Роберт Додиер - Коротко о Maxima (1094492)
Текст из файла
Коротко о MaximaРоберт Додиер1Что такое Maxima?Maxima — система для работы с выражениями, такими как x + y, sin(a + bπ) и u · v − v · u.Maxima не особо заботится о смысле выражения. Только пользователь решает, какой смысл несетвыражение.Иногда требуется задать значения неизвестных и вычислить выражение — Maxima с радостьюсделает это. Но система с той же радостью отложит присваивание конкретных значений, так что выможете провести с выражением некоторые преобразования, после чего уже определить неизвестные(или не определять их вовсе).Рассмотрим несколько примеров.1. Нужно найти объем шара:(%i1) V: 4/3 * %pi * r^3;(%o1)34 %pi r-------32. Радиус равен 10:(%i2) r: 10;(%o2)3.V10— то же, что и было; Maxima не поменяет V , если это не указать:(%i3) V;(%o3)34 %pi r-------34.
«Maxima, пересчитай, пожалуйста, V »:(%i4) ’’V;(%o4)4000 %pi-------3c 2005 Robert Dodier.c 2007 Алексей Бешенов (al@beshenov.ru), русский перевод.Домашняя страница Maxima: http://maxima.sourceforge.net/ru/.15. Вместо выражения хотелось бы видеть численное значение:(%i5) ’’V, numer;(%o5)24188.79020478639ВыраженияВсё в Maxima является выражениями, в том числе математические выражения, объекты и программные блоки.
Выражение — атом, либо оператор с аргументами.Атом — символ (имя), строка в кавычках, либо число (целое или с плавающей точкой).Все выражения не-атомы представляются в виде op(a1, . . . , an), где op — имя оператора, а a1, . . . , an —его аргументы. Выражения могут отображаться по-разному, но внутреннее представление всегда одинаково. Аргументы выражения могут быть атомами, либо выражениями не-атомами.Математические выражения включают математические операторы, такие как+ − ∗/ <=>либо вычисление функции вроде sin(x), bessel_j(n, x). В таких случаях оператором является функция.Объекты в Maxima — тоже выражения. Список [a1, .
. . , an] — выражение list(a1, . . . , an). Матрица —выражениеmatrix(list(a1,1 , . . . , a1,n ), . . . , list(am,1 , . . . , am,n ))Программными блоками являются выражения. Блок кода block(a1, . . . , an) — выражение с оператором block и аргументами a1, . . . , an. Условная конструкция if a then b elseif c then d — выражениеif (a, b, c, d).
Цикл for a in L do S — выражение, соответствующее do(a, L, S).Функция Maxima op возвращает оператор выражения-не-атома. Функция args возвращает аргументы выражения-не-атома. Функция atom указывает, является ли выражение атомом.Рассмотрим другие примеры.1. Атомы — символы, строки и числа. Вот список с элементами-атомами:(%i2) [a, foo, foo_bar, "Hello, world!", 42, 17.29];(%o2)[a, foo, foo_bar, Hello, world!, 42, 17.29]2. Математические выражения:(%i1) [a + b + c, a * b * c, foo = bar, a*b < c*d];(%o1)[c + b + a, a b c, foo = bar, a b < c d]3. Списки и матрицы.
Элементами списка или матрицы могут быть любые выражения, в том числесписки или матрицы:(%i1) L: [a, b, c, %pi, %e, 1729, 1/(a*d - b*c)];1(%o1)[a, b, c, %pi, %e, 1729, ---------]a d - b c2(%i2) L2: [a, b, [c, %pi, [%e, 1729], 1/(a*d - b*c)]];1(%o2)[a, b, [c, %pi, [%e, 1729], ---------]]a d - b c(%i3) L [7];1(%o3)--------a d - b c(%i4) L2 [3];1(%o4)[c, %pi, [%e, 1729], ---------]a d - b c(%i5) M: matrix ([%pi, 17], [29, %e]);[ %pi 17 ](%o5)[][ 29 %e ](%i6) M2: matrix ([[%pi, 17], a*d - b*c], [matrix ([1, a], [b, 7]), %e]);[ [%pi, 17] a d - b c ][](%o6)[ [ 1 a ]][ []%e][ [ b 7 ]](%i7) M [2][1];(%o7)29(%i8) M2 [2][1];[ 1 a ](%o8)[][ b 7 ]4.
