Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Предположим, чтоC1 x2 + C2 x|x| ≡ 0.Тогда, подставляя в это тождество значения x = 1 иx = −1, получим системуC1 + C2 = 0,C1 − C2 = 0,откуда следует, что C1 = C2 = 0.(4) На любом интервале линейно зависимой системой функций являются функции {sin2 x, cos2 x, 1}.Докажите это утверждение самостоятельно.6.4.1. Определитель ВронскогоПусть имеются n функций, зависящих от x:y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x),имеющих непрерывные производные до (n − 1)-го порядкавключительно.6.4 Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений93Определителем Вронского называется функциональный определитель вида y1 (x)y2 (x) .
. . yn (x) y (x)y2 (x) . . . yn (x) 1W [ y1 (x), . . . , yn (x) ] ≡ ............. (n−1)(n−1)(n−1) y1(x) y2(x) . . . yn (x) (6.15)Теорема 6.5. Если функции {yi (x)} линейно зависимы,то их определитель Вронского тождественно равен нулюW (x) ≡ 0.Доказательство. Поскольку функции {yi (x)} линейно зависимы, то существуют {αi } ≡ 0, такие чтоα1 y1 (x) + α2 y2 (x) + .
. . + αn yn(x) ≡ 0.(6.16)Без ограничения общности можно допустить, что αn = 0(иначе можно изменить нумерацию функций). Разрешая соотношение (6.16) относительно yn (x), получим тождество:yn (x) ≡ β1 y1 (x) + . . . + βn−1 yn−1 (x),(6.17)αi, i = 1, 2, . . . , n − 1.αnПродифференцировав тождество (6.17) по x, получим:где βi = −yn (x) = β1 y1 (x) + . . . + βn−1 yn−1(x),············(n−1)(n−1)(n−1)(x) + . .
. + βn−1 yn−1 (x).yn (x) = β1 y1Следовательно, последний столбец в определителе Вронского (6.15) есть линейная комбинация остальных столбцов и значит W (x) ≡ 0.Правило. Либо W (x) ≡ 0, тогда функции линейно независимы (это легко доказывается от противного), либо W (x)тождественно равен нулю, тогда ничего определенного сказатьнельзя.946Дифференциальные уравнения высших порядковУтверждение, что если W (x) ≡ 0, то функции линейно зависимы – неверно.
Покажем это на следующем примере. Рассмотрим систему функций ϕ1 (x) = x2 , ϕ2 (x) = x|x|, линейнонезависимых на интервале [−1, 1]. Вычислим ее определительВронского: 2 x x |x|=W (x) = 2x | x | + x sgn x = x2 |x| + x3 sgn x − 2x2 |x| = x3 sgn x − x2 |x| ≡ 0.Теорема 6.6. Если y1 (x), . . .
, yn (x) линейно независимые(на интервале (a, b)) решения уравнения (6.13), то определитель Вронского W [ y1 (x), . . . , yn (x) ] не обращается в нуль нив одной точке рассматриваемого интервала.Доказательство от противного. Предположим, что существует значение x0 ∈ (a, b), такое что W (x0 ) = 0.
Обо(k)(k), . . ., yi (x0 ) = yi0 , . . .,значим yi (x0 ) = yi0 , yi (x0 ) = yi0(n−1)(n−1)(x0 ) = yi0и составим систему уравнений:yiC1 y10 + C2 y20 + . . . + Cn yn0 = 0, C y + C y + . . . + C y = 0,1 102 20n n0(6.18)···············(n−1)(n−1)(n−1)C1 y10 + C2 y20 + . . .
+ Cn yn0 = 0.В системе (6.18) величины C1 , . . . , Cn неизвестны. Так какW (x0 ) = 0, то определитель этой системы равен нулю. Поэтомусуществует ненулевое решение однородной системы C1 , . . . , Cn ,такое что не все Ci равны нулю.Составим функцию y (x) = C1 y1 (x) + . .
. + Cn yn (x); по теоремам (6.3) и (6.4) она является решением уравнения (6.13).При x = x0 получаем:y (x0 ) = 0,y (x0 ) = 0,...,y (n−1) (x0 ) = 0.(6.19)6.4 Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений95Но по теореме существования и единственности (6.2) начальные условия (6.19) определяют единственное решение уравнения (6.13). Но таким решением, очевидно, является тривиальное решение y(x) ≡ 0, которое, очевидно, удовлетворяет начальным условиям (6.19).
Следовательно,C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) ≡ 0,и, значит, функции y1 (x), . . . , yn (x) линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.Вывод из теорем (6.5) и (6.6): Определитель Вронского,составленный для системы n функций, представляющих собойn решений линейных однородных уравнений, либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком x ∈ (a, b), накотором pi (x) ∈ C.Определение.
Фундаментальной системой называют любую систему n линейно независимых частных решений.Следствие теоремы (6.6). Функции, образующие фундаментальную систему, линейно независимы в всяком частичном интервале (α, β), содержащемся в (a, b). Это следует из необращения в нуль определителя Вронского.Теорема 6.7. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система.Доказательство. Возьмем n2 чисел aik (i, k = 1, 2, . .
