Розин Л.А. - Метод конечных элементов (статья) (1092411), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Аналогично (11) матрица Kбудет иметь коэффициенты flt . По смыслу flt они отличны от нуля только для тех узлов l, где перемещение узлаt вызывает отличную от нуля силу при условии, что остальные узлы, кроме t, неподвижны. Отсюда при нумерации узлов, показанной на рис.
2, г, слева от оси x имеемK=**000***000***000***000**.Здесь t = 3 и матрица K является трехдиагональной.При применении метода конечных элементов ширина полосы ленточной матрицы зависит от нумерации узлов. Например, если пронумеровать узлы так,как показано на рис. 2, г справа от оси x, то K приметвид (17).
Вообще если элементы имеют несколько узлов, то при t1 = t2 величина t1 равна максимальной поэлементам величине наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе. В первом случаенумерации узлов слева на рис. 2, гt1 = 1, а при нумерации справа t1 = 2.В некоторых случаях исходная постановка задачиможет оказаться настолько плохой, что даже метод конечных элементов не может помочь. И надо ее менять.При этом имеет место система алгебраических уравнений, в которой малые изменения коэффициентов илисвободных членов приводят к значительному изменению решения. Такие системы уравнений носят название плохо обусловленных.
Выясним, в чем причинаплохой обусловленности на примере системы (15), которую перепишем в виде(1)(2)P1æ +æ- u 1 – --------,u 2 = ----------------------(2)(2)ææ(65)(2)P2æ- u + -----------------------.u 2 = ----------------------(2)(3) 1(2)(3)æ +ææ +æВ прямоугольной системе координат u1 , u2 на рис.
4уравнение прямой будет u2 = u1 tgα + g, где α – уголмежду прямой и положительным направлением оси u1 ,g – отрезок отсекаемый прямой на оси u2 . Уравнения(18) описывают две прямые на рис. 4, а решение (18)представляет собой координаты точки пересеченияэтих прямых. Здесь(1)(2)æ +æ-,tg α 1 = ----------------------(2)æ(2)æ-.tg α 2 = ----------------------(2)(3)æ +æЕсли α1 = α2 и прямые параллельны, то решениесистемы (18) не существует и она является вырожденной.
Если α1 и α2 различаются мало, то система близкак вырожденной. При этом незначительные измененияуглов α1 , α2 сильно скажутся на координатах точки пересечения прямых, то есть на решении. Таким образом,плохая обусловленность объясняется тем, что системаявляется почти вырожденной.В качестве примера обратимся к (18). Пустьæ(1) = æ(3) = æ и æ(2) @ æ, то есть элемент 2 на рис. 2, азначительно более жесткий, чем элементы 1 и 3. Приэтом tgα1 ≈ tgα2 и система (18) почти вырожденная. Вданном случае разумно изменить постановку задачи исчитать элемент 2 абсолютно жестким по сравнению сэлементами 1 и 3. Это позволяет объединить узлы 1 и 2в один узел, который обозначим 12, и приложить к нему суммарную силу P12 = P1 + P2 .
Если в (18) положитьu1 = u2 = u12 , вычесть из первого уравнения второе и после преобразований пренебречь æ по сравнению с æ(2),то задача сведется к одному уравнению 2æu12 = P12 .u2P2-----------------------(1)(3)æ +æα1α2P1-------(2)æР О З И Н Л . А . М Е ТО Д К О Н Е Ч Н Ы Х Э Л Е М Е Н ТО В0u1Рис. 4125МАТЕМАТИКАПРИМЕР КОНТИНУАЛЬНОЙ ЗАДАЧИОбратимся к задаче (3) для одного элемента. В общемслучае задания q(r)(x) она является континуальной зада(r)(r)чей.
Для простоты положим с(r) = 1, l (r) = 1, u i = u j = 0и опустим индекс r, тогда задача (3) будет−u" = q(x),u(0) = u(1) = 0,(66)где штрихи означают дифференцирование по x. Согласно схеме метода конечных элементов разобьем интервал 0, 1 на элементы, соединенные в узлах xi (i = 0, 1,…, n + 1) (рис. 5). Будем разыскивать приближенное решение (19) среди функций семейства с конечным числом параметров в видеu(x) = u0ϕ0(x) + u1ϕ1(x) + … + unϕn(x) + un + 1ϕn + 1(x).
(67)Здесь u(x) приближенно представлена линейной комбинацией некоторых функций ϕi(x) с коэффициентами(параметрами) ui = u(xi) – неизвестными значениямиискомой функции в узлах xi . Для того чтобы в (20)u(xi) = ui во всех узлах xi , функции ϕi(x) должны удовлетворять условиям ϕi(xi) = 1 и ϕi(xj) = 0 для всех узлов xjпри j i. Кроме того, чтобы выполнялись граничныеусловия (19), следует в (20) положить u0 = un + 1 = 0. В остальном функции ϕi(x), которые носят название пробных, можно выбирать в довольно широких пределах.Общие требования к ним состоят в возможности выполнить процесс построения приближенного решенияи на основе (20) при n∞ осуществить сколь угодноточно соответствующую аппроксимацию любой функции, среди которых разыскивается решение задачи.Очевидно, выбор ϕi(x) играет важнейшую роль как в отношении трудоемкости расчета, так и точности результата.
