Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С. Пределы и непрерывность функций (2004) (1095451), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пример 23, Предел х7+ 2хз+ х хе+ 2х2+ 1 1 1ип = 1пп о-+а ха+ хг+ 2х -4а х4+ х+ 2 2 Пример 24. Предел 1 1 4 2хз+хг — х+4 2+ 2+ з 2 11ш х х х *->оо Зхз + 2х — 5 *-~оо 2 5 3 ' + з Замечание. Аналогичный прием применяется при вычислении пределов отношений некоторых иррациональных выражений. Пример 32. Вычислим предел х — 8, (х — 8)(Фхг+ 2зз хи+4) !пп, = !!ш х-таях †х-+8 х — 8 = !!тп(тухг+ 24'х+ 4) = 12, х-+8 Пример 33.
Вычислим предел тУх+ 1 — 1 з х-та тз хи+ 1 — 1 ! ь+1 — ц! 7 ~1-; ц(зтттцт+ за+1'-т! ь О (зтзт- цнии-;-,т%, Фттт ц стет,ц *(КБтт)'~.зжзт+ц 3 *-те х(т/х+ 1+ 1) 2 Этот пример может быть решен и путем замены переменной х + + 1 = у, у -+ 1 при х -Ф О, тттх+ 1 — 1 уз !!пт = !пп х-+о т~/х+ 1 — 1 з-+1 уг — 1 (У вЂ” 1)(У'+У+1) .
у'+у+1 3 з-+~ (у — 1) (у+ 1) тт-+т у+ 1 2 ~Б — 1 Пример 34, Вычислить 1пп х-~т ~/х — 1 Решение. Положимх = у""', у-+ 1прих — т 1, ~/х — 1, у — 1 ти !пп = !пп -+т ~/х — 1 к-+т у" — 1 и (см. пример 22). Неопределенности вида (оо — оо] обычно раскрыванттся путем преобразования к отношению, 20 Пример 35, Вычислим предел 4 1 1, 4 — (х+2) й !' — — 1=!!ш х->г ~ хг — 4 х — 2/ х-+г хг — 4 2 — х , 1 1 = йт — = — 1!пт — = --, х-зг (х — 2)(х + 2) х->г х + 2 4 Пример Зб. Вычислим предел йтп (/Р:~ -Бг-1- 1) = ( 'х~ — 1 — ~а~- 1) (тттхг — 1 +ъЗ + 1) = 1!ш х-+оо ът: 1+~/х~ + 1 — 2 =.
1'пп— =О, (тхг - 1 + хг + 1) Пример 37. Найти Ач. = !пп (/Р+ 1 — х), х-ФХоо Р е ш е н и е. Домножаем и делим /х~+1 — х на сопряженное выражение в первом пределе, во втором зто не требуется: 1 1 А+ = !!тп — = !Оо =О, ++ / г ! 1+ х,-т, / г+ 1+ ]х] А = !!пт (Ба+1 — х) = !1пт (/ а+1+].
]) =+ х-~-оо х Ф оо Пример 38. Вычислить А = 1пп ( — х). Р е ш е н и е. Используем формулу для разности кубов, домножая на неполный квадрат суммы, получаем (хз + 2хг + Зх + 1) — хз А= 1пп т 3 (хз+ 2хг+ Зх+ 1)з + х(ха+ 2хг+ Зх+ 1)з + хг выносим старшие степени в числителе и знаменателе, в результате х (2+ — + — ) 3 х хг А = !птт 2 3 1 з 2 3 1 1 *'"' г~(1+ + + )з+(1.! ! !. )з.! 1~ х хг тз х хг хз Сократив дробь на хз, находим предел 3 1 2+ — +— 2 А= 1ш1 хз х-+аа 2 3 1 ' 2 3 1 Ь 3' (1+ — + — + — )Р+ (1+ — + — + — )3+1 х хз хз х хз хз 8.
ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Теорема 11 (первый замечательный предел). Предел ьбп х 1ип — = 1. х-+О Пример 39. Вычислим предел Фбх Иш — = 1, х-40 Х Фбх, гв!пх 1 х . в1пх . 1 Иш — = Иш~ — — ) = Иш — Иш — =1. х-+о х х-+о~ х ' совх) -ю х ' -~0 сов х Пример 40. Вычислим предел агсгбп х 1ип = 1.
