Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Напряжение между точками а и Ь ветви обозначим ~l,. Тогда, по закону Ома для участка цепи с ЭДС, О, + Е„=- И„,(! + Х„) (2.48) или (1„+ У„) = д„(0„+ Е,) (2.49) $2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой обобщенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, входящих в любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2,48) для всех ветвей, входящих во все главные контуры: РЧ РЛ + ГК,ИЕ.) = ГК,1 ИМРЕ + [УЛ, где й! 1~2 Ж,)= — диагональная матрица сопротивлений ветвей Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому Совокупность уравнений по второму закону Кирхгофа может быть записана так: [К„Ц~I„~ =О, (2.47) [К„) [У„[ = О.
Кроме того, матрица-столбец токов ветвей [Ц может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [1„] и транспонированную матрицу главных контуров [К„['. И=РЧ'[1 1- (2.51) При этом полагаем, что контурный ток каждого главного конту- ! ра направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого контура. Контурные токи 1,„1, 1, схемы рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35. Для этой схемы !44 ~66 ~66 Отсюда 11 = 144+ 1м* 12= 144 166+ 166 13 — 166 166 14 144' 16 166> 16 166 Подставив (2.51) в (2,50), получим [К,) ИЛ [К Х[1ьЛ = [К,ИЕ.) — РЧ ИЛ1.4. (2*52) Произведение Щ Щ[К„[' = ٠— это матрица контурных сопротивлений метода контурных токов.
Так как контуры нумеруем от у до в,то !~уу ~у,у+ ! ... ~у,в !~у+ 1,у ~у+ 1,у 11". ~у+ 1,в '!~в,у ~в,у+1 ' ~в в где Й вЂ” полное сопротивление т-контура; Я „— сопротивление ветви (ветвей) смежной между т- и и-контурами; берется со знаком плюс, если контурные токи 1 и 1„„текут через смежную ветвь согласно, и со знаком минус, если встречно. Для рис.
2.34, г, полагая сопротивления ветвей Й! — Й„имеем ~! + !~2+ ~4 ~!2 й! + Я2 ~2 !~2+ ~!6+ ~3 Ж2+ ~3) ~1 (~2+ ~13) ~! + ~2+ ~3+ !~б !~44 ~46 ~46 Я= !~64 !466 ~66 !~64 ~66 ~66 Запишем решение (2.52) относительно [1, [: [1. Ъ = [[К1И.1 [К Г) ' [К,К[~„[ — И„1 [1Л. (2 53) 1! 12 16 16 о 1 — ! 1 О 1 — ! о о о ~ о а о ф2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с помощь)о топологических матриц'. Совокупность уравнений (2.49) для 1 узлов схемы заменим матричным уравнением [А И1„]+ [А ИУ.] = [А ИаЛ ~1.]+ [А Иа.ИЕ.].
По первому закону Кирхгофа, [А] [Ц = О. Матрицу-столбец напряжений ветвей [У,] можно записать через транспонированную матрицу [А1и матрицу-столбец потенциалов незаземленных узлов Я, т. е. в виде [ У„] = [А]'[гр]. Для рис. 2.34, г, полагая узел 4 заземленным, имеем Действительно, 'р2 Ч'3 ~4= 'Р~ )р . Таким образом, система уравнений метода узловых потенциалов запишется так: (2.54) [АИаЛА]'[)р] = — [АИаЛ Е„]+ [А1[ У,], где[А] [д,][А]" = [6] — матрица узловых проводимостей метода узловых потенциалов. При заземленном и-узле 6п 6гз [6] = 621 622 ° 62,у — 1 6 6 "6 у — 1) у — 12 ''' у — 1у — 1 Для рис.
2.33, б 611 612 613 621 622 623 631 632 633 в!+Ю4+вб в) Й) В)+в2+аз вз — Ив — й'3 Из+ Из+ Иа $2.36. Соотношения между топологическими матрицами. Полагаем, что при составлении матриц [А], [ф.], [К~] выполнены условия, оговоренные в $2.31. Тогда Ветви 1...д — 1р...Ь Ветви 1...Ь вЂ” «,у...~ Узлы [А] = 1 Сечения 1 %,]= Ь 1) '11 '12 1) 1 )~2 Ь вЂ” 1) 1 1)1а)рично-тополи) ические методы систематизированы в [18[. 61 22 63 4 ~/ 6в 1-1 1 о о о — о о о — о 1 ... (у — !) : у ... Ь Контуры [К„1= К,: 1 Представим матрицу-столбец токов ветвей [/ ] в виде подматрицы токов ветвей дерева [!д] и подматрицы токов ветвей связи [Ц ! Р.] = Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим в виде подматрицы напря- жений ветвей дерева[Од]и подматрицы напряжений ветвей связи [141 ['] (2.56) = [[][~ ]+1~2][~е]= О- По второму закону Кирхгофа, [К,] [О„] = О, поэтому ° ] (2.57) =[К~][0х]+[!]!Я=О .
и, Учтем, что столбец [К,] соответствует строкам [ГЦ, если элементов изменить знаки. Следовательно, [К~] = — %А' и %~1 = — [К~]'. у всех ненулевых (2.58) Обозначим (2.59) [Ц=[К,[= — [д ]'. Тогда (2.60) (2.61) !Кг] 1~! ~1 %„1 = [1,' — ~'1. Умножив(2.%) слева на[А] 1, получим !~„1 = — [АгГ !А2][Ч- (2.62) По первому закону Кирхгофа [А][7 1= О или [А,] [/„1+ [Ав] [Ц = О. Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому [Щ [Ц = О.
