Грибов А.Ф., Котович А.В., Минеева О.М. Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости (2004) (1095437), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отметим точку А(х(а), у(а)) и соединим точки О и А. При изменении параметра т от а до 1 значения х продолжают возрастать, достигая при 1 = 1 значения х = 1, а значения у убывают от у(а) до 0 при 6 = 1. Отметим точку Ом соответствующую значениям х = 1 и у = О, и соединим ее с точкой А. 10 Рис. б Дальнейшее увеличение параметра 1 от 1 до 6 приводит к уменьшению значений у от 0 до у(6) при увеличивающихся значениях х от 1 до х(Ь). Отметим точку В(х(Ь), у(Ь)) и соединим ее с точкой Ог плавной непрерывной кривой.
И,наконец, при изменении параметра Ф от 6 до +со значения х и у возрастают соответственно от х(6) до+ос ноту(6) до+ос, причем при1 = 2 значение х = 4, ау = О (точка Оя). Поэтому выберем точку Я при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях х и у. Соединяя точки В, Оз и Х, получаем окончательный вид искомой кривой. П способ. Этот способ состоит в представлении функций, параметрически задаюгцих кривую на плоскости, в виде вектора. Пример 3. Рассмотрим построение этим способом кривой, задаваемой уравнениями < х = 2 соя 6+ 1, у = 4з1пФ+ 5. Будем рассматривать значения х и у как координаты некоторого вектора, записывая их, как это принято, в столбец.
Тогда правую часть рассматриваемых уравнений можно представить в виде сум- мы векторов, задаваемых столбцами своих координат: ( 2совФ ( Рассмотрим, как изменяется вектор ~ ~ в зависимости от ~ 4вш (сов$1 параметра 1. Очевидно, что вектор представляет собой век- ~ вш$) тор единичной длины (в силу того, что ьйпз г + соаз Ф = 1), приложенный к началу координат — точке О, причем при фиксированном значении гс он образует угол ~с, откладываемый против хода часовой стрелки (в положительном направлении) от положительного на(совй1 правления оси Ох.
Таким образом, конец вектора при из~аш мененни параметра г пробегает единичную окружность с центром (2совГ) в начале координат, Координата х вектора по сравнению '1 4вшт ~ (совг1 с соответствующей координатой вектора увеличивается в ),в1пт) два раза, а у — в четыре раза. Следовательно, искомую кривую (рис. 7) образуют концы векторов, координаты которых при фиксированном значении Ф = Фс увеличиваются соответственно в два (координата х) и в четыре (координата у) раза по сравнению с соответствующими координатами соответствующих единичных векторов с началом в точке О(0;О). Из рис.
7 видно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями, равными 2 и 4. Убедиться в этом хз уз можно, подставив в каноническое уравнение эллипса — + — = 1 4 16 вместо х и у координаты рассматриваемого вектора. Продолжая построение заданной кривой, прибавим к векто(2сов~~ ру постоянный (не зависящий от й) вектор с коорди- ~4.Ы) 12 Рис. 8 Рис, 7 (й натами . Исходя из правила сложения векторов в координат- ~, 57' ной форме, заключаем, что координата х всех точек полученного эллипса увеличивается на одну единицу, а координата у — на пять единиц, что, в свою очередь, эквивалентно смещению этого эллипса на одну единицу в положительном направлении оси Ох и на пять единиц в положительном направлении оси Оу.
Окончательный вид искомой кривой показан на рис. 8. Пример 4. Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следующими уравнениями: < х =à — апг, (циклоида) . у = 1 — соаг По аналогии с примером 3 представим заданные уравнения в векторном виде: Рассмотрим первое слагаемое в правой части последнего выра- (й жения — вектор . При изменении параметра 1 от — оо до +ос й конец этого вектора лежит на прямой р = 1, так как первая его координата х изменяется от — со до +со, а вторая координата у остается ( — ашй постоянной и равной 1. Конец вектора , представляюще- '1 — саз ~) го собой второе слагаемое в рассматриваемом векторном выражении, как было показано в примере 3, пробегает единичную окружность с центром в начале координат. Зафиксируем некоторое значение т = гп Известно, что угол в 1~ радиан соответствует длине дуги единичной окружности — 1п Пусть центр единичной окружности находится в точке Оо с коорди- (а'1 натами (рис.
