Грибов А.Ф., Котович А.В., Минеева О.М. Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости (2004) (1095437), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Я грр = —, х причем угол у в последней формуле выбирают в соответствии со знаками декартовых координат з и у рассматриваемой точки. Рассматривая функциональную зависимость р = р(<р), заданную на некотором множестве значений ~р, можно построить график задапной функции, который будем называть кривой на плоскости или просто кривой. Построение кривой, задаваемой уравнением р = р(у), можно осуществлять по точкам. Задавая значение у из области определения рассматриваемой функции, проводим луч из полюса О под углом у к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку М(у, р(у)) искомой кривой, находящуюся на расстоянии р = р(у) с учетом выбранного масштаба от точки О.
Для построения кривой в полярных координатах (р, у) целесообразно использовать вспомогательный график, откладывая значения у и р как значения а и у в декартовой системе координат, по двум взаимно перпендикулярным осям. Пример 5. Построить на плоскости кривую, заданную в полярной системе координат уравнением р = ~ф (спираль Архимеда). Основываясь на определении модуля числа (Ц, нетрудно заметить, что в заданном уравнении при положительных значениях полярного угла у полярный радиус р совпадает с этими значениями, а при отрицательных значениях принимает противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине полярному углу у значения. Задавая на плоскости полярную систему координат (рис.
12), проводим из гголюса О лучи, соответствующие нескольким выбран- ным значениям полярного угла ~р (например, О, ~~г/б, ~к/4, ~к/3, ~~ггг2, ~7г, +Зя/2, ~2я,...), Откладываем в выбранном масштабе на каждом луче отрезок ОМ;, равный абсолютному значению (модулю) соответствующего ему значения полярного угла у;. Соединяя полученные точки М;, получаем искомую кривую (рис. 12). Заметим, что, во-первых, полученная кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одна из которых раскручивается против хода часовой стрелки (у > О), а другая — по ходу часовой стрелки (у < О), вовторых, она симметрична относительно полярной оси, на которой лежат точки пересечения двух ее ветвей и, в-третьих, расстояние между двумя соседними точками пересечения любого луча с началом в точке О с одной из ветвей равно 2~г. Пример б.
Построить на плоскости кривую, заданную в полярной системе координат уравнением р = 3(а1п у+ 1) (кардиоида). По заданному уравнению строим вспомогательньгй график (рис. 13), расположив оси у и р как оси ж и и декартовой системы координат соответственно и выбрав необходимые масштабы по этим осям (3). Заметим, что построенный график является периодическим с периодом 2~г. Таким образом, достаточно найти точки, принадлежащие кривой лишь в пределах одного периода, например, в диапазоне у от О до 2гг (рис, 14).
Для этого выбираем на оси ~р несколько точек уь в пределах указанного интервала, например, Рнс. И Рнс. 13 20 21 <Р, л г 2л Ф Г68 164 Рис. 14 О; л/18; л/8; Зл/16; л/4 и т. д. Для каждого значения уь находим по вспомогательному графику соответствующий ему отрезок рь. Вычисляем или измеряем его длину. Откладываем на луче, образующем угол грь с полярной осью Ор, отрезок ОМь = рг, (рис. 15). Точка Мь будет принадлежать искомой кривой.
Для рассматриваемого уравнения, например, точке где = О соответствует отрезок рс = 3, точке ус = л/4 — отрезок рс =- Зъ'2/2+ 3 = б, 1, точке сса = л/2 — отрезок ра = б и т. д. (см. рис. 14). Соединяя плавной кривой точки Мо, Мп Мз, Мз и т. д., получаем искомую кривую, которую называют кардиоидой (см. рис.
15). Пример 7. Построить на плоскости кривую, заданную в полярной системе координат уравнением рз = 4 соа 2у (лемннската Бернулли). Заметим, что угол гр не может принимать значения в интервалах от л/4 + лл до Зл/4 + лй, Й Е Я, т. е. те значения, при которых сов 2~р меньше нуля, так как правая часть данного уравнения должна быть неотрицательна. Таким образом, в указанных интервалах точек, принадлежащих искомой кривой, не будет. Учитывая это, так же как и в примере 6, строим вспомогательный график (рис. 16), откладывая значения ггг и соответствующие им значения р по двум взаимно перпендикулярным осям, как значения ж и у в декартовой системе координат (3].
