Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 16
Текст из файла (страница 16)
24. Что понимают под обобщенной негвьк>? 25. Выразите токи ветвей через контурные токи и матрицу [)(„]. 26. Выразите напряжения ветвей через потенциалы узлов и матрицу [А]. 27. Выведите уравнения метода узловых потенциалов, используя матрицы [А [, [д ] и [А]'. 28. Выведите уравнения контурных токов, используя матрицы [К, [, [)?„[ и [А„['. 29. Охарактеризуйте сильные и слабые стороны мжрично-гопологического направления теории ценей. 30.
Решите задачи 1.2; !.7; 1.10; 1.!3; 1.20; 1.24; 1.33; 1.40; 1.41; 1.45. Глава третья ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНО<РАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ф 3.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис.
3.1): 2л1 (3.1) ~=! яп — +ф =! ып(в~+ф). Максимальное значение функции называют амплитудой. Амплитуду тока обозначают! . Период Т вЂ” это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в 1 с (единица частоты ~ — герц (Гц) или с ') Т = 1(Т. (3.2) Угловая частота (единица угловой частоты — рад/с или с ') со = 2л Т = 2л/Т. (3.3) Аргумент синуса, т. е. (ь | + ф), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени 1.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике. Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЗДС и тока, но обозначают их е и !!или е(!) и /Щ ф 3.2.
Среднее и действующее значения сииусоидальио изменяющейся величины. Под средним значе//ием синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока (3.4) Т/2 ! 2 — ып со!й = — / ср 7/21 т сп о т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/2т = 0,638 от амплитудного.
Аналогично, Е = 2Е /2т; (/„= =20 /2т. Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока /= — ~ ! Ж = — ~ / яп сой!! ==-=0„707/ 1с.21с2,2т 7~ 7 пс о о О$ ' Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,?0? от амплитудного. Аналогично, Е=Е /~/2 и У= У Я2.
Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению. Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током, т % д!= К! т т2' о Выделенная за то же время постоянным током теплота равна И2п„, Т. Приравняем их: /~/ -=/!! т ,т Ш сп 2 пост пост !,Т2 ' Таким образом, действующее значение синусоидального тока 1 численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.
В2 Большинство измерительных приборов показывает действующее значение измеряемой величины'. ф 3.3. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы. Коэффициент амплитуды Й,„— зто отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к ее действующему значеникь Для синусоидального тока Й,, = I /У = ~/2 . Под коэффициентом формы й понимают отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к ее среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока у 1 /~!2 й = — = = — "=1,!1.' 1, 2! /и 2ф (3.7) Комплексное число е" изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против ча- ГМ+Р~ М сна Рис. 3.2 Рис. З.Э ! Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.
Принцип действия измерительных приборов различных систум изучают в курсе электротехнических измерений. Для несинусоидальных периодических токов Й, Ф 1~2, Й,.р ч~ 1,11. Это откло"енне косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.
83 ф 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения. На рис. 3.2 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную !вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат— мнимую часть.
На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений + ! Ц = !à — 1 ) . Из курса математики известна формула Эйлера е!'=сова+у в!и а. (3.8) совой стрелки от оси +1. Модуль функции И = ~/сов~а + гупта = 1. Проекция функции е)" на ось +1 равна сова, а на ось +1 равна з1па.
Если вместо функции е/ взять функцию 1 е~, то 1 е~ =1 сова +11 з1па. На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е~", изображается под углом а к оси +1, но длина вектора будет в1 раз больше. Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что а = ю1+ ф, т. е.
угол а изменяется прямо пропорционально времеТ~~да 1 е""'+ч'=1 сов(ь|+ р) +11 з1п(е1+ф). (3.9) Слагаемое 1 сов(а1+ф) представляет собой действительную часть (Ке) выражения 1„е~'"'+ т) 1 сов(ь|+~у) = Ке1 е~<"'+'Й), (3.10) а функция 1 з1п(ь|+~1) есть коэффициент при мнимой части (1гп) выражения 1 е'<"'+ ч) 1=1 з1п(о11+ ф) =1гп! еЛ '+'И. (3.10а) I ел '+ т'=1 е'т =1, (3,11) где 1 — комплексная величина, модуль которой равен 1; ~р— угол, под которым вектор 1 проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе. Величину 1 называют комплексной амплитудой тока 1. Комплексная амплитуда изображает ток 1 на комплексной плоскости для момента времени ы~ = О.
Точка, поставленная над током 1 или напряжением б, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально. Поясним сказанное. Пусть ток ~ =8з1п(ю1+20') А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном слу- Таким образом, синусоидально изменяющийся ток 11ср. (3.1) и (3.10а)~ можно представить как 1в1 е <"'+ т) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора 1 е~' '+т) на ось+1(рис. 3.3). Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычноо принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10). С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ю| = О.
При этом вектор Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока(комплексным током)1понимают частное отделения комплексной амплитуды на ~~2: ~е ~те' = — =: = /ей». »»'2»~2 (3.12) чае 1 = 8 А, »1» = 20'. Следовательно, 1 = 8е»~»»' А. Пусть ком плексная амплитуда тока 1 = 25е»зо А. 3а»»ищем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим 1 на е» ' и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения1см, формулу (3.10а)]: 1 = 1гп25е»зо'е»"' = 1п»25е»<"' зо' = 2581п(Ы вЂ” 30').
Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения тока 7,»» = 8е» А. 2»»е — .2»»а Р е ш е н и е. Комплекс действующего значения тока 1=8е~ Я2=5,67е» А. ф 3.5. Сложение и вычитание синусоидальиых функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим, что необходимо сложить два тока(1» и 12) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты: + 1яъ 1» = 1»рдып(о)1 + '»р»)1»2 = 1дщэ!П(»»»1 + Фд)» 1=1 э»п(о»|+ ф). Требуется найти амплитуду 1 и начальную фазу»1» тока ~.
С этой целью ток 1» изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором 1, =1, е'~», а ток1 — вектором 1„= 1~ е'~~. Геометрическая сумма векторов1, и1 даст комплексную амплитуду суммарного тока 1,„= 1 е»'~, Амплитуда тока 1 определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза т1» — углом, образованным этим вектором и осью+1. Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов. Обратим внимание на то, что если бы векторы 1,, 1 и 1 стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью го, то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
