Галкин С.В. Математический анализ (2004) (1095442)
Текст из файла
3 Приведем доказательство для возрастающей последовательности. Так как послеловательность ~л ограничена сверху, существует ее точнаЯ ВерхнЯЯ Грань а = $Щ) х„. Зададим ~й > О. По свойству точной верхней Грани найдется такОЙ элемент последовательностй х~~, что Й вЂ” е <ху < Й. Поскольку последовательность возрастает, то Ъп > Ж =Ф Й вЂ” е < ху <х~ < Й. СледОВательно, Выиолнено нера- Венство х и рмтк.'1у .уы второго замечатель- кажем, что ~)ЙНИЧЕННЙ НЕЧНЫй ПР 1. нОгО предеЛа — числа е: лекции 6, 7 Рассмотрим ОкрестЯОсти Различных точек и пОЯсним смысл стремления перемсннОЙ к точке.
1. х -+ х О, хо — конечная точка. Обозначим ее окрестность дву- СТОРОН НЮЮ О. ТОЧКИ ~НКЦИИ НО КО х — Ь е >О:О< пр<:",ог..~л ~ 'чн~ж луг~)ела или предела справа — так: хо — О ФФ х — Ь х~» — О <х < ХО Б качестве проколотой -окрестности точки ~) и в-окрестности ТОЧКИ ~~~ ПОИ КОНКРЕТНОМ ВЫ60РС ЭТИХ ТОЧОК ХО + с'о ... И Т. Д. ВЫСй";ЗЮ*ГСЯ ОКРЕСТНОСТИ ПО ТИПЗМ П. 1 — 6. Замечание.
Проколоты окрестность ГЬ~~) точки ~ отлич сти Г~ ' ) только в случае конечной точки «и. 11. В остальньи сл окрестности совпадают, так как точка *, по определении, не пр нос~. и. х = Ь<=>'Е~: О 3 х-ФхО+ О е >О: хО <х <хо+ Общее определеиис предела СЫГЫ Б СЛОД'~ЮЩОМ ВИДО; при х — ~ О, который называют первым замечательным Так ЗХ< щестВяВзния х. Тогда 1ип ак предел слева и предел окажем спраВедлиВость 31Й Х СОБХ пределОм: 1.
Пусть х>О. Рассмотрим круг радиуса. Отметим на нем угол х радиан, стягиВЙюГ~ х радиан, Б10х и 1я х. енство мах < х < ~д х. е- лекция 8 х Ь-дх а= Это Разность двух ункций, к ая из которых представляет собои произ веление б.м. на постоянную, так как х — и д х — Ь вЂ” б.м.
при х — + хо по теореме о связи ункции, предела и б.м. Следовательно, числитель выражения 1 — б.м. при х -Ф хо. ТОГда выражение 1 мОжно представить как прОизведение этой б.м. на ограниченную ОТОРОЙ ОТ$)ИМ еделе- УО Хо = 1~т Ьх — >О 3. При произвольном движении ~с переменной скоростью) Х ф гра яка Сх, х циент: Г~омВ~ричес~ий ~м~ ~сд ИРОи~воднОЙ понятен из Рассмотрения уя:кции рис. 7. Точки гра ика А хо, хо, В х, являются вершинами прямоугольного треугольника, если провести секу~цую гра ика АВ. Вычислим ее угловой коэ и- Где Лх = х — хО.
ля того чтобы показать, что ироизводная является ТОЙ точки, в котОРОЙ она Вычисляется, часто пишут ПРОИЗВОДНАЯ лекция 12 вЬх ния частного.
<3 Элементарные ункции могут быть получены из основных элементарных ункций с помощью четырех арифметических действий и композицией ункций. нее доказано, Что основные элементарные унеции ди еренцируемы В области их Определения, ункции, полученные указанными действиями из ди еренцируемых ункций, т е ди еренцируемы.
Поэтому элементарные унк- ции ди еренцируемы в области их определения. Р Любую элементарную ункцию можно ди еренцировать. Более ТОГО, Результат ди еренцирОВания не Выходит и3 класса элементарных ункций. Следовательно, ди еренцируя элементарную ункцию, мы получаем снова элементарную ункцию. ункцииу х =хе '.
ун~цийу ~ =и ~ ~Н КЦИ И. ПУСТЬ жно, если определена ункция аметрически, то для того, чтоОЛЬНОМГ~ Х ПОСТавИТь в СоотвЕТ- ть У 1 . ПОэтому должна быть Поэтому вторая производная — это производная первОЙ производной, третья производны — это произВОдная ВТОРОЙ производной и т. д, Вычислим, например, и-ю производеГ~ю зидиннОЙ Х ит. д. Вычислим ди т того, является или не является пере- угой переменной.
