Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители (2004) (1095461), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Все свойства определителей, перечисленные в 9 1.3, справедливы и для определителей матриц порядка и при и > 2. На практике при подсчете определителя матриц 4-го порядка и выше, на основе только определения, необходимо, как правило, проводить большой объем вычислений. Поэтому удобнее с помощью свойств 4 н 8 получить большое количество нулей в выделенной строке (столбце) и потом использовать разложение по этой строке (столбцу).
Пример 1.5. Найти определитель матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 12 П 10 0 1 1 1 1 Решение. Сначала получим в четвертой строке три нулевых элемента, прибавив 1-й столбец, умноженный на -1, к каждому оставшемуся столбцу, Разложив определитель по 4-й строке, согласно свойству 3 запишем 1 2 3 4 5 б 7 8 12 11 10 9 1 1 1 1 1 1 2 3 5 1 2 3 12 — 1 — 2 — 3 1 О О 0 1 2 3 1 2 3 — 1 — 2 — 3 Уирашснения длн самостоятельной работы В задачах 1 и 2 вычислить определители матриц 2-го порядка. 3 5 2 1 сова -в1па В задачах 3 и 4 тремя способами (разложеннем по строке или столбцу и с помощью правила Саррюса) вычислить определители матриц 3-го порядка и сравнить результаты, ЗА= 2 -1 2 .
4 А= к 6 к 5. Выяснить, при каком условии справедливо равенство 1 сов а сов ф сова 1 сов у сов(3 сов у 1 б. Вычислить определитель матрицы 5 0 4 2 1 -1 2 1 4 1 2 0 1 1 1 1 7. Вычислить следующий определитель, не развертывая его: 8. Вычислить определитель, разложив его по строке или столбцу, ж р 0 ... 0 0 0 х р ... 0 0 0 0 х ... О О 0 0 0 ...
х у О 0 0 „. 0 я р х -~- з 2 0 сова совр сова 0 сов7 сов )3 сов 'у 0 1 к 1 р 1 ф+ Ю вЂ” 1 2 10 11 2. ВИДЫ МАТРИЦ А= О 5 8 бз В= Например, 2 0 0 0 — 5 0 0 0 4 =2 ( — 5) 4=-40. А = (5). Л 0 ... 0 0 Л ... 0 0 ... 0 Л аы азг " аз О агг " агч 0 О ... а„„ 13 Частными случаями матрицы являются вектор-строка и вектор- столбец. Вектор-строка — это матрица размера 1 х ги А=(аз аг ...
а„). Например, А=(1 0 -1 2 4). Вектор-столбец — зто матрица размера и х 1: Частным случаем матрицы является также число. Действительно, число — зто квадратная матрица 1-го порядка. Например, Выделим несколько важных частных случаев квадратной матрицы. Определение 2.1. Квадратная матрица называется верхнетреугольной или треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже главной диагонали„равны нулю: Определитель треугольной матрицы равен произведению элемен- тов ее главной диагонали. Например, определитель матрицы равен деФ А = 1 5 1 (в чем нетрудно убедиться, вычисляя определитель методом разложения по первому столбцу).
Частным случаем треугольной матрицы является диагональная матрица, Определение 2.2. Квадратная матрица называется диагональной, если у иее отличны от нуля только элементы главной диагонали. Например, 2 0 0 А=- или 8= 0 — 5 0 0 0 4 Понятно, что определитель диагональной матрицы также равен произведению элементов ее главной диагонали. Например: (Проверьте!) Определение 2.3. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали одинаковы, называется скалярной: Очевидно, что определитель скалярной матрицы и-го порядка равен Л". с,у = а,"+6; ~п ад В Ьп Ььз А= 0 0 0 0 равна — нулевая. Пример 3.1. Пусть А=( ),в=(~ Тогда С=А+В= впадают: А = В 4=~ (а;, = Ь;Д Чг, ~.
л=( ' ,) с-( Ь;~ — — Лом. для любых 1 н /. 15 14 Определение 2.4. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной: 1 0 0 Ез, Ез 0 1 0 н т.д. Г1 0'~ 'х01/ 0 0 Единичную матрицу любого порядка будем обозначать буквой Е. Очевидно, что единичная матрица является частным случаем скалярной. Определение 2,5. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Например, матрица 3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ Определение 3.1. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их сооавегпствуюи1ие элементы со- Приведем контрпример. Матрицы не равны друг другу, так как (сп ~ ап, сд ,-ь азз). ЗЛ.
Линейные операции над матрицами К линейным операциям над матрицами относят сложение матриц и умножение матрицы на число. Рассмотрим эти операции. Сложение матриц, Сложение матриц определено только для матриц одинакового размера. Определение 3.2. Суммой матриц А и В называется магрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В,т,е. при любых г н /. Так сумма двух матриц второго порядка < ап аи ~ ( Ьп Ьзз ~ ~ оп+ 6п а э+Ьгз ~ ам аяя / ~ Ьм Ьзз / 1, аж + Ьзз азя + Ьзз / умножение матрицы на число. Определение 3.3. Произведением матрицы А на число Л называется матрица В, все элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на число Л; Так, например, аы адз Лодд Ладя 4В= 1 0 3 -1 4 5 2 3 = 10 15 ( — 1 15) Тогда С 2А 3 — г 3.2.