Следовательно, Но из(2.56) имеем [11[/д[ = — [Щ Щ, поэтому [Щ = [А [-'[А,]. (2.63) дадим обоснование еще одному соотношению Зч [А[[7(,[' = О. (2.64) Рнс. 2З7 В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов (-строки ан на элементы й-столбца Ьц. Произведение анЬа не будет нулем, если 1 ветвь подходит к узлу( н входит в контур й (рис. 2.37).
Но в контуре Ь узел ~ соединен не с одним, а с двумя узлами ветвямн т и /, поэтому всегда будет еще ненулевое произведение аьдЬд,д, отвечающее ветви лч, независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура й. Следовательно, каждая строка (2.64) анЬц + аадЬьд = О. Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ.
Например, записав [Я = — [Ц', определяем [Р[ и по ней — Щ. ф 2.37. Сопоставление матрично-топологического и традиционного направлений теории цепей. В ф 2.29 указывалось, что основными методами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ. Оба эти метода могут быть применены в своей традиционной форме записи: 16~~ср3= ~У „[ для МУП и Я~~1„~1= ~Е~„Д для МКТ либо в матрично-топологической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для задач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений традиционным способом (см.
ф 2.13; 2.22), осуществляемое непосредственно по схеме, значительно проще, быстрее, удобнее и надежнее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных уравнений. Что касается решения составленных уравнений, то системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в традиционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора (или логарифмической линейки. Системы с большим числом уравнений в том и другом случае решают с помощью ЭВМ. Положительная сторона матрично-топологического направле,,ния теории цепей заключается в большой степени упорядоченности составления систем уравнений. Если ввести определенную иерар(,хию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них источников питания, индуктивных и емкостных элементов, индук,тивных сечений и емкостных контуров, то могут быть составлены алгоритмы, позволяющие не только составлять системы уравнений с помощью ЭВМ, но и осуществлять с их помощью так называемое 1'машинное проектирование.
Под машинным проектированием понимают числовые расчеты на ЭВМ относительно сложных систем на оптимальный атом или ином смысле режим их работы. Совокупность вопросов, относящихся к машинному проектированию, в настоящее время усиленно разрабатывается, однако многие из них 79 выходят за рамки курса ТОЗ и составляют предмет специальных курсов. В заключение можно сказать, что традиционное и матрично-топологическое направления теории цепей дополняют друг друга и потому студент должен владеть обоими направлениями.
]]ри выполнении повседневных инженерных расчетов и решении задач, встречающихся в курсе ТОЭ, целесообразнее пользоваться уравнениями теории цепей в их традиционной форме записи, при машинном проектировании — матрично-топологической форме. Вопросы дпя семопрояерин 1. Определите понятия "электрическая цепь", "электрическая схема'*, "узел", "устраиимый узел'*, "ветвь", "источник ЭДС" и "источник тока". 2.
Как выбирают положительные направления для токов ветвей и как связаны с ними положительные направления нанряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают иод ВАХ? 4. Нарисуйте ВАХ реального источника, источника ЭДС, источника тока, линейного резистора. 5. Сформулируйте закон Ома для участка цени с ЭДС, первый и второй законы Кирхгофа. Запишите в буквенном виде, сколько уравнений следует составлять яо первому и сколько по второму закону Кирхгофа. Для двух законов Кирхгофа лайте но две формулировки. 6.
Чем следует руководствоваться нри выборе контуров, для которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхгофа. Почему ни в один из этих контуров не должен входить источник тока? 7. Поясните этапы построения потенциальной диаграммы.8. В чем отличие напряжения от падения напряжения? 9. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов (МКТ) и метода узловых потенциалов (МУП).
При каком условии число уравнений оо МУП меньше числа уравнений ио МКТ? !О, Сформулируйте принцип и метод наложения. 1!. Сформулируйте и докажите теорему компенсации. 12. Запишите и поясните линейные ссютношения в электрических цепях. 13. Что понимают нод входными и взаимными проводимостями? Как их определяют аналитически и как опытным путем? 14. Покажите, что метод двух узлов есть частный случай МУП. 15.
Приведите примеры, показывающие полезность преобразования звезды в треугольник и треугольника в звезду. 16. Сформулируйте теорему компенсации и теорему вариаций. 17. Дайте определение активного двухиолюсника, начертите две его схемы замещения, найдите их параметры, перечислите этапы расчета методом эквивалентного генератора. 18. Запишите условие передачи максимальной мощности нагрузке. Каков ори этом КПД?!9.
Покажите, чтоесли в линейной цепи изменяются сопротивления в какихзо двух ветвях, то три любых тона (напряжения) связаны линейной зависимостью вида г = а+ Ьх+ сц. 20. Выведите формулы преобразования треугольника в звезду, если в ветвях треугольника кроме резисторов имеются и ис1очники ЭДС. 21. В электрической цепи известны токи в двух ветвях Й и т (1~ и!,„). Сопротивления в этих ветвях получили приращения Ь )?„и Л Й,„. Полагая известными входные и взаимные проводимости ветвей к, т, г, определите приращения токов в ветвях д, т, г, т. е. Ы~ Л / Л ),. 22. Какие тонологические матрицы вы знаете? 23. Запишите уравнения нозаконам Кирхгофа с использованием матриц[А] и [К„].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
