Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С. Пределы и непрерывность функций (2004) (1095451), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Последовательность (х„) называегся неубываюи~вй, если х„< х„+1 'яп е М. Последовательность (хп) называется невозрастающей, если х„> х„+! Чп е Я. Обобщенно неубывающие и невозрастающие последовательности называются манон!оннмми Теорема 8. Монотонная ограниченная последовательность схо- и(и 1Нп — 2)... (п — (й — 1Н 1 + й! иь+ " п(п — 1)(п — 2) .. (и — (п — 1)! 1 и! пп 1 1 1 1 2 1 1 2 = 2+ — (1 — -)+ — (1 — -)(1 — — )+ + — (1 — -)(1 — -) ... 2! п 3! п п й! п и й — 1 1 1 2 и — 1 (1- — )+ + — (1--)(1--) "(1- — ) и и! и и ''' и Последняя сумма содержит и положительных членов. Увеличив и на единицу, увидим, что, во-первых, в сумме появится еще один (и+ + 1)-й член, который больше нуля, во-вторых, выражение в каждой скобке увеличится.
Итак, х„ с х„+1, т. е. последовательность (х ) возрастает, Заменяя теперь каждую скобку в сумме х„единицей, получим 1 1 1 х„с 2+ — + — +...—. 2! 3! '''и!' Заметим, что для й > 2 верно й! = 2 3 ... й > 2" г. Поэтому 1 2 2" г х„с2+ — + — +...— =2+ =3 — —, 22 ''' 2е-! 1 2п-!' (1- -) 2 т.
е. х„< 3. Итак, последовательность (х„) возрастает и ограничена сверху, значит, она имеет предел, который, следуя Эйлеру, обозначают через е. Число е играет исключительную роль в математике и ее приложениях. Например, в математическом анализе используются главным образом логарифмы по основанию е, которые называются натуральными и обозначаются символом !п, так что !и = !ой .
Применение натуральных логарифмов значительно упрощает многие соотношения математического анализа. Связь между натуральными логарифмами и обычными (десятичными) получим, логарифмируяпооснованию10тождествох = е!"*,чтодает!8х = М 1пх, 1 где число М = !8 е = — = 0,434294... называется модулем пе!л 10 рехода. Число е иррационально (е=2,7182818284590... ) и трансцедентно, т. е. не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. 4 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение 8. Пусть а ~ К, Окрестностью 0(а) точки а называется любой интервал (6, с), содержащий точку а.
Проколотой окрестностью 0(а) точки а называется любая ее окрестность, из которой исключается сама точка а. Определение 9, Пусть е > О, е-окрестностью 0,(а) точки а называется интервал (а- е, а+ в). Проколотой е-окрестностью 0,(а) точки а называется ее е-окрестность, из которой исключена сама точка а. Окрестность в и проколотую окрестность е точки а можно задать в виде 0,(а) = 1х Е К: )х — а~ < е) = (а — в, а+ е), 0,(а) = (х Я 1ь: 0 < !х — а! < е) = (а — е, а) 1з (а,а + е). Определение 10 (Коши). Число А называется лредвлаи функции ,г" (х)в точке а (или при х -+ а), если функция у(х) определена в некоторой проколотой окрестности точки а и 'Йв > О ~б = б(в); О < !х — а! < б =ь $~(х) — А/ < е.
Здесь принятые обозначения оп г" (х) = А или 1 (х) -+ А при х — ~ а. Заметим, что в самой точке а функция .5(х) может быть не определена. 1 Пример 16. Показать, что 1пп та х хып — = О. е-~с х Решение.ФункцияГ'(х) = ~/хв!и-'определенавсюду,кроме точки х = О. Фиксируем произвольное число в > О, тогда неравенство (Яв1п — — О! = ~та Ц а1п-! < 'Щ < в х х выполняется при всех х таких, что 0 < !х — О! = ~х! < б(е) = вз. Определение 11. Число А называется пределом функции у(х) прих — ~ со, еслидлялюбогов > Онайдется число б = б(в) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ~х~ > б, выполняется условие ~~(х) — А~ < в, ( 1пп 1(х) = А) «=ь «=» (Че > 0 Зб =- б(в) > 0; ~х~ > б =~ ~Дх) — А1 < е).