9) и эта окружность имеет возможность «катить- й ся» без проскальзывания по оси Ох так, что ее центр перемещается по прямой у = 1. Тогда, если окружность «откатится» на расстояние 1з в положительном направлении оси Ох, то ее центр переместится в точку О~ с координатами, что соответствует значению ~)' первого слагаемого в уравнени ~ задающем искомую кривую, при / — з1п1г 1 г = тз. Вектор с координатами представляет собой '1 — соа1з ~ единичный вектор 02ы образующий угол 1г с отрицательным направлением оси Оу и отложенный в отрицательном направлении, т.е. по часоввой стрелке.
Таким образом, зтот вектор совпадает с вектором ОзАы где точка Аг принадлежит «катящейся» окружно- (х(1) 1 сти. Следовательно, искомый вектор равен сумме векторов, Ь«)~ 15 о М х й и х х о Б 2 о и о Ф х х Ф о н 4 о о о о с» Ц й х х (»» о 4 о О о 3~ х х й К х ( О »» 1! + 1 о Ф о Ф 4 М о о н 2 й Ф о М о 1 о ф й 4 х и Я 2 о О К о о О й Ф х ф и о о 4 о Ф о о Ф Х й х с н о О( о х( О о о 3 с» а Ф о ф х о х о $ О х( н Х О "с» »» "О Ф х о н Х с» ф о ф н о в о х с~~З о о ь' "И 5и И О й А НО н В й о о х(,о о с' х( (» о о о о4 Я о о ф М 'о о хк х(Я х( 'о о х н '" о о о х ф х он О х (В К~ х ф х о Ф х 'о О Ф Х о о % х Ы х.
о о Б! 4--. е о 'М '4 о О хН 4 "" о ф о о о о о х Ц о о' (( с» х Е Я х Ц ю о о о о Ф к о н.» х х ф Я о о х (» о х О ф х( о й 4Й '4 „ й х о (» М ф о о оМ о 4 Ц х о о 4. (» й (» 5 Ф о о о о х 1» (Ф х о ф н „О ОН о Х х о(ф о х( Я о о о х о О о Ф Х Я ф х( ф о 2 о о Ф (» с(» ф с» ф "с» х (Ъ~ СЮ ф о о ((. о 3о 4 н П й И о й Я 8 о + 8 н Ф о 3 (й О о Ф н о о (Ъ й и н 'с» х д х ф "о о е х( х 11 н й ф О 3-~ о о 8 ((» о о й Й а Ф о о 2 о 4 ф О х( И о х о о Ц з Ф о 1 о о о фх х о и о о К о х В й й 6 Ф Рне.
9 первый из которых соединяет начало координат и центр «каттящейся» окружности 01» а второй представляет собой вектор 01Ао где (х(г)~ точка А; будет концом вектора . Соединяя полученные та- Ь()) кнм образом точки А,, получаем искомую кривую, которую называют циклоидой, Нетрудно заметить, что циклоида представляет собой неограниченную в направлении оси Ох и ограниченную в направлении оси Оу периодическую функцию, описываемую точкой окружности (колеса), катящейся без проскальзывания по оси Ох. В некоторых случаях для более точного построения кривых, заданных параметрически на плоскости, целесообразно выяснить вопрос о существовании асимптот и в случае их существования найти 1 х=х(1), эти асимптоты. Если кривая, задаваемая уравнениями ~[у = у(~) имеет вертикальную асимптоту при $ = сб, то 1пп у(с) = ~ос, 1-+со в то время как 1пп х(3) = а.
