Методическое пособие по изучению математического пакета Maxima (1094489), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вот некоторые из них:••••••••••тригонометрические функции: sin (синус), cos (косинус), tan(тангенс),cot (котангенс);обратные тригонометрические функции: asin (арксинус), acos(арккосинус), atan (арктангенс), acot (арккотангенс);sec (секонс, sec x = 1/cos x), csc (косеконс, csc x = 1/sin x);sinh (гиперболический синус), cosh (гиперболический косинус), tanh(гиперболический тангенс), coth (гиперболический котангенс), sech(гиперболический секанс), cosh (гиперболический косеканс);log (натуральный логарифм);sqrt (квадратный корень);mod (остаток от деления);abs (модуль);min(x1,…,xn) и max(x1,…,xn) – нахождение минимального имаксимального значения в списке аргументов;sign (определяет знак аргумента: pos – положительный, neg –отрицательный, pnz – не определен, zero – значение равно нулю);Правило записи функцийДля записи функции необходимо указать ее название, а затем, в круглыхскобках записать через запятую значения аргументов.
Если значениемаргумента является список, то он заключается в квадратные скобки, аэлементы списка также разделяются запятыми.Пример:sin(x);integrate(sin(x),x,-5,5);plot2d([sin(x)+3,cos(x)],[x,-%pi,%pi],[y,-5,5]);Пользовательские функцииПользователь может задать собственные функции. Для этого сначалауказывается название функции, в скобках перечисляются названияаргументов, после знаков := (двоеточие и равно) следует описание функции.После задания пользовательская функция вызывается точно так, как ивстроенные функции Maxima.Пример:Нужно помнить, что не следует использовать для функций названия,зарезервированные для встроенных функций Maxima.Перевод сложных выражений в линейную форму записиОдним из самых сложных занятий для начинающих пользователей системыMaxima является запись сложных выражений, содержащих степени, дроби идругие конструкции, в линейной форме (в текстовой форме записи, припомощи ASCII символов, в одну строку).Для облегчения данного процесса можно дать несколько рекомендаций(основаны на многолетнем опыте преподавания Maxima студентам ишкольникам):• Не забывайте ставить знак умножения! В математике удвоенноезначение переменной х может быть записано в виде 2x, но в Maximaэто должно выглядеть как 2*x.• В случае сомнения всегда лучше поставить «лишние», дополнительныескобки.
Числитель и знаменатель выражения лучше всегда заключать вскобки. Также при возведении в степень выражение и степень лучшевсегда брать в скобки.Пример:Математическая записьЛинейная запись выражения(x+2)/(y-7)(x+3)**(2*y)• Функция не существует отдельно от своих аргументов (если таковыеимеются). Поэтому, например, при возведении в степень, можно взятьвсю функцию с аргументами в скобки, а потом уже возводитьполученную конструкцию в нужную степень: (sin(x))**2 Очень частопользователи пытаются возвести в степень только название функции,забывая про аргументы: sin**2(x) – это не правильно!• Также помните, что аргументы функции записываются в скобках, череззапятую.
Недопустима запись функции sin(2*x) в виде sin*2*x илиsin2x. Сначала напишите название функции, затем поставьте после неепустые скобки, и только потом, в этих скобках, напишите все ееаргументы, разделяя их запятыми. Никаких конструкций междуназванием функции и открывающейся скобкой быть не должно!• В случае записи сложного выражения разбейте его на несколькопростых составляющих, введите их по отдельности, а затемобъедините, используя рассмотренные ранее обозначения введенныхкоманд.Пример:Необходимо ввести следующее выражение:Данное выражение можно разделить на 3 части, записать их по отдельности изатем соединив, используя результаты промежуточных расчетовРешение задач элементарной математикиК таким задачам можно отнести вычисление и преобразованиеарифметических выражений, построение графиков функций, решениеуравнений и систем алгебраических уравнений.Рассмотрим ряд полезных функций:assume - ввод ограничений и forget - снятие ограниченийdivide - нахождение частного и остатка от деления одного многочлена надругойПервый элемент полученного массива – частное, второй – остаток отделения.factor - разложение на множителиexpand - раскрытие скобокgcd - наибольший общий делитель многочленовratsimp – упрощение выраженияpartfrac – преобразовать в простые дроби по заданной переменнойПусть дано выражениеtrigsimp - тригонометрическое упрощениеtrigexpand (тригонометрическое раскрытие скобок) - использует формулыпреобразования сумм двух углов для представления введенного выражения вкак можно более простом виде – где в качестве аргумента только однапеременнаяtrigreduce(приведениетригонометрическое)преобразуеттригонометрическое выражение к сумме элементов, каждый из которыхсодержит только sin или cosНахождение корней уравнений и систем алгебраических уравненийsolve - решение алгебраических уравнений и их систем (в качествепараметров в первых квадратных скобках указывается список уравненийчерез запятую, во-вторых - список переменных, через запятую)В случае множества решений у тригонометрических уравнений выдаетсясоответствующее сообщение только и одно из решенийТакже Maxima позволяет находить комплексные корниПостроение графиков функцийВ Maxima имеется несколько альтернативных библиотек для отображенияграфиков функций, наборов точек, трехмерных тел, градиентов и т.д.Рассмотрим несколько примеров построения графиков.
