Розин Л.А. - Метод конечных элементов (статья) (1092411)
Текст из файла
МАТЕМАТИКАМЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВЛ. А. РОЗИНСанкт-Петербургский государственный технический университетTHE FINITE ELEMENTS METHODL. A. ROZINThe finite elements method is one of the mosteffective numerical methods for solving ofmathematical problems, characterizing thestate of physical systems with complicatedstructure. The foundation of the finite elements method are illustrated by simple examples, which demonstrate its important advantages.© Розин Л.А., 2000Метод конечных элементов – один из наиболее эффективных численных методов решения математических задач, описывающих состояние физических систем сложнойструктуры.
На простых примерах пояснены основы метода конечных элементов ипроиллюстрированы его основные достоинства.120www.issep.rssi.ruВ науке и технике постоянно приходится сталкиваться с проблемой расчета систем, имеющих сложнуюгеометрическую конфигурацию и нерегулярную физическую структуру. Компьютеры позволяют выполнятьтакие расчеты при помощи приближенных численныхметодов. Метод конечных элементов (МКЭ) являетсяодним из них. В последние десятилетия он занял ведущее положение и получил широкое применение. В статье на простых примерах мы рассмотрим сущность метода конечных элементов и отметим его основныедостоинства.Предположим, что состояние системы описывается некоторой функцией. Пусть эта функция являетсяединственным решением математической задачи, сформулированной на основе физических законов.
Решение состоит в отыскании из бесконечного множествафункций такой, которая удовлетворяет уравнениямзадачи. Если задача достаточно сложная, то ее точноерешение невозможно. Вместо того чтобы искать требуемую функцию среди бесконечного множества разнообразных функций, задача упрощается. Рассматривается некоторое семейство функций, определяемыхконечным числом параметров. Как правило, среди таких функций нет точного решения задачи. Однако соответствующим подбором параметров можно попытаться приближенно удовлетворить уравнениям задачии тем самым построить ее приближенное решение.Такой общий подход характерен для многих приближенных методов. Специфическим в методе конечныхэлементов является построение семейства функций,определяемых конечным числом параметров.Допустим, требуется построить такое семействофункций u(x) при a # x # b. Интервал ab разбивается наконечное число частей (элементов), соединяющихсямежду собой и с концами интервала в узловых точках(узлах) xi (рис.
1). В пределах каждого элемента задаетсяфункция, например в виде линейного полинома. Онаопределяется своими значениями u(xi) в узлах на концах элемента. Если отыскиваемая функция являетсянепрерывной, то значения ее в каждом узле для соседних элементов совпадают. В результате имеем семейство кусочно-линейных непрерывных функций, которыеС О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0МАТЕМАТИКАuu1u2u3u4u5u6a12345 bx1x2x3x4x5x6 xРис. 1изображаются в виде ломаных и определяются конечным числом параметров – своими узловыми значениями. На рис.
1 показана одна из функций такого семейства. Здесь 5 элементов, 6 узлов и 6 узловых параметровu(xi) = ui . В случае нескольких переменных схема метода конечных элементов в принципе не меняется. Такимобразом, метод конечных элементов заменяет задачуотыскания функции на задачу отыскания конечногочисла ее приближенных значений в отдельных точкахузлах.
При этом если исходная задача относительнофункции состоит из функционального уравнения, например дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, то задача метода конечных элементов относительно ее значений в узлахпредставляет собой систему алгебраических уравнений.С уменьшением максимального размера элементовувеличивается число узлов и неизвестных узловых параметров. Вместе с этим повышается возможность более точно удовлетворить уравнениям задачи и тем самым приблизиться к искомому решению. В настоящеевремя уже изучены многие вопросы, касающиеся сходимости приближенного решения методом конечныхэлементов к точному. Для линейных задач, когда неизвестные функции и операции над ними входят во всесоотношения задачи только в первой степени, методконечных элементов получил достаточно полное математическое обоснование [1].
В дальнейшем будем рассматривать только линейные задачи, решение которыхметод конечных элементов сводит к решению систем линейных алгебраических уравнений. Отметим нескольковажных достоинств метода конечных элементов.1. Метод конечных элементов позволяет построитьудобную схему формирования системы алгебраическихуравнений относительно узловых значений искомойфункции.
