Розин Л.А. - Метод конечных элементов (статья) (1092411), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Силы и перемещения считаются положительными, если они направлены в положительном направлении x. Задача состоит в определении перемещенийточек, принадлежащих осям стержней и продольныхвнутренних сил в поперечных сечениях стержней.Согласно методу конечных элементов, представимстержневую систему в виде элементов, соединенных вузлах. В качестве элементов примем отдельные стержни, а узлов – точки 1 и 2. На рис. 2, а в скобках указаныномера элементов.
Обратимся к типовому для даннойсистемы элементу r. На элемент r с узлами i, j (рис. 2, б )может действовать распределенная нагрузка интенсив(r)(r)ности q(r)(x) и перемещения его узлов u i , u j . Примемx = 0 в узле i и обозначим длину элемента l (r). Получимзадачу для функции u(r)(x) перемещений точек оси r.Бесконечно малая часть элемента dx находится в равновесии под действием нагрузки q(r)(x)dx и продольныхвнутренних сил N (r)(x), действующих так, как показанона рис. 2, в. Из условия равновесия dx имеемdN(r)(r)+ q d x = 0,Согласно закону Гука, для упругого стержня122(r)(r)(r)нейная задача, то они линейно зависят от u i , u j :(r)(r) (r)(r) (r)(r)(r) (r)(r) (r)f i = f ii u i + f ij u j ,(52)f j = f ji u i + f jj u j .(r)(r)Здесь f lt (l = i, j; t = i, j) есть внутренняя сила f l , действующая на элемент r в узле l и возникающая от единичного перемещения узла t.
При этом перемещение(r)другого узла равно нулю. На рис. 3, а показана сила f ji(r)(r)для сжатого элемента при u i = 1, u j = 0.Соотношения (5) можно представить в матричнойформе. Введем столбцы f (r), u(r) и матрицу K(r)f(r) (r)f= i (r) fj, (r)uu(r) = i (r) uj,K(r) (r)f= ii (t) f ji(r) f ij .(53)(r) f jj Тогда (5) можно записать в виде(r)dN------------ = – q ( r ) .dx(r)Рассмотрим внутренние силы f i , f j , действующие в узлах i, j на элемент r.
Поскольку имеет место ли-(48)f (r) = K(r)u(r).(54)Для упругой пружины коэффициент пропорциональности между силой и перемещением называетсяС О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0МАТЕМАТИКАаiстемы в целом определяется двумя узловыми перемещениями u1 , u2 и рассматриваемая задача является дискретной.Для всей системы можно записать соотношениятипа (5) относительно суммарных для смежных элементов внутренних сил в узлах 1, 2. Обозначим их f1 , f2 .Очевидно, как и в случае типового элемента, они должны линейно зависеть от u1 , u2 :бu(r)i= 1(1)(1)(r)f 11u1 = 11(2)juf 11(r)j= 0(2)(r)2(r)f1 = f11u1 + f12u2 ,u2 = 0f ji = f jf2 = f21u1 + f22u2 .Введем столбцы f, u и матрицу жесткости всей системы K по формулам(3)f 11 = f(1)11+f(2)11 f f = 1 , f2 = f1коэффициентом жесткости пружины.
Аналогично K(r)носит название матрицы жесткости элемента r.От типового элемента перейдем к отдельным элементам данной системы. Для элемента 2 с двумя узлами1, 2 справедливы все зависимости (4)–(7), где следуетположить r = 2, i = 1, j = 2. Поскольку точки a, b неподвижны, то состояние элемента 1 определяется перемещением узла 1, а элемента 3 – перемещением узла 2.На основании (4) будем иметь для элементов 1 и 3 соотношенияuu(3)N(1)N=æ u ,(3)(3) (3)2= –æ u .В (8) координата x для элемента 1 равна нулю в точке a,а для элемента 3 – в узле 2.
Зависимости (5) для элементов 2 и 3 примут соответственно вид(1)(1) (1)f 1 = f 11 u 1 ,(3)(3) (3)f 2 = f 22 u 2 .(56)Сравнивая (5) или (7) для элемента 2 с (9) для элементов 1 и 3, можно заключить, что вместо матрицы жесткости для двуузлового элемента 2 фигурируют коэффициенты жесткости для одноузловых элементов 1 и 3.Теперь все известно о каждом отдельном элементе системы.
Следующим шагом является соединение элементов в узлах на основе условий(1)(2)u1 = u1 = u1 , . (58)(59)Здесь flt (l = 1, 2; t = 1, 2) есть суммарная для смежныхэлементов в узле l внутренняя сила fl , возникающая отединичного перемещения узла t. При этом перемещение другого узла равно нулю. Эти суммарные силы определяются через узловые силы в смежных элементах(1)(2)(2)(3)(1)f 11 = f 11 + f 11 ,(2)(2)(3)u2 = u2 = u2 ,(2)f 12 = f 12 + f 12 = f 12 ,(2)(2)f 21 = f 21 + f 21 = f 21 ,(3)(60)f 22 = f 22 + f 22 .(2)На рис. 3, б показаны силы f 11 , f 11 при u1 = 1,u2 = 0.
При этом элемент 1 растянут, а элемент 2 сжат. В(1) (1)1(55)(3)u2(3)= ------x + u2 ,(3)lf 12f 22f = Ku.(1)(1)u1= ------x,(1)l fK = 11 f 21Тогда матричное соотношение типа (7) для всей системы будетРис. 3(1) u u = 1 , u2 (1)(3)(13) f 12 = 0, f 21 = 0, поскольку узел 2 не принадлежитэлементу 1, а узел 1 не принадлежит элементу 3.
