Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 85
Текст из файла (страница 85)
15.12 что без дополнительного множителя ! или — 1 эти функции, как правило, не используют. При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя нулевого порядка: Iо(0) = 1. По данным табл. 15.1 на рис. 15.12 построены кривые функции Бесселя.
Из таблицы и рис. 15.12 видно, что с ростом х значения функций увеличиваются. Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же х. й 15.1$. Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодического аргумента в ряды Фурье. Если аргумент х изменяется по периодическому закону, например по закону синуса х = х з1пы1, где х — амплитуда колебаний, то по периодическому закону изменяются и функции зЬ(х з!пь|) и сЬ(х з1пь|). Так как периодические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд Фурье эти функции. С этой целью в (15.5) вместо х подставим х з!пы!. Учтем известные из тригонометрии формулы сгруппируем все слагаемые с з1пь|, соз2ь|, з1пЗы! и т.
д., а также отдельно выделим постоянную составляюшую. В результате оказывается, что коэффициентами при тригонометрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бесселя различных порядков от чисто мнимого аргумента ух,~, Окончательно получим зЬ(х„,з!пь|)=2[ — уУ!(!х,„))з!пь| — 2/1з(7х )з!пЗв! — 2!Щх )з!п5М вЂ”..., (15.9) с5(х з!пьК) =Ц!х )+2Щх )соз2Ы+ 214(ух )соз4Ы+,... (15.10) Ряддля зЬ(х з!пЫ) состоит только из нечетных гармоник и не имеет постоянной составляюшей. Ряд для сЬ(х з1п4о!) имеет постоянную составляющую и четные гармоники. Пример 148. Разложить в ряд Фурье зЬ(4з!пам) и сй(4з!пь|). Р е ш е и и е. Значения функций Бесселя берем из таблицы: — !.1,(!4) = 9,75; !.!з(!4) = 3,34; /4(,!4) = 1,4! б; з!п а = 0,5 — 0,5соз2а; 2 з1п~а = — 0,25з!пЗа + 0,75з!па; з1п~а = 0,375 — 0,5соз2а + 0,125соз4а, — !Уз(!4) = 0,505; Уа(!4) = 11.3; 72(!4) = — 6,42.
(15.6) (15.7) (15.8) В соответствии с (15.9) и(15.10) получим зй(4з1пь|) = 2 9,76з1пь| — 2. 3,34з1пЗЫ + 2.0,505з1п5в1 — ...; сЬ(4з1пгн|) = 11,3 — 2 6,42соз2ы1 + 2. 1,416соз4ы1+ .. Первая гармоника функции у у~ — — 2ас1фхо [ — 17~(фх,„)) з1 пю|; (15.13) вторая гармоника (15.14) у2 — — 2аз)фхо72 (!рхе) созйн1; третья гармоника (15.15) уз — — 2ас)фхо [ — 17з (1ха)1 япЗь| и т. д.
Пример 149. Разложить н ряд Фурье функцию у/а = зп(2 + 4з1пЫ). Р е ш е н и е. По табл. 8.1 находим зЬ2 = 3,63; с82 = 3,7. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11) у/а = зЬ(2 + 4з1пЫ) = 3,63(11,3 — 12,844соз2а1 + 2,832соз4Ы вЂ” ...) + + 3,76(19,52з1поз1 — 6,674з1пЗь| + 1,01з1п5о>1 — ...). Таким образом, уо/а = 41,1; уьч/а = 73,4; уэ.,„/а = 46,7. ф 15.17.
Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элементов. 1. Если нелинейный элемент с симметричной характеристикой работает н условиях, когда одна из определяющих его состояние величин, например величина х, изменяется во времени по закону х = хо + х чэ1пЫ, то в отношении другой определяющей его состояние величины (велнчины у) можно сделать следующие выводы: 1) постоянная составляющая функции уо зависит не только от х„пои от х, что след ет из(15.12); ) н кривой у =7(гн|) появляются четные гармоники, которые исчезают при хо —— О. Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака хо)' 3) путем изменения хо или уо можно изменять амплитуды первой и высших гармоник функций.
Первое нз этих свойств поясним графически. Пусть нелинейный элемент рабо тает при отсутствии синусоидальной составляющей (х = О). Тогда изображением ф 15.16. Разложение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально меняющейся составляющих в ряд Фурье. Из ф 15.13 известно, что мгноненное значение функции у связано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой формуле аргументом гиперболического синуса является не х, как было в $15.14, а произведение рх. В соответствии с этим для разложения зп(рх з1пь|) и сЬ(рх з1пЫ) н (15.9) и (15.10) следует заменить х на (1х . Если х = хо + х„р1пв1, где хо — постоянная составляющая, х,„— амплитуда синусоидальной составляющей, то у = азп(рхо+ рх з1пь|) = =аз)фхосй®х„,з1пЫ) + ас1фхозЬ®х„,з1пЫ). Следовательно, у = аз)фхо~[Цфх и+ 27~(фх ) соз2Ы+ 27 (фх ) соз4Ы+ ...~+ + 2ас)фхтр — 17, (фх,„)1 з1пго| — 17з (фх,„) з1пЗв1 — ...~.