. , n),удовлетворяющих условию: a11 . . . a1n . . ... . ... = ∆ = 0.(6.20) an1 . . . ann Определим n частных решений y1 (x), . . . , yn(x) по начальным условиям при x = x0 :yi (x0 ) = ai1 , yi (x0 ) = ai2 , . . . , yi(n−1)(x0 ) = ain (i = 1, 2, . . . , n).966Дифференциальные уравнения высших порядковОпределитель (6.20) равен значению определителя Вронского при x = x0 : ∆ = W (x)|x=x0 , следовательно W (x) = 0, поэтому y1 (x), . . .
, yn (x) линейно независимы.Замечание. Матрицу удобно взять такую, что aij = δij ,то есть (aij ) = E, тогда получим нормальную фундаментальную систему.Теорема 6.8. (Теорема о структуре общего решения линейного уравнения.) Если функции y1 (x), . . . , yn (x) образуютфундаментальную систему решений уравнения L[ y ] = 0, тообщее решение имеет вид:(6.21)y = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn(x).Доказательство. Так как в силу теорем (6.3) и (6.4) функция y(x), заданная формулой (6.21), является решением, тодостаточно показать, как определить частные решения по начальным условиям, то есть как в формуле (6.21) определитьпостоянные C1 , C2 , .
. . , Cn , так чтобы удовлетворялись начальные условияy(x)|x=x0 = y0 , y (x)|x=x0 = y0 , . . . , y (n−1) (x)|x=x0 = y0(n−1).(6.22)Для определения постоянных Ci составим линейную системуC1 y10 + C2 y20 + . . . + Cn yn0 = y0 , C y + C y + . . . + C y = y ,1 102 20n n00(6.23)···············(n−1)(n−1)(n−1)(n−1)C1 y10 + C2 y20 + . .
. + Cn yn0 = y0,правая часть которой представляет собой начальные условия(6.22) в точке x = x0 , а в качестве коэффициентов при Ci использованы значения функций yi (x) при x = x0 : yi0 = yi (x0 ),(k)(k)(n−1)(n−1)= yi (x0 ), . . ., yi0 = yi (x0 ), . . ., yi0= yi(x0 ), гдеyi0i = 1, 2, .
. . , n.Так как определитель системы (6.23) есть определительВронского, вычисленный в точке x = x0 , т.е. ∆ = W (x)|x=x0 ,6.4 Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений97и в силу теоремы (6.6) W (x0 ) = 0, то существует единственноерешение для постоянных Ci и, следовательно, система (6.23)имеет единственное решение при любых начальных условиях(6.22); y(x) содержит все частные решения.Теорема 6.9. Если существует (n + 1) частных решенийy1 (x), y2 (x), . .
. , yn+1 (x) уравнения (6.13), то между ними существует линейная зависимость.Доказательство. Возможны два случая:(1) Решения y1 (x), . . . , yn (x) линейно зависимы. Тогда y1 (x),. . ., yn (x), yn+1 (x) также линейно зависимы.(2) Решения y1 (x), . . . , yn (x) линейно независимы. Значитони образуют фундаментальную систему и yn+1 (x) выражается через y1 (x), . .
. , yn (x):yn+1 (x) = A1 y1 (x) + . . . + An yn (x)(по теореме (6.8)).Отсюда следует, что решения y1 (x), . . . , yn+1 (x) линейно зависимы.Теорема 6.10. Если два линейных однородных уравненияy (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn(x)y = 0,(6.24)y (n) + p 1 (x)y (n−1) + . . . + p n(x)y = 0.имеют общую фундаментальную систему решений, то онитождественны между собой, т.е. pi (x) = p i (x) (i = 1, 2, . .
. , n).Доказательство. Вычтем почленно из первого уравнениявторое, получим дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка:(p1 (x) − p 1 (x))y (n−1) + (p2 (x) − p 2 (x))y (n−2) + . . .. . . + (pn (x) − p n (x))y = 0.(6.25)986Дифференциальные уравнения высших порядковЕсли p1 (x) ≡ p 1 (x), то найдется по крайней мере одна точка,а в силу непрерывности коэффициентов уравнения и некоторый интервал (α, β), в каждой точке которого p1 (x)− p 1 (x) = 0.Поделив обе части уравнения (6.25) на p1 (x) − p 1 (x), получим уравнение с коэффициентом при старшей степени, равным единице. Оно допускает те же решения, что и уравнения(6.24), т.е. уравнение (n − 1)-го порядка со старшим коэффициентом равным единице допускает n независимых интегралов. Это противоречит предыдущей теореме.
Следовательно,p1 (x) ≡ p 1 (x). Аналогично показывается, что p2 (x) ≡ p 2 (x), . . .. . . , pn (x) ≡ p n (x).Следствие. Фундаментальная система вполне определяетлинейное однородное уравнение со старшим коэффициентом,равным единице.Задача. Пусть дана фундаментальная система решений{y1 (x), y2 (x), . .
. , yn (x)} на интервале (a, b). Требуется построить соответствующее дифференциальное уравнение, имеющеерешения совпадающие с данной системой функций.Решение. Приравняем к нулю определитель Вронского(n + 1)-го порядка, в котором y обозначает искомую функцию:W [ y1 (x), . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