При этом уравнение вертикальной е мо асимптоты будет х = а. Для существования наклонной (в частности, горизонтальной) асимптоты необходимо, чтобы 1ш1 [(х(Ф))г + с-+со + (у(Ь))г) = со, Если при этом существуют и конечны пределы 1пп Я = й и 1пп (у(Ь) — йх(г)) = Ь, то кривая имеет наклонную 1-+М асимптоту, уравнение которой у = йх + Ь (в частности, если й = О, то кривая имеет горизонтальную асимптоту) (4). зг 1 — Н' Например, для кривой, задаваемой уравнениями Ьз 1 — сг' ,г зз имеем 1ш1 х(Х)= 1пп =-1; 1пп у(й)= 1пп 1-+~со Ф-+~ос 1 — 1~ С-+Э:оо о-+~со 1 — гг ~ос (способы вычисления пределов см. Щ). Таким образом, х = — 1 — вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты: 1пп [(х(Ф)) + (у(Ь))г] 1-+~1 ~4 гб 1пп ( + ~ = оо, следовательно, при с = ~1 --',(1 ~) (1 ~), 16 могут существовать наклонные асимптоты, Определяем коэффициенты й и Ь: при г = 1 й = йп — = Бпз $ = 1; у(з) 1-+1 Х(б) 1-+1 зз Ь = Ип1(у(Ь) — йх($)) = йпз ~ и при б = — 1 зг ~ зг = Бш ,г 7 с-+11+1 2 й= 1пп — = 1ш1$= — 1; у(Ь) 1-» — 1 х(8) С-+ — 1 зз Зг 1 Зг Ь= й (~(З) — й~(З))со й ~ + ) = 11гп — =-. Ф-» — 1 1+ 1~1 сг 1 сг) с+ — 11 — с 2 1 Таким образом, наклонные асимптоты имеют уравнения у = х —— 2 1 ну = — х+-.
2 П. ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗОВ ПЛОСКИХ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 17 Графиком некоторой функции у = Г (х), заданной в декартовой системе координат на множестве определения Х С В аргумента х„ называют множество точек плоскости с координатами ((х, 7(х)) Щ. Известно, что положение любой точки на плоскости можно задать при помощи различных систем координат. Наряду с наиболее употребительной — декартовой системой координат — часто бывает удобно использовать полярную систему координат [5). , Для определения полярных координат зададим произвольную точку О, называемую полюсом, и луч Ор, называемый полярной осью (рис.
10). Выберем на полярной оси точку .Е так, что длина отрезка [ОЕ[ задает масштаб для измерения длин отрезков. Тогда положение произвольной точки М на плоскости характеризуется полярным радиусом р, равным расстоянию от полюса О до точки М, выраженному в единицах выбранного масштаба, и полярным углом р — углом, выраженным в радианах, между полярной осью и радиусом-вектором ОЯ.
Числа р и у называют полярными координатами точки М, При этом если угол у откладывается против хода часовой стрелки от полярной оси, то он считается положительным и может изменяться ат 0 до +со, а если по часовой стрелке — то отрицательным и может изменяться от — оо до О. Для полюса (р = О) угол р не имеет определенного значения, Для остальных точек плоскости полярный радиус всегда принимает положительные значения, так как он является длиной радиуса-вектора Ол1, а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений, отличаю- шихся друг от друга на величину 2~го, где и е Е.
Таким образом, каждой паре полярных координат (р, (с), за исключением (О, ~р), однозначно соответствует точка на плоскости. Обратное утверждение неверно. Если на плоскости введена полярная система координат так, что полярная ось Ор совпадает с положительной осью Ок декартовой системы координат и для измерения р, х и у выбраны равные единицы масштаба (рис. П), то из очевидных геометрических соотношений прямоугольного треугольника ясно, что декартовы координаты 18 0 Рис. 11 (ж, у) произвольной точки М связаны с ее полярными координата- ми (р, <р) формулами: к = р сову; Р = Р а(пу~ и наоборот, Д2 + рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