По умолчаниюиспользуется библиотека Plot, которая и будет рассмотрена ниже. Также длярешения некоторых задач рекомендуется ознакомиться с возможностямибиблиотеки Draw (см. справочную систему Maxima).Сразу стоит отметить, что при построении графика стоит обращать вниманиена масштаб делений по осям. И, если, вместо ожидаемой окружности, мыувидим эллипс, то, скорее всего это произошло именно из-за несоответствиямасштаба делений по осям.Пример 1. Двумерный график. На графике показаны три зависимости.График построен с использованием функции plot2d.
Первый аргумент –список функций, второй и третий – ограничения по осям координат. Третийаргумент является необязательным. Если его не указать – он будет подобранавтоматически.3sin(2*x)sin(x)2*sin(x)210-1-2-3-3-2-10123xПример 2. Построение графиков функций, заданных параметрически.Приведем пример построения графика функции с зависимостью, заданнойпараметрически:(%i31) plot2d ([parametric, cos(t), sin(t), [t,-%pi,%pi], [nticks,80]], [x, -4/3, 4/3]);Параметр nticks,80 указывает сколько опорных точек используется дляпостроения графика.
В данном примере, при значении 4 получимтреугольник, при значении 5 – четырехугольник и т.д.10.80.60.4sin(t)0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.500.51cos(t)Пример 3. Построение графиков функций в полярных координатах.На первом этапе необходимо задать функцию для построения графиков вполярных координатах.(%i11) plot_polar(expr,range):=block([theta_var: range[1]],plot2d(['parametric,cos(theta_var)*expr, sin(theta_var)*expr,range,[nticks,80]]))Теперь для построения дуги необходимо ввести10.90.80.7sin(t)0.60.50.40.30.20.10-1-0.50cos(t)0.51Приведем еще один пример построения графика в полярных координатах.
Наэтот раз для функции sin(t)+2*cos(2*t).В результате получим следующее изображение:0.80.6sin(t)*(2*cos(2*t)+sin(t))0.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5cos(t)*(2*cos(2*t)+sin(t))22*cos(t)*sin(2*t), 2*sin(t)*sin(2*t)1.510.50-0.5-1-1.5-2-2-1.5-1-0.500.511.5Пример 4. Построение графика по точкам.Зададим координаты как два массива значений (в первом координаты хточек, во втором – координаты у):2и вызовем функцию построения графика:В результате получим график функции, построенный по заданнымкоординатам опорных точек.1.41.31.2discrete data1.110.90.80.70.60.51015202530354045Еще раз отметим опорные точки на осях координат (на этот раз укажемMaxima не соединять точки между собой):501.41.31.2discrete data1.110.90.80.70.60.5101520253035404550Пример 5.
Затабулировать функцию и построить ее график.Сначала создадим список абцисс точек табуляции. Его можно задать как ввиде функции (см. ниже), так и просто записав координаты в квадратныхскобках, через запятую (как было рассмотрено ранее).Затем задаем функцию и вызываем функцию построения графика.98discrete data7654300.20.40.60.81Пример 6. Построение трехмерных графиковДля начала рассмотрим простой пример:2^(v^2-u^2)16141210864201614121086420-3-2-101234 -2-1.5-1-0.500.511.52Пример 7. В следующем примере «трехмерность» заменена градиентнымпереходом цветов.(%i40) plot3d (cos (-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],[gnuplot_preamble, "set view map; unset surface"],[gnuplot_pm3d, true], [grid, 150, 150]);4130.80.620.410.200-0.2-1-0.4-2-0.6-3-0.8-4-1-4-3-2-101234Более подробно о построении графиков можно посмотреть в справочнойсистеме Maxima.Решение задач линейной алгебрыВ данном разделе будут рассмотрены основные операции с матрицами.Для задания матрицы используется функция matrix:Операции с матрицамиРассмотрим основные операции с матрицами на примере, для этого зададимдве матрицы: x и y.Поэлементное сложение,возведение в степень.вычитание,Пример применения функции к матрице:умножениеиделениематриц,Умножение матрицВозведение в степень (в данном примере получается обратная матрица)Функции для работы с матрицамиdeterminant – нахождение определителя матрицы:eigenvalues – нахождение собственных значений матрицы:invert – получение обратной матрицы:minor – определяет минор матрицы.
Первый аргумент – матрица, второй итретий – индексы строки и столбца соответственно:rank – ранг матрицы:submatrix – возвращает матрицу, полученную из исходной удалениемсоответствующих строк и (или) столбцов. В качестве параметров следуютномера удаляемых строк, исходная матрица, номера удаляемых столбцов.transpose – транспонирование матрицы:Решение задач математического анализаНахождение производнойФункция diff позволяет найти производные, как первого, так и более высокихпорядков. При наличии у функции нескольких переменных можно найтичастную производную по одной из них.Синтаксис: diff(функция, переменная, порядок производной);Пример: найти первую производную функции y(x)=ex/x2.Сначала введем функцию: y(x):=exp(x)/x^2; (обратите внимание, что вотличие от присвоения значения переменной, здесь используется комбинациясимволов ":=" (двоеточие и равно)), а затем найдем ее производную попеременной х.Для этого введем команду: diff(y(x),x,1); или diff(y(x),x);.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