Умножение матриц 16 Пример 3.2. Умножить матрицу на число Приведем пример композиции сложения матриц и умножения матрицы на число. Пример 3.3. Пусть Произведение матриц определено только в том случае, если число столбцов матрицы, стоящей первой в произведении, совпадает с числом строк второй матрицы. Определение 3.4. Произведением матрицы А размера гд х пд на матрицу В размера пд х 1 называется матрица С размера и х 1, элементы которой определяются по следующему правилу: элемент с; этой матрицы равен сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соответствующие элементы д'-го столбца матрицы В: с; = ацбд + адзбзу + ...
+ а;,6пд~. Пример 3.4. Для матриц А= и В= — 1 4 вычислить произведения АВ н ВА. Решение. Вычислим произведение матрицы А на матрицу В: 1 1+2 (-1)+5 0 1 2+2 4+5 1 — 1 1+0 ° ( — 1)+3 О -1 ° 2+О ° 4+3 ° 1 ) Теперь вычислим произведение матрицы В на матрицу А: ВА= — 1 4 = -5 -2 7 г Из рассмотренного примера ясно, что умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т. е. в общем случае ~ь АВ ~ ВА, 'М;, Пример 3.5. Вычислить произведения АВ и ВА, если А=( ), В=(~ ). Решение. Вычислим произведение А на В: Произведение матрицы В на матрицу А не определено, так как число столбцов перводд матрицы не равно числу строк )второй. $ (АВ)С = А(ВС), А= 0 -8 1 А=( 19 Произведение матриц ассоциативно: т, е.
мы придем к одному и тому же результату, если сначала умножим А на В, а потом полученную матрицу на С, или сначала умножнм В на С, а потом А умножим на полученную матрицу. Пример 3.6. Найти произведение матриц АВС, где Решение. Умножив сначала А на В, а затем полученную матрицу на С, найдем; АВС-(,' ',)(, ',')(,',,')= — 2 -1 0 2 -2 0 Наоборот, умножив сначала В на С, а затем А на полученную ма- трицу, найдем: АСС= (1 АСС=( )(~ С)=( С). Результаты, очевидно, совпадают. Отметим еще одно свойство определителя квадратной матрицы: определитель произведения квакратных матриц равен произведению определителей этих матриц: с1еФ(АВ) = с1е~(ВА) = деьА бе~ В. (Проверьте справедливость этого утверждения для матриц А и В из последнего примера.) Отметим важное свойство единичной матрицы.
Какой бы ни была матрица А, при умножении ее слева или справа иа единичную матрицу Е соответствующего порядка матрица А не изменится: Пример 3.7. Найти произведения матрицы на единичную матрицу справа и слева, Решение. 0 1 0 Π— 8 1 = О -8 1 =А, АЕ= 0 — 8 1 0 1 0 = 0 — 8 1 =А. Из указанного свойства понятно, почему единичная матрица опре- делена именно так, а ни как-нибудь иначе.
3.3. Вычисление матричного многочлена Определение операции произведения матриц открывает путь к определению степени матрицы. Действительно, нетрудно видеть, что при умножении квадратной матрицы на саму себя получится квадратная матрица того же порядка,что н исходная. Бстественно называть такую матрицу квадратом исходной, Пример 3.8. Вычислить квадрат матрицы А; Решение. Решение, -1 0 -1 0 А =А~=( А" = АА...А а симможялилае Пусть задана некоторая матрица ам а1г ...
а1„ азз агг " ага а1 аа ... а„ ам аг1 ... а А азг агг " а г а1„аг „. а„,„ А= — 1 4 2 0 20 В общем случае и-й степенью (п е М) квадратной матрицы на- зовем и-кратное произведение этой матрицы на себя: При и = 0 по определению положим: 1о где Ж вЂ” единичная матрица того же порядка, что и А. Отметим еще раз, что понятие степени определено только для квадратных матриц, так как только квадратную матрицу мох<но умножить на себя саму. Введем теперь понятие матричного многочлена, Определение 3.5.
Сумма целых неотрицательных степеней квадратной матрицы с числовыми коэффициентами называется матричным многочленом: Р„(А) = ЛрЕ+ Л1А+ ЛгА + "+ ЛиА"~ где Лс, Лы Лг, ..., ˄— некоторые числа; А — квадратная матрица. Часто при записи матричного многочлена единичную матрицу опускают: Ра(А) = Ло + Л1А + ЛгАг + " + Л А" Пример 3.9. Вычислить значение матричного многочлена У(А) = 2А — 5А+ 3 1'(А) = 2 — 5 +3 ( -4 -б ) 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