Приближенная аппроксимация решения припомощи простых полиномиальных функций и все необходимые операции выполняются на отдельном типовом элементе. Затем производится объединение элементов, что приводит к требуемой системе алгебраическихуравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного эле-мента к их полному набору особенно удобен для геометрически и физически сложных систем.2. Каждое отдельное алгебраическое уравнение,полученное на основе метода конечных элементов, содержит незначительную часть узловых неизвестных отобщего их числа. Другими словами, многие коэффициенты в уравнениях алгебраической системы равны нулю, что значительно облегчает ее решение.3.
Задачи, решение которых описывается функциями, удовлетворяющими функциональным уравнениям, носят название континуальных. В отличие от нихрешение так называемых дискретных задач точно определяется конечным числом параметров, удовлетворяющих соответствующей системе алгебраических уравнений. Метод конечных элементов, так же как и другиечисленные методы, по существу приближенно заменяет континуальную задачу на дискретную. В методе конечных элементов вся процедура такой замены имеетпростой физический смысл. Это позволяет более полно представить себе весь процесс решения задачи, избежать многих возможных ошибок и правильно оценить получаемые результаты.4.
Помимо континуальных задач схема метода конечных элементов применяется для соединения элементов и формирования алгебраических уравненийпри решении непосредственно дискретных задач. Эторасширяет сферу применения метода.Первая работа, где рассматривалась схема типаметода конечных элементов, принадлежит известномуматематику Р. Куранту [2]. Построение метода с использованием физических соображений и его название“метод конечных элементов” содержатся в статье, написанной инженерами [3]. Такое сочетание специальностей авторов характерно для работ по методу конечных элементов. В последующем было опубликованомного статей и книг, посвященных этому методу и егоразличным модификациям. Некоторое представлениеоб этом можно получить из списка литературы, например в [4].
Метод конечных элементов реализован вбольших универсальных компьютерных пакетах программ, которые имеют широкое применение.ПРИМЕР ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИОбратимся к дискретной задаче, состояние которойточно определяется конечным числом параметров.Рассмотрим упругий стержень в виде прямого кругового цилиндра, длина которого значительно больше егодиаметра. Это позволяет отождествить стержень с егоосью. Пусть три таких стержня расположены на оси x исоединены между собой в точках 1 и 2 (рис. 2, а). Точкиa и b закреплены, что условно изображено на рисунке.К осям стержней вдоль x приложим внешнюю нагрузку.Р О З И Н Л .
А . М Е ТО Д К О Н Е Ч Н Ы Х Э Л Е М Е Н ТО В121МАТЕМАТИКАaбвгNiaa(r)Nl(r) q(r)(x)q(r)(x) (r)dx 11(2)2(2)3(r)N + dN2 (r)(3)x324b4(r)5(r)(r)(r)u (l ) = u j .(50)В нашем примере для случая дискретной задачи положим q(r) = 0 и будем считать, что на стержневую систему действуют только сосредоточенные силы P1 и P2 соответственно в узлах 1 и 2. Тогда решение (3) примет вид(5)x(r)(r)u ( 0 ) = ui ,2(4)(3)(49)(r) d u- = q(r) ,– c -----------2dxj(r)(r)( r ) du= c ---------- ,dxгде c(r) > 0 носит название продольной жесткостистержня и определяется из опыта.
Пусть c(r) = const дляэлемента r. Подставляя (2) в (1) получим задачу относительно u(r)(x) в виде дифференциального уравнения играничных условий(1)(1)1(r)(r)u j – ui(r)- x + u (i r ) ,u ( x ) = -------------------(r)l5(6)(r)0#x#l ,bNæ(r)(r)(r)(r)(r)= æ ( u j – u i ),(51)(r)c-.= -----(r)lНа основании (4) можно заключить, что состояниетипового элемента r, то есть u(r)(x), N(r), точно определяется двумя параметрами – перемещениями его узловxРис. 2(r)(r)u i , u j , что делает задачу дискретной.Очевидно, точки на осях стержней перемещаютсявдоль x.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
