Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , Cn из системы∂ψ (k+1)∂ψ ∂ψ +y+...+y= 0, ∂x∂y∂y (n)·········∂ψ (n)∂ (n−k) ψ+ . . . + (k) y = 0∂x(n−1)∂yмы получим уравнение (6.1).В частности, соотношение ψ(x, y, y , . . . , y (n−1) , C) = 0, содержащее одну произвольную постоянную, называется первыминтегралом.2Пример. Уравнение 2yy = y +1 имеет первый интеграл2вида y = Cy − 1.Действительно, дифференцируя полученный первый интеграл по x, после сокращения на y получим C = 2y , что после2подстановки в первый интеграл y = Cy − 1 дает исходноеуравнение.6.2 Уравнения, допускающие понижение порядка856.2.
Дифференциальные уравнения,допускающие понижение порядкаРассмотрим последовательно, в каких случаях возможно икак осуществляется понижение порядка дифференциальногоуравнения.1. Если уравнение имеет видy (k) = f (x),(6.6)то оно сводится к квадратурам с помощью подстановкиy (k−1) = u(x), тогда y (k) = u и уравнение (6.6) приводитсяк простейшему уравнению первого порядка u = f (x), котороеимеет решениеu(x) = f (x) dx = F (x) + C1 ,где функция F (x) – одна из первообразных от f (x). Так какu(x) = y (k−1) , то получаем уравнениеy (k−1) = F (x) + C1 ,которое интегрируется так же, как уравнение (6.6).Таким образом, в результате k-кратного последовательногоинтегрирования уравнения (6.6) получим y=.
. . f (x) dx dx . . . dx + C1 xn−1 + C2 xn−2 + . . . n раз. . . + Cn−1 x + Cn.2. Если в уравнение не входит искомая функция y и, возможно, несколько ее производных низшего порядка, то естьуравнение имеет видF (x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0,то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию z(x), низшую из производных, входящих в866Дифференциальные уравнения высших порядковуравнение, то есть сделав замену переменных y (k) = z(x). В результате получим уравнение (n − k)-го порядка:F (x, z, z , . . .
, z (n−k) ) = 0.Если это уравнение интегрируется в квадратурах, так чтоz = ϕ(x, C1 , . . . , Cn−k ) или Φ(x, z, C1 , . . . , Cn−k ) = 0,то, возвращаясь к переменной y, получим соответственно:y (k) = ϕ(x, C1 , . . . , Cn−k ) или Φ(x, y (k) , C1 , . . . , Cn−k ) = 0.Это – уравнение вида (6.6), рассмотренного выше.3.
Если в уравнение не входит независимая переменная x,то есть уравнение имеет видF (y, y , y , . . . , y (n) ) = 0,то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную y, а за новую неизвестную функциюy = p(y).(6.7)Тогда по формуле для производной сложной функции имеемd(y ) dp(y)dp dydpy ===·=p ;(6.8)dxdxdy dxdy 22)d(yddpddpdydp2d py =+p 2 ·=p=p=pdxdxdydydy dxdydy(6.9)Аналогично можно найти и производные более высоких порядков.После подстановки выражений (6.7), (6.8) и (6.9) для y , y ,y и т.д.
в данное дифференциальное уравнение получаем уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходногоуравнения.4. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, в котором обе его части6.2 Уравнения, допускающие понижение порядка87являются полными производными по x от каких-нибудь функций.Например, пусть дано уравнение yy = y 2 . Разделив обеy yчасти на yy , получим = , откуда (ln y ) = (ln y) .
Этоyyуравнение легко интегрируется: ln y = ln y + ln C, и после потенцирования получаем y = yC. Порядок уравнения понижен.5. Если уравнение однородно относительно искомой функции y и ее производных, т. е. не меняется при одновременнойзамене y, y , y , . . . на ky, ky , ky , . . ., то порядок уравненияпонижается подстановкой y = yz, где z(x) – новая неизвестнаяфункция.Действительно, найдем выражения для y , y и т.д. Дифференцируя последовательно y = yz по x и заменяя каждыйраз y на yz, будем иметь:y = y z + yz = y(z 2 + z ),y = y(z 3 + 3zz + z )и т.д., то есть все выражения для производных содержат y какмножитель.
В силу предположенной однородности при одновременной замене y, y , y , . . . на ky, ky , ky , . . . уравнениене изменяется, поэтому, взяв k = 1/y, можно исключить y ипонизить порядок уравнения на единицу.6. Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно x и y в обобщенном смысле, т. е.
неменяется от замены x на kx, y на k m y (при этом y заменяетсяна k m−1 y , y на k m−2 y и т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным в обобщенном смысле, и найти число m, надоприравнять друг другу показатели степеней, в которых число k будет входить в каждый член уравнения после указаннойзамены.Например, в первый член уравнения 2x4 y − 3y 2 = x4 послеэтой замены число k будет входить в степени 4 + (m − 2), во886Дифференциальные уравнения высших порядковвторой – в степени 2m, в третий – в степени 4. Следовательно,m должно удовлетворять уравнениям 4 + (m − 2) = 2m = 4,откуда m = 2.Если же полученные уравнения для m будут несовместными, то дифференциальное уравнение не является однороднымв указанном смысле.
После того, как число m найдено, необходимо сделать замену переменныхx = et , y = zemt ,(6.10)где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная. В результате подстановки (6.10) получимуравнение, в которое не входит независимая переменная t. Порядок такого уравнения понижается одним из рассмотренныхранее способов.6.3. Линейные дифференциальные уравненияn-го порядка6.3.1. Определения и общие свойстваДифференциальное уравнение называется линейным, еслионо первой степени относительно искомой функции y и всех ееdn ydy, .