х->О х Положим агсгбп х = у, х = вш у, у -ь О при х — ь О, получим 1ип —, = Ип1, = 1. у, 1 р-~ов!пу р-~о ( у ) в1п у Пример 41. Вычислим предел агс$3 х Ип1 х-~о Х Положим агсьб х = у, х = Ьй у, у -> О при х — ь О, получим 1ип — = 1ип — „= 1. р-+о лбу р-+О ( у ) "ку в1п ах Пример 42. Пусть а ф О, тогда Иш — = а, х->О х в!и ах, в!и ах, вшу 1ип — = а !ип — = 1ип — = а. х->О Х х-+О аХ р-+О у При а = О этот же результат получается непосредственно, 1 — сов х 1 Пример 43. Предел 1ип о хз 2' з х х 2вш — 1 гв1п-хо 1 Иш = Игл — 2 = — 1ип ! — хг ) х->о хз х-~о хз 2 х-~о1 х 2 2 Пример 44, Вычислим предел !бх — гбп х, в1п х 1 — сов х 1 1 1ип = 1ип х-+о хз х-+о х хз сов х 2 Пример 45, Вычислим предел сов ах — сов бх, — 2 вш в!и 1а+Ь)х х!а Ь)хх !ип = 1ис о хз х-+О хз ьбп~ зах и!и! — зьх а+6 а — б бя — аз =-2 1ип з 1ип з = -2( — )( — )=— *-+о х х-ю х 2 2 2 Часто прямое применение первого замечательного предела или следствий из него невозможно нз-за того, что аргумент не стремится к нулю.
Требуется замена переменной. Пример 4б, Вычислить А = Иш с1бгх сЬИ(Я4 — х). и Р е ш е н и е. Введем новую переменную у = — — х, у -+ О при 4 х -+ —, получим 4' Ьйгу, а~Фу~, у у 1 А=1ип сфб(- — 2у) самбу = 1ип — = 1пп! — ) 1ш1~ — ! =2. „,о 2 р-+о Ьбу р-~о! у ~ р-+О~вбу~ 23 з!п 2кх Пример 47, Вычислить А = 1пп —, х-+1 з!п 7~гх Решение, Положим у = х-1, у — » О при х-» 1, получим з!п2 т(у+ 1) з!п(гтгу+ гк) А= !!ш, = !ип у-+о ьйп 7к(у + 1) у->ю з!п(7тгу + 7я) А= 1пп у(у+ 21г), У вЂ” !ип — 1пп(у+ гя) = -гк. у»о згп(у+ к) у-»О — з!п у у-»о соз т Пример 49, Найти А = 1пп х-+О 2х — тг Р е ш е н и е.
Преобразуем исходное 1, созе к — — !1п1 —, Положим у = х — -~ у -+ 2 х-~т х гг 2' 2 лучим выражение: А ГГ О при х -» —, по- 2' 1Г - (у+,) А = — !!ш г 2 у-+о у 2 у-+о у 2 Замечание. Теорема 11 может быть сформулирована так: зш ГГ(х) 1!гп — = 1, где а(х) — » О при х -+ хо. х-+хо о(Х) з!их~ Пример 50, Предел йш — = 1. х-+О ХЗ з!п(х — 1) Пример 51. Предел !пп = 1. х-»1 (х — 1) 1 з!ив Пример 52, Предел 1пп — * = 1. х-»оо 1 х з!п(гггу), з!п(21гУ), У 2к 2 — йп1 — — = — !пп — 1ип згп(7ку) у +о У У-+о Гйп(7.тр) 7гг 7 хз -яз Пример 48.Найти А = йш —, х-Иг З1П Х Р е ш е н и е, Преобразуем исходное выражение: А (х — я)(х + к) = !пп, .
Поло»кнм у = х — ггг у — » О при х — » я, х-» з!п х получим 9.ПРИМЕНЕНИЕВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Теорема 12 (второй замечательный предел). 1пп (1+ -) = е. 1»х х-»оо Х Пример 53. Предел 1!п1 ! 1+у)" = е, что доказывается заменой , +.( 1 Пример 54, Предел 1п(1+ х) к !пп — = !пп 1п(1+ х)х = !пе = 1. х-+0 х х-+О , х Пример 55. Вычислим предел 1пп — = !п а, а > О. х-+О х Решение, Пустьа Ф О,тогдаположиму = ах — 1, у-» О при х — » О а = 1+ у, х 1и а = 1п(1+ у), х =— 1п(1+ у) 1па ах — 1, у 1па 1ип — = 1ип — 1па = = !па.
х-+О х у-+О 1п(1 + у) !Гш Ы~+гг1 у-~0 При а = 1 это равенство проверяется непосредственно. При а = е е* — 1 !пп — = 1, х-+О Х Пример 56. Вычислим предел !пп = а. (1 + х)х — 1 х-»О х Р е ш е н и е. Сделаем замену 1+ х = е", х = е" — 1, у -+ О при х -+ О, после замены е" — 1, е" — 1, у 1ип = Гг 1пп 1пп — = гт. у-~0 еу — 1 у-+О гту у-+О еу — 1 Второй замечательный предел используется при раскрытии неопределенности вида !! х Пример 57.
Вычислить А = 1пп ! — ) х-+хо ~х + 1 Пример бО. Вычислим предел Решение: А = йш [г(1 + д) х ~ = е ~. с>пп 1Ьп х>пп !ип их = 1ип е" и" = е а х «а х-«а 2б А= В '[1+( — ', — 1)~ = !! [(1+ —,) -1 1+У Положим в = —, х = — —, р — > О при х -+ оо х+1 У Другой способ раскрытия неопределенности вида [1" ], т. е.