Метод конечных элементов оперирует в качествеϕi(x) кусочно-полиномиальными функциями, отличными от нуля в пределах небольшого числа элементоввблизи узла xi . Именно это делает метод максимальноэффективным. Поскольку u(x) по своему физическомусмыслу должна быть непрерывной функцией, выберемϕi(x) в виде кусочно-линейных функций-“домиков”,отличных от нуля на двух элементах (см. рис. 5). Каждая такая функция ϕi(x), i = 1, 2, …, n, равна единице вxi и нулю во всех остальных узлах. При этом наборфункций u(x) в (20) будет состоять из непрерывныхфункций линейных в пределах элементов с изломами вϕi − 1ϕiϕi + 11hx0 = 0 x1hxi − 1hxihxi + 1узлах и определяемых своими узловыми значениями ui ,i = 1, 2, …, n. На концах интервала 0, 1 они обращаютсяв нуль.
Каждую из таких функций можно изобразить ввиде ломаной линии.Остается определить ui в (20). Это можно сделатьпо-разному путем приближенного удовлетворенияуравнению в (19). Однако, поскольку уравнение в (19)содержит u", а уже u' в (20) терпит разрывы непрерывности в узлах, воспользуемся следующим приемом.Обозначим R(x) = u"(x) + q(x) невязку уравнения в (19).Точное решение дает R(x) = 0, и, следовательно,1∫ [ u" ( x ) + q ( x ) ]ϕ ( x ) dx = 0для любых функций ϕ(x), которые носят название тестовых. Поскольку разыскивается приближенное решение в форме (20) и для него, как правило, R(x) 0, товыполнение тестового условия (21) на базе (20) невозможно. Смягчим выполнение условия (21), потребовав, чтобы оно выполнялось только для n функцийϕj(x), которые совпадают с пробными.
Такой прием носит название метода Галёркина. Выполним в (21) интегрирование по частям при условии ϕ(x) = ϕj(x) и ϕj(0) == ϕj(1) = 0, тогда вместо (21) получим1∫ ( – u'ϕ' + qϕ ) dx = 0,j126j = 1, 2, …, n.j(69)0Теперь уже в задачу (22) входит u' и можно подставить u из (20) в (22), что дает систему линейных алгебраических уравнений относительно ui вида (16) с коэффициентами fij и свободными членами Pi11∫∫f ij = ϕ 'ϕi 'j d x,P i = qϕ j d x.0(70)0Здесь fij = fji и матрица K симметричная, что характернодля метода Галёркина.
Для простоты примем длинуэлементов одинаковой и равной h. Согласно рис. 5, наклон ϕ i' функции ϕi равен 1/ h на интервале xi − 1 , xi и−1/h на интервале xi , xi + 1 .Кроме того, произведение ϕ i'ϕ 'j отлично от нулятолько при j = i, j = i 7 1, когда соответствующие дваэлемента, которые несут на себе функции ϕi и ϕj , перекрываются (см.
рис. 5). В противном случае ϕ 'ϕi 'j = 0.Если i = j, тоxxn xn + 1 = 1xi + 1f ij =Рис. 5(68)0∫xi – 1xi( ϕ 'i ) d x =2∫2 --1- d x + hxi – 1С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0xi + 1∫xi2 – --1- d x = 2-- hhМАТЕМАТИКААналогично fi j = −1/ h при j = i 7 1. Следовательно,матрица K в данном случае оказывается трехдиагональной: 2 –11K = --- h 0–12–1–12–10 .– 1 2 (71)Согласно (23), интегрирование в Pi совершается толькона двух соседних элементах. Решение полученной системы алгебраических уравнений дает ui и позволяетпредставить приближенное решение в форме (20).В данном примере непрерывность пробных функций ϕi позволила воспользоваться (22).
Кроме того, всефункции ϕi отличны от нуля на разных интервалах 2h,что делает их существенно различными и построеннуюна их основе при помощи (23) систему линейных алгебраических уравнений невырожденной. Более того,матрица (24) оказалась ленточной и каждое уравнениесвязывает не более трех неизвестных в соседних узлах.Полученное приближенное решение (20) в виде ломаной линии хорошо аппроксимирует решение задачипри достаточно больших n.Таким образом, для континуальной задачи методконечных элементов осуществляет приближенный переход к дискретной задаче на основе (20) и соответствующих кусочно-полиномиальных функций ϕi , отличныхот нуля на нескольких соседних элементах, содержащихузел xi .
Дальнейшие процедуры метода конечных эле-ментов для континуальной и дискретной задач в основном совпадают. Здесь, так же как и в случае дискретнойзадачи, можно выполнить построение матрицы K(r) длятипового элемента и из них в процессе соединенияэлементов в систему сформировать матрицу K для всейсистемы.
Аналогично формируются и свободные члены уравнений. Алгоритм метода конечных элементовособенно эффективен для решения двух- и трехмерных задач, где проявляются основные преимуществаэтого метода.ЛИТЕРАТУРА1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.М.: Мир, 1977. 349 с.2. Courant R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol.
49. P. 1–43.3. Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut Sci.1956. Vol. 23, № 9. P. 805–823.4. Зинкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.5. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечныхэлементов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 232 с.Рецензент статьи Ю.Г. Мартыненко***Леонид Александрович Розин, доктор физико-математических наук, профессор, зав.
кафедрой строительной механики и теории упругости Санкт-Петербургского государственного технического университета,заслуженный деятель науки и техники РФ. Областьнаучных интересов – численные методы решения задач механики деформируемых систем. Автор более160 статей и семи монографий.Р О З И Н Л . А .
М Е ТО Д К О Н Е Ч Н Ы Х Э Л Е М Е Н ТО В127.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