Отметим, что график построенной функции является периодическим с периодом, равным 2л. Таким образом, с учетом выявленных особенностей исследуемого графика функции достаточно найти точки, принадлежащие кривой толь- Ряс. 16 Рас. 15 23 22 = Зк/4 ко, например, в интервале значений у от — я/4 до я/4 и от Зл/4 до бя/4 (рис. 17). Выбираем на оси 1Р несколько точек уь в указанном интервале, например, — к/4, — Зя/16, — я/8, -л/16, О и т.
д. Для каждого значения ~рь находим по вспомогательному графику соответствующий ему отрезок рь. Вычисляем или измеряем его длину. Откладываем на луче, образующим угол уь с полярной осью Ор, отрезок ОМь, длина которого рь (рис. 18). Точка Мь будет принадлежать искомой кривой. Для рассматриваемого уравнения, например, точке 1Рс = — к/4 соответствует отрезок рс = О, точке 1Р4 = Π— отрезок р4 = 2, точке ~ре = я/8 — отрезок рь = ~ъ~8 — 1,7, точке ~ра = я/4 соответствует отрезок рз = О и т. д. (см.
рис. 17). Соединяя плавной кривой точки Ма, Мы Мз, Мз и т, д., получаем искомую кривую, состоящую из двух лепестков, которую называют лемнискатой Бернулли. Анализируя проведенное построение кривой (вид вспомогательного графика, получающиеся значения у и р),можно заключить, что она имеет две оси симметрии: полярную ось и прямую, проходящую через полюс перпендикулярно полярной оси.
При необходимости более точного построения кривой, заданной в полярной системе координат, можно увеличить число точек ~рь, а в некоторых случаях бывает целесообразно задавать значения уь неравномерно, сгущая их на тех интервалах вспомогательного графика функции, на которых производная функции резко изменя- ется, т. е, где функция сильно возрастает или сильно убывает. ° 4 ° $ ' в ' 1 ' ° в ° Э ! ' ° ~>1 $ Э 11$ ° ' ° ' ° ° ' ' ° ° ° 3 И~И~ ИМ~ И~ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Морозова В.Д.
Введение в анализ: Учеб. для вузов ! Под ред, В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. Мл Изд-во МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 1996. (Сер. Математика в техническом университете; Вып, 1). 2. Райхмист РБ, Графики функций: Справ. пособие для вузов. Мл Высш. шк., 1991. 3. Ильичев А.Т., Кузнецов В.В., Фаликова ИД. Графики элементарных функций: Методичекие указания ! Под ред. С.К. Соболева. Мл Издво МГТУ нм.
Н.Э. Баумана, 2004. 4. Иванова Е.К Дифференциальное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов ! Под ред, В.С, Зарубина, А.П. Крищеню. Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. (Сер. Математика в техничесюм университете; Вып. П). 5. Канатников А.Н., Крин!енко А,П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов ! Под ред. В.С. Зарубина, А,П. Крищенко. Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998, (Сер, Математика в техническом университете; Вып. Ш). ОГЛАВЛЕНИЕ 26 29 Введение .
1. Построение эскизов плоских кривых, заданных параметрически. И. Построение эскизов плоских кривых, заданных в полярной системе координат, Ш. Варианты домашнего задания по теме «Графики элементарных функций» Список литературы . Александр Федорович Грибов Александр Валерианович Котович Ольга Михайловна Минеева ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Методические указания Редактор С.А. Серебрякова Корректор й.И Малютина Компьютерная верстка В.И Товстоног Подписано в печать 24.05.2004. Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 2,0. Уел. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,62. Тираж 1000 зкз. Изд. № 21. Заказ 1' '-' Издательство МГТУ нм. Н.Э. Баумана. 105005„Москва, 2-я Бауманская, 5. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
