 1 — 3 найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы. А зАХ=А ~В. 3 4 сова — з1па ЗА= 2 1 -2 А з методом элементарных пре- 30 4, Найти обратную матрицу образований. 1 А= 0 0 0 О 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 13 -П1 7 5. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ Матричным уравнением называется уравнение, в котором неизвестным является матрица. Выделим три типа простейших матричных уравнений; Здесь А, В и С вЂ” заданные матрицы, а Х вЂ” неизвестная матрица. Под решением матричного уравнения понимается матрица Х, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Рассмотрим по отдельности матричные уравнения перечисленных типов. Здесь А и  — заданные матрицы, причем матрица А — квадратная, а Х вЂ” неизвестная матрица, Чтобы решить уравнение, домножим обе его части слева на матрицу А з, если конечно она существует, По определению обратной матрицы, А 'А = Е, и поскольку ВХ = = Х,то Х=А зВ.
Это н есть (единственное!) решение исходного уравнения. Понятно, что если матрица А вырождена, т. е, если с1еФА = О, то она не имеет обратной, и этим методом нельзя решить матричное уравнение, Поэтому решение уравнения следует начинать с вычисления определителя матрицы А. Пример 5.1, Решить матричное уравнение Решение. В данном случае 5.2.
Уравнение вида ХА = В с1есА = Х = ВА-' А~= 2 3 -2 Х 1 2 О Следовательно, Решение. Обозначив А= 1 2 О, В= О 1 -1 получим с1ес А = -5 ~ О. поэтому 1 — 3 б 33 А= О 1 2, В= 4 9 -1 1 2 -3 О 1 2 1 3 О Так как с1есА ~ О, то уравнение имеет решение. Найдем его: Х=А 'В= 2 3 -2 4 9 -1 Проверим правильность полученного результата. Подставляя матрицу Х в исходное уравнение, получим: Следовательно, матрица Х вЂ” действительно решение данного уравнения, Замечание 5,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