Программные блоки — выражения. x : y означает присваивание y к x; значение выраженияприсваивания — y. block объединяет несколько выражений и последовательно их вычисляет;значение блока соответствует значению его последнего выражения.(%i1) (a: 42) - (b: 17);(%o1)25(%i2) [a, b];(%o2)[42, 17](%i3) block ([a], a: 42, a^2 - 1600) + block ([b], b: 5, %pi^b);5(%o3)%pi + 164(%i4) (if a > 1 then %pi else %e) + (if b < 0 then 1/2 else 1/7);1(%o4)%pi + 75.op возвращает оператор, args возвращает аргументы, atom определяет, является ли выражениеатомом:3(%i1) op (p + q);(%o1)+(%i2) op (p + q > p*q);(%o2)>(%i3) op (sin (p + q));(%o3)sin(%i4) op (foo (p, q));(%o4)foo(%i5) op (foo (p, q) := p - q);(%o5):=(%i6) args (p + q);(%o6)[q, p](%i7) args (p + q > p*q);(%o7)[q + p, p q](%i8) args (sin (p + q));(%o8)[q + p](%i9) args (foo (p, q));(%o9)[p, - q](%i10) args (foo (p, q) := p - q);(%o10)[foo(p, q), p - q](%i11) atom (p);(%o11)true(%i12) atom (p + q);(%o12)false(%i13) atom (sin (p + q));(%o13)false6.
Операторы и аргументы программных блоков. Одинарная кавычка указывает Maxima создатьвыражение, но отложить его вычисление. Мы еще рассмотрим это позже.(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)(%i5)(%o5)(%i6)(%o6)3op (’(block ([a], a: 42, a^2 - 1600)));blockop (’(if p > q then p else q));ifop (’(for x in L do print (x)));mdoinargs (’(block ([a], a: 42, a^2 - 1600)));2[[a], a : 42, a - 1600]args (’(if p > q then p else q));[p > q, p, true, q]args (’(for x in L do print (x)));[x, L, false, false, false, false, print(x)]ВычислениеЗначение символа — выражение, связанное с этим символом.
Каждый символ имеет значение; еслизначение не задавалось, символ вычисляется сам в себя. Например, x имеет значение x, если символуне присваивалось значение.4Числа и строки совпадают со своими значениями.Выражение-не-атом вычисляется приблизительно таким образом:1. Вычисляется каждый аргумент оператора.2.
Если оператор связан с вызовом функции, то значение, возвращенное функцией, является значением выражения.Вычисление может проходить по-разному. Некоторые изменения уменьшают объем вычислений:1. Некоторые функции не вычисляют свои аргументы или часть из них, либо меняют ход вычисления аргументов.2. Одиночная кавычка 0 предотвращает вычисление:— 0a вычисляется как a.
Все другие значения a игнорируются.— 0f (a1, . . . , an) вычисляется в f (ev(a1), . . . , ev(an)). Таким образом, вычисляются аргументы,но f не вызывается.— 0(. . .) предотвращает вычисление любых выражений внутри (. . .).Некоторые изменения увеличивают объем вычислений:1. Две одиночные кавычки 00a вызывают дополнительное вычисление в момент обработки a.2.
ev(a) вызывает дополнительное вычисление a при каждом вычислении ev(a).3. Запись apply(f, [a1, . . . , an]) вызывает вычисление аргументов a1, . . . , an, даже если f ставит перед ними одиночные кавычки.4. define соответствует определению функции вроде :=, но вычисляет тело функции, в то времякак := откладывает вычисление.Рассмотрим, как вычисляются некоторые выражения.1.
Символ вычисляется сам в себя, если ему не присваивалось значение:(%i1) block (a: 1, b: 2, e: 5);(%o1)5(%i2) [a, b, c, d, e];(%o2)[1, 2, c, d, 5]2. Аргументы операторов вычисляются обычным путем (если вычисление не отложено тем илииным образом):(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)block (x: %pi, y: %e);sin (x + y);x > y;x!;%e- sin(%e)%pi > %e%pi!53. Если оператор связан с вызовом функции, то значение, возвращенное функцией, является значением выражения (если вычисление не отложено); иначе вычисление дает другое выражение стем же оператором:(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)foo (p, q) := p - q;foo(p, q) := p - qp: %phi;%phifoo (p, q);%phi - qbar (p, q);bar(%phi, q)4.