(15.11) Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции у уо — — аз)фхо7о (1Рх ). Рис. 15Л3 этого процесса на характеристике нелинейного элемента будет точка а (рис. 15.13, а). Для нее х= х =Ага'и а. (15.16) уо~а рхо= Аглая (. ), (15.17) где хо определяется ординатой точки Ь, расположенной ниже точки а (рис. 15.13, б). Первое и третье нз этих свойств широко используют в теории управляемых нелинейных элементов, второе свойство — в теории умножителей частоты. Пример 150. Нелинейный элемент с характеристикой у = азг1рх сначала работал прн уо/а = 41,1 и отсутствии переменной составляющей ([1х,„= О).
Затем режим работы его изменился: постоянная составляющая у /а осталась прежней, но появилась переменная составлявшая [1х, амплитуда которой [1х = 4. Найти постоянные составляющие рхо в этих двух режимах. Р е ш е н и е. В первом режиме [1х~ — — Аг зЬ 41,1 = 4,41. Во втором режиме [!хо — — Аг зЬ( 41,1/Уо(14)) = Аг з53,63 = 2. Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянная составляющая рхо изменилась с 4,41 до 2, т. е.
более чем в два раза. 11. В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей одну нелинейную катушку (конденсатор) с безгистерезисной симметричной характеристикой, в которой действуюг генераторы синусоидальных колебаний с частотами ~! и )~ и возникают токи и напряжения частот ! „= т)! + п12(т н п — простые числа, принимающие положительные, отрицательные и нулевые значения), для периодических процессов описыраются теоремой Маяли и Роу. Если через Ф'~, = О „! „+ У „1~, обозначить среднюю за период мощность, поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте )~ „= т)! + л~~ то теорема устанавливает связь между мощностями, поступающими в нелинейный элемент на различных частотах.
Эту теорему записывают в виде двух соотношений (доказательство см., например, в [201): — О, ~х ' ~ — О. (15,18) 465 У Уо*Р Р о Ы Этот резульгат следует из (15.12), если учесть, что ЦО) = 1. Если же нелинейный элемент работает при х ~ О, то, для того чтобы постоянную составляющую функции уо сохранить прежней, постоянная составляюшая хо Р должна быть снижена (или снизится сама) со значения хо до хо.
Постоянная составляющая Э 15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, потока, заряда) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой. Если к нелинейном« резистору с симметричной ВАХ, например 1 = аиз, подвести напряжение в виде двух компонент и = У з1пЫ + У~з1п(2Ы + «г), частоты которых относятся как 1:2 [в более общем случае как 2й/(2р + 1), где й и р — целые положительные числа], то в токе, проходящем через НР, несмотря на отсутствие выпрямителей, появится постоянная составляющая, равная — 0,75а!/ Уфп«р.
Ее значение зависит не только от ~ 2 У1 и У~, но и от угла «р. Сам факт возникновения постоянной составляющей в этих [ условиях называют селектиеным еыпрямлеиием. Селективно оно потому, что возникает не при любом соотношении частот двух напряжений, а при вполне определенном. Сходное явление имеет место в нелинейных индуктивных катушках и конденсаторах.
Так, если на нелинейную индуктивную катушку с ВАХ 1 = аз1«[1Ф воздействовать потоками частот «в и 2в, то при отсутствии постоянной составляющей в МДС в потоке кроме указанных гармоник появится и постоянная составляющая. Лля ее определения положим Ф = Фо+ Ф1з1п(«««1+ «р) + Фзз!п2Ы, подставим в формулу для тока и, разложив ток в ряд Фурье, приравняем постоянную составляющую тока нулю. В результате получим формулу для определения Ф,: 2 [ — 171(1Ь~)] [ — У2 (1Ь«)] 7о (1Ь1) «о (1Ьд) где Ьо = РФо; Ь! = [оп Ь2 = рФ2. Если через нелинейный конденсатор проходят первая и вторая гармоники тока, а угол «р Ф О, то на нем будет постоянная составляющая заряда при отсутствии постоянной составляющей напряжения.
ф 15.19. Типы характеристик нелинейных элементов. При анализе и расчете электрических цепей с нелинейными элементами в зависимости от рассматриваемого вопроса используют различные типы характеристик одного и того же нелинейного элемента: а) характеристики для мгновенных значений; б) ВАХ по первым гармоникам тока и напряжения; в) ВАХ для действующих значений. ф 15.20. Характеристики для мгновенных значений. Основным типом характеристик являются характеристики, связывающие мгновенные значения основных определяющих величин: тока и напряжения на нелинейном резисторе, индукции и напряженности в сердечнике нелинейной индуктивной катушки, заряда и напряжения на нелинейном конденсаторе. Будем называть их характеристиками для мгновенных значений.
Иногда перед этим названием добавляют соответственно следующие слова: вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные. В силу ряда причин, обусловленных различными физическими процессами в самих нелинейных элементах, форма характеристик меняется с увеличением скорости изменения определяющих величин во времени. ф 15.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