. . , n:производныхdxdxa0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +. . .+a(n−1) (x)y +an (x)y = F (x). (6.11)В этом случае, если a0 (x) = 0 при любом x ∈ (a, b) и функции a0 (x), . . . , an (x), F (x) непрерывны на (a, b), то для равносильного дифференциального уравненияy (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn−1 (x)y + pn (x)y = f (x),(6.12)полученного из уравнения (6.11) почленным делением на a0 (x),верна следующая6.3 Линейные дифференциальные уравнения89Теорема 6.2 (существования и единственности). Если коэффициенты уравнения (6.12) pi (x), i = 1, . . . , n и праваячасть f (x) непрерывны на отрезке [a, b], то решение уравнения (6.12) существует во всех внутренних точках отрезка[a, b] и единственно.Если правая часть f (x) линейного дифференциального уравнения (6.12) не равна тождественно нулю, то такое уравнениеназывается неоднородным линейным уравнением.Если же правая часть уравнения f (x) ≡ 0, то уравнениеназывается однородным линейным уравнением.Свойства линейного уравнения:(1) Уравнение остается линейным при любой замене независимой переменной x = ϕ(ξ), где ϕ(ξ) — n-кратно непрерывно дифференцируемая функция и ϕ(ξ) = 0.
Этосвойство вытекает из линейности производных:1 dydy= ,d x ϕ (ξ) d ξ1 d2 yd2 y1 dϕ d y1 dy= 2 2 − 3 , . . .= d x2ϕ (ξ) d ξ ϕ (ξ) d ξϕ (ξ) d ξϕ dξ(2) Уравнение остается линейным при линейном преобразовании зависимых переменныхy = β(x)η + γ(x).Действительно:y = βdη+ β η + γ dxи формулы для производных высших порядков такжелинейны.906Дифференциальные уравнения высших порядков6.4. Общая теория линейных однородныхуравненийРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнениеy (n) + p1 (x)y (n−1) + .
. . + pn−1 (x)y + pn (x)y = 0,(6.13)левую часть которого с помощью операторов взятия производdkможно переписать в виденыхd xk nd(n−1)dd+ pn (x) [ y ].L[ y ] ≡+ p1 (x) (n−1) + . . . + pn−1 (x)d xndxdxЧерез L[ y ] мы будем сокращенно обозначать результат применения к функции y совокупности операций дифференцирования, умножения на коэффициенты pi (x) и сложения, указанных в (6.13). Будем называть L[ y ] линейным дифференциальным оператором. Тогда дифференциальное уравнение (6.13)запишется в операторном видеL[ y ] = 0.(6.14)Свойства линейного оператора:(1) L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] — оператор от суммы равенсумме операторов слагаемых.(2) L[ Cy1 ] = C L[ y1 ] — постоянный множитель можно выносить за знак линейного оператора.Теорема 6.3.
Если y1 (x) и y2 (x) — два (частных) решения линейного однородного уравнения (6.13), то их суммаy1 (x) + y2 (x) — также решение этого уравнения.Доказательство. Так как y1 (x) и y2 (x) есть решения (6.13),то имеем тождества: L[ y1 (x) ] ≡ 0 и L[ y2 (x) ] ≡ 0. В силу первого свойства линейного оператораL[ y1 (x) + y2 (x) ] = L[ y1 (x) ] + L[ y2 (x) ],6.4 Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений91что по условию теоремы тождественно равно нулю. Теоремадоказана.Теорема 6.4.
Если y(x) — решение уравнения (6.13), тоCy(x) — также решение этого уравнения (C = const).Доказательство. Доказательство следует из второго свойства линейного оператораL[ C y(x) ] = C L[ y(x) ] ≡ 0.Следствие 1. Если y1 (x), . . . , yn (x) — частные решения уравнения (6.13), то C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) — также есть решениеэтого уравнения.Видно, что множество решений образует линейное пространство.Поскольку последнее выражение содержит n произвольныхпостоянных, возникает естественный вопрос: будет ли функция y = C1 y1 (x) + . .
. + Cn yn (x) общим решением? Ответ даетпонятие линейной зависимости функций и линейной независимости.Определение. Выражение α1 ϕ1 (x) + . . . + αn ϕn (x), в котором α1 , α2 , . . . , αn есть некоторые постоянные, называетсялинейной комбинацией функций ϕ1 (x), . . . , ϕn (x).Определение. Если существует {αi } ≡ 0 такие, что длялюбого x ∈ (a, b) верно тождество:nαi ϕi (x) ≡ 0,i=1то функции {ϕi (x)} линейно зависимы.Если же не существуют такие {αi } = 0, или, точнее, последнее тождество верно только когда все {αi } = 0, — то {ϕi (x)}линейно независимы.Примеры.(1) Если хотя бы одна из функций ϕi (x) ≡ 0 в рассматриваемом интервале, то функции {ϕi (x)} линейно зависимы.926Дифференциальные уравнения высших порядков(2) Функции 1, x, x2 , .
. . , xn линейно независимы на интервале(−∞, +∞).Докажем это от противного. Пустьα0 + α1 x + α2 x2 + . . . + αn xn ≡ 0.Тогда мы получаем противоречие основной теореме алгебры, ведь α0 + α1 x + α2 x2 + . . . + αn xn есть многочленn-ной степени, а он имеет не более n корней.(3) Функции x2 и x|x|, где x ∈ [−1, 1] — линейно независимына отрезке [−1, 1].Доказать этот факт можно от противного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