Некоторые функции откладывают вычисление аргументов, например, save, :=, kill:(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)(%i5)(%o5)(%i6)(%o6)(%i7)(%o7)block (a: 1, b: %pi, c: x + y);y + x[a, b, c];[1, %pi, y + x]save ("tmp.save", a, b, c);tmp.savef (a) := a^b;bf(a) := af (7);%pi7kill (a, b, c);done[a, b, c];[a, b, c]5. Одиночная кавычка предотвращает вычисление, даже если оно должно производиться:(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)(%i5)(%o5)(%i6)(%o6)foo (x, y) := y - x;foo(x, y) := y - xblock (a: %e, b: 17);17foo (a, b);17 - %efoo (’a, ’b);b - a’foo (a, b);foo(%e, 17)’(foo (a, b));foo(a, b)6.
Две одиночные кавычки вызывают дополнительное вычисление во время обработки выражения:6(%i1) diff (sin (x), x);(%o1)cos(x)(%i2) foo (x) := diff (sin (x), x);(%o2)foo(x) := diff(sin(x), x)(%i3) foo (x) := ’’(diff (sin (x), x));(%o3)foo(x) := cos(x)7.всякий раз вызывает дополнительное вычисление (сравните это с поведением для двух кавычек):ev(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)(%i5)(%o5)(%i6)(%o6)8.9.block (xx: yy, yy: zz);[xx, yy];foo (x) := ’’x;foo (xx);bar (x) := ev (x);bar (xx);zz[yy, zz]foo(x) := xyybar(x) := ev(x)zzapplyвызывает вычисление аргументов, даже если перед ними стоят кавычки:(%i1)(%o1)(%i2)(%o2)(%i3)(%o3)(%i4)(%o4)(%i5)(%o5)(%i6)(%o6)(%i7)(%o7)block (a: aa, b: bb, c: cc);ccblock (aa: 11, bb: 22, cc: 33);33[a, b, c, aa, bb, cc];[aa, bb, cc, 11, 22, 33]apply (kill, [a, b, c]);done[a, b, c, aa, bb, cc];[aa, bb, cc, aa, bb, cc]kill (a, b, c);done[a, b, c, aa, bb, cc];[a, b, c, aa, bb, cc]defineвычисляет тело определения функции:(%i1) integrate (sin (a*x), x, 0, %pi);1 cos(%pi a)(%o1)- - ---------aa(%i2) foo (x) := integrate (sin (a*x), x, 0, %pi);7(%o2)foo(x) := integrate(sin(a x), x, 0, %pi)(%i3) define (foo (x), integrate (sin (a*x), x, 0, %pi));1 cos(%pi a)(%o3)foo(x) := - - ---------aa4УпрощениеПосле вычисления выражения Maxima пытается найти эквивалентное ему «более простое», для чегоприменяется ряд правил, связанных с условным понятием простоты.
Так, 1+1 упрощается до 2, x+x —до 2x, а sin(%pi) — до 0.Однако многие известные тождества не применяются автоматически. Например, не используютсяформулы двойного угла для тригонометрических функций и не производится приведение дробей видаa/b + c/b → (a + c)/b. Для применения тождеств существуют отдельные функции.Упрощение всегда применяется, если не было явно отложено, даже в том случае, когда выражениене вычисляется.tellsimpafter вводит пользовательские правила упрощения.Рассмотрим несколько примеров.1. Знак кавычки откладывает вычисление, но не упрощение; если для глобального флага simpустановлено false, то упрощение не производится, но производится вычисление:(%i1) ’[1 + 1, x + x, x * x, sin (%pi)];2(%o1)[2, 2 x, x , 0](%i2) simp: false$(%i3) block ([x: 1], x + x);(%o3)1 + 12.
Некоторые тождества не применяются автоматически. expand, ratsimp, trigexpand, demoivre —примеры функций, применяющих тождества:(%i1) (a + b)^2;(%o1)(%i2) expand (%);(%o2)(%i3) a/b + c/b;(%o3)(%i4) ratsimp (%);(%o4)(%i5) sin (2*x);(%o5)(b + a)222b + 2 a b + ac a- + b bc + a----bsin(2 x)8(%i6) trigexpand (%);(%o6)(%i7) a * exp (b * %i);(%o7)(%i8) demoivre (%);(%o8)52 cos(x) sin(x)%i ba %ea (%i sin(b) + cos(b))apply, map и lambda1.создает и вычисляет выражение.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