вычисления предела при х -> а выра>кения и", где и -+ 1, о -+ оо, основан на преобразовании Сделаем замену ш = и — 1 н вычислим предел Вш о 1п и = х-«а !п(ш+ 1) = 1ип и!п(и«+ 1) = 1ии >«>л = !ип(ии«) = !!ш и(и — 1), х-«а х-+а Ю х-«а х-«а поскольку и« вЂ” > О при х -+ а.Таким образом, справедливо следующее утверждение. Вп«п(п-1) Утверждеиие1.Еслии -+ 1прих -+ а,то 1ии цп = е. х-+а «'сов Зхх —,т Пример 58. Вычислим предел 11ш А х-«о ~ сов х .> «(ххах >) 1 лсовЗх х, совЗх — совх, 2в1п2хв!и(-х) Йп — ( — — 1) = 1пи г х-+о хг ~ совх ) х-+с хг совх х-«О ха сов х в!и 2х, вшх, 1 = — 2 !ип — ° 1!ш — ° 11т — = — 2 ° 2 ° 1 ° 1 = — 4.
-+с х х-«о х *-+о сов х Таким образом, А = е 4. Пример 59. Вычислить А = !!т (сов х)'>Я. х-+О Решение. Всилуутвер>кдения1,числоА= е* а * = е !!ш х!1пх — 1п(х+1)) = 1ип х1п — = 1ип 1п( — ) х-«+ОО х-«+со х + 1 х-«+со х + 1 11ш 1и[(! — — ) ~ ~) +' = 1ип 1пе *+т=!ие ~ = — 1.
х — «+сп х + 1 х-«+пп 10. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ЗАДАННОМ СТРЕМЛЕНИИ АРГУМЕНТА Для сравнения чисел а и Ь рассматривают их отношение —, Для Ь сравнения функций Г (х) «д(х) при заданном стремлении аргумента х -> х рассматривают предел их отношения 1ип —. У(х) х-+* д(х) Определение 15. Если !ип — = О, то г'(х) называют бескоЛх) х-+а д(Х) вечно малой по сравнению с д(х) при х -> *. Здесь принято обозначение у(х) = о(д(х)) (х -+ х) или короче .«(х) =о(д) ( +*) Пример 61, Рассмотрим три случая, иллюстрирующие определение 15: 1) функция >(х) = о(1) (х — > *) х> ~ бесконечно малая прн х — >*; 2) хг = х х = о(х) (х -> О); 3) х = о(хг) (х -> оо), Особый интерес представляет сравнение бесконечно малых функций (бесконечно больших).
Определение 1б. Пусть функции а(х), «5(х) бесконечно малые сс(х) при х — > *. Если 11и> — = О, то а(х) называется бесконечно х-«с ~3(Х) малой более высокого порядка (малости), чем >З(х) при х -> х. Соответственно Д(х) называется бесконечно малой более низкого порядка (мвлости), чем сх(х) прн х -> *. в1п х ° $8 х ° агсьбп х ° агс18 х е* — 1 1п(1+ х) х (х — ~ 0), (3) Определение 17, Пусть функции а(х), 13(х) бесконечно боль- а(х) шие при х — > в. Если Еш — = О, то а(х) называется бесконечно в-и )3(х) большой более низкого порядка (роста), чем,9(х) при х -> в.
Со- ответственно )3(х) называется бесконечно большой более высокого порядка (роста), чем а(х) при х -+ *. Определение 18. Пусть функции а(х), 8(х) бесконечно малые а(х) (бесконечно большие) при х -> в, Если 11гп — не существует, то -+ Д(х) а(х),,9(х) назывмотся несравнимыми между собой прн х -> в. 1 Пример 62. Рассмотрим а(х) = х яш — и 8(х) = х, функция х 1 а(х) = х в1п — — бесконечно малая при х -> О, так как (а(х)) = 1 = (х! ! в(п -~ < )х) ~ кири (х-0( ( (х! ~ Б = к; функция В(х) = х х а(х), . 1 бесконечно малая при х -в О, 1пп — = 11т вш — не существует, ' х-~с /3(х) х->О х 1 поэтому а(х) = х я)п — и Дх) = х несравнимы при х -> О.
Определение 19, Если 1пп — = 1, то Дх) и д(х) называют Дх) *-+ д(х) эквивалектлььни при х -+ в. Здесь принято обозначение Дх) д(х) (х -+ в), Пример 63. Функция яш х х(х — > 0) (теорема б). Теорема 13 (критерий эквивалентности функций). Функции Дх) д(х) (х -> *) с=~ Дх) = д(х) + о(д(х)) (х -+ *). Пример 64. Показать, что 1)г,г (х -> *); 2)Г д (х -> в) Е=Ь д 1 (х -+ в); 3)1 д, д Ь(х-+в)=~ г" 6(х->в). На основании теорем 11, 12 и примеров 39 — 41, 54, 55 можно составить список функций, эквивалентных х при х -+ 0: Из примера 56 следует, что Ча е К (1+х)" — 1 ах (х-+ 0). (4) Е частности, при а = -„', и е Х ФТ+ х — 1 — (х -+ 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