Из (13)следует, что матрица жесткости системы строится наоснове коэффициентов жесткости для отдельных элементов. Алгоритмически выполнить это можно по-разному [5]. Например, можно для всех элементов строитьматрицы жесткости одинаковой размерности равнойразмерности матрицы K, основываясь на столбце u перемещений всех узлов системы. Это возможно, по(r)скольку f lt = 0, если по крайней мере один из узлов lили t не принадлежит элементу r. В данном примере будем иметьK(1) (1)= f 11 000,(57)где u1 , u2 – перемещения узлов системы 1, 2. Отсюдаследует, что состояние соединенных элементов или си-KР О З И Н Л . А . М Е ТО Д К О Н Е Ч Н Ы Х Э Л Е М Е Н ТО В(3) 0= 0K(2) (2)f= 11 (2) f 21(2) f 12 ,(2) f 22 0 (3)f 22 123МАТЕМАТИКАи, согласно (13), K = K(1) + K(2) + K(3).
Из условия равновесия элемента r следует f(r)lt= ±N(r)при u(r)l= 0,(r)u t = 1, где N (r) > 0 при растяжении и N (r) < 0 при сжатии. В результате на основании (4) и (8) будем иметь(1)(2)(1)f 11 = æ ,(2)(2)(2)f 11 = f 22 = æ ,(2)(3)(2)f 12 = f 21 = – æ ,(3)f 22 = æ ,а матрица K примет вид(2) (1)K= æ +æ(2)–æ–ææ(2)(2)+æ(3).(61)Из условия равновесия узлов 1, 2 следует f1 = P1 ,f2 = P2 или для столбцов f = P, где P – столбец из P1 , P2 .Подставляя сюда вместо f его выражение согласно (12),окончательно получим систему алгебраических уравнений относительно u1 , u2Ku = Pили(æ(1)(2)(2)(2)+ æ )u 1 – æ u 2 = P1 ,–æ u1 + ( æ(2)(3)+ æ )u 2 = P2 .(62)После определения u1 , u2 в результате решения (15) находятся u(r)(x), N (r) во всех элементах системы при помощи (4) и (8).Таким образом, схема метода конечных элементовдля дискретных задач состоит из представления системы в виде совокупности отдельных элементов, использования точного решения для типового элемента и соединения элементов в систему.
Матрица жесткостивсей системы определяется посредством матриц жесткости отдельных элементов и является матрицей системы алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Наличие точного решениядля типового элемента, зависящего от конечного числапараметров – узловых перемещений, делает задачудискретной.СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙМетод конечных элементов сводит решение линейнойзадачи к решению системы линейных алгебраическихуравненийf11u1 + f12u2 + … + f1nun = P1 ,.............................................(63)fn1u1 + fn2u2 + … + fnnun = Pn .Здесь ui (i = 1, 2, …, n) – неизвестные, Pi (i = 1, 2, …, n) –заданные свободные члены, fij (i, j = 1, 2, …, n) – коэффициенты при неизвестных.
По аналогии с (11) коэф-124фициенты fij образуют квадратную матрицу, состоящуюиз n строк и n столбцов: f 11 f 12 … f 1n K = .............................. . f n1 f n2 … f nn Если обозначить столбец неизвестных u, а столбецсвободных членов P, то (16) принимает матричнуюформу (15). Система алгебраических уравнений должна быть невырожденной, то есть иметь единственноерешение. Казалось бы, дальнейшее ясно.
Можно воспользоваться для решения (16), например, методом исключения Гаусса. Однако при применении приближенных методов обычно приходится иметь дело с системамибольшого порядка n, и матрица, вообще говоря, можетиметь такую структуру, которая затрудняет получениерешения. При этом на точности результата в той илииной степени сказываются неизбежные в процессе вычислений ошибки округления. Одним из важных достоинств метода конечных элементов является то, чтоон обычно приводит к таким системам алгебраическихуравнений, матрицы K которых позволяют эффективно строить решение.Выясним, какой желательно иметь матрицу K в(16).
Пределом мечты была бы система (16) с диагональной матрицей K, когда все fij = 0 при i j. В этомслучае (16) распадается на отдельные уравненияfiiui = Pi . Такое может быть, только если в физическойсистеме, рассчитываемой методом конечных элементов, узлы между собой не связаны, то есть по существусистемы не существует. Однако теперь уже ясно, к чемунадо стремиться: следует так выполнять процесс построения алгебраической системы уравнений, чтобы матрица по возможности содержала больше нулевых коэффициентов и была близка к диагональной, другимисловами, желательно, чтобы в каждое уравнение входило относительно небольшое число неизвестных в соседних узлах.Матрицы, близкие к диагональным, обычно имеютленточную структуру, когда все ненулевые и некоторыенулевые коэффициенты находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали.
Например,t1 tK= 2*0*000***0***000*0**000**,(64)где знак * заменяет коэффициенты, отличные от нуля,а главная диагональ и параллельные ей линии указаныС О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0МАТЕМАТИКАпунктиром. Ленточную матрицу характеризует шириналенты t = t1 + t2 + 1, равная наибольшему числу коэффициентов в строке в пределах ленты. В данном случаеt1 = t2 = 2 и t = 5. Для диагональной матрицы t = 1.
Прирешении системы уравнений с ленточной матрицейучаствуют только те коэффициенты, которые расположены в пределах ленты. Число арифметических операций, необходимых для решения системы алгебраических уравнений с полностью заполненной матрицейметодом Гаусса, при больших n имеет порядок n3. В тоже время для ленточной матрицы при t1 = t2 и t1 ! n он2составляет nt 1 .Для примера ленточной матрицы обратимся к задачам предыдущего раздела, но с пятью узлами и шестью элементами на рис. 2, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