Аналогично определяются пределы функции ~(х) при х -«+со их — ~ -со: ( 11пт г"(х) = А) «=ь «=::ь (1Й > О Зб = б(е) > 0: х > б =~ (Дх) — А! < е), ( 1пп 1(х) = А) «=~ «=ь (ив > О Зб = б(в) > 0: х < — б =ь /Дх) — А~ < е). 1 1 Пример 17. Предел 1пп — = О, поскольку Чв > 0 ~ — — 0~ = е->сО х х 1 1 = — < е при |х~ > — = б(в). )х~ е Определение 12. Число А называется лределач слева функции ~(х)в точке а, если 'ве>0 Зб=б(е)>0: а — б<х<а ~~Дх) — А~<в. Здесь принято обозначение А = 1йп Дх) = Да — 0), *-+а-О Число А+ называется лрвделож справа функции у(х)в точке а, если 'те>0 Зб=б(е) >О: а<х<а+б =~ Дх) — А~<в.
13 Здесь принято обозначение А+ — — 1ш1 Дх) = Да+ 0), х-1а+О Числа А, А.1. называются односторонними пределами функ- ции г(х) вточкеа, Пример 18. Определим функцию л!кп (читается снгнум): -1, х<0; О, х = О; 1, х > О, ,!(х) = а!кп(х) = Тогда 1цп г(х) =1(-0) = -1,а 1!ш Дх) = д+О) = 1, Х-1-0 х-1+О В заключение сделаем общее замечание о конечном пределе. Мы изучили понятие конечного предела функции Г(х) при х -+ а (точка а конечна или нет). При этом были рассмотрены шесть возможных различных типов стремлений аргумента х к точке а (два двусторонних и четыре односторонних — см, определение 10 — 1 2).
В подходе Коши каждому из этих типов отвечает свой тнп окрестности: Условимся любой из шести типов стремлений записывать как х — 1 а, а соответствующий ему тип проколотой окрестности как Ол(х). Тогда определение конечного предела по Коши может быть дано сразу для всех шести типов в форме (!!ш Дх) = А) е=ь х=х ~Уе > 0 Еб = 6(к) > 0: х Е Ол(х) =~ !Дх) — А~ < л) . Тип стремления; х -+ а (тсчка а конечна) х — ! а + 0 (точка а конечна) х -+ а — 0 (точка а конечна) х -+ сс (тсчка а бесконечна) х -+ +со !точка а бесконечна) х -+ -со (точка а бесконечна) Тнл окрестности: (а — б, а) !.! (а, а + 6) (а,а+а) (а — 6, а) (-сс, -Ю) и (6, +со) (д, +со) ( — со, — 6) 5.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение 13. Функция а(х) называется бесконечно малой прн х -+ *, если 1пп с1(х) = О, т. е. 'й > 0 Зб = б(е) > О; тх б Е Ол(а) ~ ~а(х)~ < е. Определение14. Функция !!(х) называется бесконечно большой ПРИ Х -1 *, ЕСЛИ 0 бесконечно большой при х — 1 а функции В(х) говорят, что она имеет прн х -1 * бесконечный предел, и пишут 1!ш,б(х) = оо, 1 Пример 19.
Предел 1пп -' = оо, поскольку Уе > 0 !-! > е прн +Ох х 1 0 < !х~ < — = б(е). е Если 'й > 0 36 = 8(е) > 0: х е Ох(х) =>,г" (х) > е, то пишут 11ш Дх) =+со. Если Че > 0 36 = Ю(е) > 0: х Е Ол(х) ~ Дх) < -е, то 1!т,!'(х) = — оо. Теорема 9. Есин функция Дх) — бесконечно малая в точке а и в некоторой окрестности этой точки !'(х) ф О, то функция — „,, ,Г!х1 является бесконечно большой в этой точке. Справедлива и обратная теорема.