С ди еие От первого ди еренциВ- ен циало В, О ди еренцизл3. к квздрй- существует предо Х)" В ТОЧКСХ = О. й предел). енность О возникает, если 11ГЙ х =О 1пп Я ~ Х вЂ” ФЙ Х-+ Й х = -оо, и при вычислении Ь х вОзникает неопРеде- ленность Вила О Итак, во всех рассмотренных случаях возникает неопределен- Если щ=, то 11т Р(х = О.
Если и=+ ., то 11т Р' х =-. Если Х-Ф Й Х вЂ” >Й НООЛРОделснность Оо и = О, то 1ит Р"~х = 1. возникает, ссдй 1ип НОГОЧ ПСНЙ )) и оста- ОСТИТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В интсрВЭЛ лы ТсйлО Подставляя в это выражение Г(х орме Пеано: ) о + Я„(х 0)+ ' 0)х+ ормулы Маклорена.
ЕГО можно пОл ~- ормулы Тейлора В Ормс Пиано или ГЛе М х — остаточный член Х ДИ Х Хо монотонно ~бы Вает. ПОСЛСДОВЗТСЛ ЬНОСТЬ И вЂ” бЕСКОНЕЧНО МЗЛЙЯ нйя, так как — бесконечно малая при Величина Я„х = О. Если остаточный член записан в ор- , то очОВидно, что 1101 Л =О (Х вЂ” Хр а Покажем сначала, что аппп п=.О, то <О,ОО1.
Если О,З орм~'лой редставив ее го мини а ункции с заданной точностью е * можно вычислить по следующей Ор муле: знзчение О,1736 . 2. Вычислить 8 О,З то Я2 < >О 001 ° О,З 2 О,З з =О, то хо, и точка х является >О, то х >О„и то- точка, то ' хо = О. Применим теореремы следует, что х — точка экстремума > О, то х — точка минимума ункции — точка максимума ункции х . ~ Если п нечетно, то при переходе аргумента через точку х х — хо " меняет знак.
Так как стоящее перед ним ция х дважды ди еренцируеиа "точких . Тогда если хо >О, то х . Если хо <О,тох — точ- в этой окрестности сом ножитель сохраняет знак охраняет знак льно, Гра Ик ТЕЛЬНОЙ И УНКЦИЯ стк стрОГОЙ Й УНКЦИИ ункция бывает и, по достаторая часть теоремы я того чтобы вогнутости ди ТФОРВмз. Пусть х ди еренцируеми.
~нзшия х была ВыпуклОЙ вогнутой В некоторой Области, неОбходиыо и достаточно, чтОбы х не ВО3рзстзла не убыВа" ЛИ) В ЭТОЙ ООЛИСТИ. <3 Рассмотрим случай ВыпуклОи ункции, для ВОГнутои ункции доказательстВО аналогично. окажем иеобходи иость. П~ сть ун кция выпукла. Предположим, что ее произВОдная Возрастает, тогда по достзточному признаку уцкция строго Вогнута. Пришли к противоречию.
Окажем дОсРийшОМЙОсюь. Гак же, как В предыд~чцей теореме, запишем уравнение касательной, вычислим значение ункции по Пример. Вычислим по этой формуле кривизну окружности радиуса ~. Рассмотрим параыегрическое представление окружности: Вычисдим производные и подставим в ормулу для кривизны дуги: Окружность кривизны, центр кривизны, радиус кривизны м точку Мна гладкой дуге, проведем касательную и в точке М.
Построим окружнОсть, проходящую чещимся на построенной нормали на ИК УНКЦИИ У Х . ОбОЗНЗ- а дуги гра яка вточке М . Этаоктью кривизны гра ика ункции в зется Радиусом кривизны Гра икэ ружности называется центром кри- ся геометрическое место ее центров ется эвольвентой разверткой для улы для координат центра кривизны ри Грйф Поэтому ~ = И ЭВОЛЬВФ х =х~1) = ЯСОВ~ ные и подставим в ормулы параметрического представления эволюты: м в формулы эволюты параметриче- 1я ииклоиды, 38дйнной орм~ лйми яп ~); ~сов ~).
Если координаты центра кривизны Рассмяч Ривать как тек~~шие координаты точки ЗВОлюты, то эти Орм~лы дают пирзмютричР- шо~ йрйдстй~л©йи~ ~~Олю~~ с параметра~1и ~ и у . . Наидем проиЗВод Теорема. я того чтобы вектор- ункция ~ была непрерывной в точке ~о. необходимо и достаточно, чтобы координатные ункции Й 1, Й 1, Й„1 были непрерывны В точке 1р. 1а~~)-~Ь~= ~(а.1~)-ао,-) + 1а„~~)-аа ) + 1а-(~)-ао.-)- Запишем разность векторов в разложении па базису: .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