Теорема 10.Если 1!ш Дх) = Аи 1!ш д(х) = В,то 1!п1(,)'(х)х х-1а х->а х-1а — — — сли хд(х)) = А х В, 11п1 (!(х) д(х)) = А В, 1пп( — ) = —, если в последнем пределе д(х) зь 0 и В зе О. Замечание. В некоторых случаях прямое применение теоремы 1О к вычислению пределов невозможно, Например, 1пл Дх) =. ,! (х) 0 — 1пп д(х) = О, но нельзя утверждать, что 1пп( —,,) х-+а д!Х1 о поскольку выражение — не имеет смысла.
Здесь появляется так 0 0 называемая неопределенность вида [-). Аналогично возникают 0 неопределенности (ф, (О со), (оо — оо), (1 ), (Оа), (оо ). Раскрыть какую-нибудь неопределенность означает вычислить отвечающий ей предел; (Ооо) = 0 не является неопределенностью, б. ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИИ МНОГОЧЛКНОВ И НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Вычисление пределов функций есть важная и практически полезная задача.
Рассмотрим некоторые способы ее решения. Пусть Р„(х) и Я,о(х) — многочлены степени и и гп соответственно такие, что Р„(а) = Я (а) = О. Если требуется вычислить Р„(х) предел отношения этих многочленов 11ш ", то ответ не моо-+о Я„,(Х)' жег быть получен путем осуществления арифметической операции деления, поскольку в данном случае она невыполнима (деление на нуль не определено), Тогда следует разделить оба многочлеиа на (х — а).
По теореме Безу такое деление осуществляется без остатка, т, е. Р„,(х) = = (х — а)Р 1(х),Яо(х) = (х — а)Я„4(х). Если Р г(а) ф 0 (о) или Яо-з(а) ф О, то неопределенность ~ — ~ раскрыта, если нет,то (о~ деление на (х — а) следует продолжить. хз 2х2 Пример 20. Вычислить А = 1нп *-+2 ха+ хг — 8х+ 4 Решение. Непосредственнойподстановкойх = 2вчислитель и знаменатель убеждаемся, что имеем дело с неопределнностью вн- О да (-), Делим числитель и знаменатель на (х — 2), получаем 0 ' (х — 2)(хг + 1) хг + 1 о-42 (х — 2)(хг + Зх — 2) *-+2 хг + Зх — 2 8 16 х +2х — х — 4х — 2 4 3 2 Пример 21.
Вычислить А = 1пп о-~-г хз+ Зхг+ Зх+ 1 Р е ш е н и е. Непосредственная проверка показывает, что это 0) случай неопределенности типа -~, Делим числитель и знаменао~' х +х — 2х — 2 3 2 тель на (х + 1), в результате получаем А = Вт *-4-2 хг+ 2х+ 1 (01 Снова убеждаемся, что и это неопределенность вида ~п, По- 101 вторяем процедуру деления на (х + 1), в результате находим хг — 2 1 А= 1па =( — -)=со, -з х+1 0 Пример 22, Пусть т, и б г.1, тогда х"' — 1 , (х — 1)(хо' ' + х'" 2 + + 1) 4п 1пп — = йп о-+1 Х" — 1 о-+т (Х вЂ” 1)(Хо 4 +Х'" 2+ ° +1) П Ро(х) При вычислении 1пп — следует в числителе и знаменателе х->а Я„о(х) Р.(х) вынести и сократить наименьшую степень х, а в случае 1пп —" *- а.с*~ наибольшую. В частности, предел отношения многочленов одной степени при х — 4 0 равен отношению их коэффициентов при младшей степени х, а при х — > оо при старшей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
