Калабеков Б.А. Микропроцессоры и их применение в системах передачи и обработки сигналов (1988) (1092085), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В этом случае допущение периодичности импульсной характеристики привело бы к неверным результатам. В подобных случаях, когда исходные функции' не могут быть приняты периодическими, последовательность их отсчетов необходимо дополнить столькими нулевыми значениями, чтобы при вычислении свертки значения исходных функций брались бы лишь из одного основного периода. Например, пусть х (лТ) — апериодическая последовательность данной- — М(, Таблица 6.6 М нрн К, равно» Метод Р=! 24 т =за та=16 1024 4096 256 Прямой метод (М=йм) 16884 Метод с исаодьвованием БПФ (М=бЖх М 1ойв )т) + 4)4) 5888 1088 2560 448 (лТ) — апериодическая последовательность длиной М, отсчетов. В этом случае формируются последовательности отсчетов х, (лТ) н к, (пТ), каждая длиной У, + М вЂ” ! отсчетов путем включения дополнительных нулевых значений: 1 х(лТ) при л= 0, 1,..., У,— -1; х,(пТ)= 0 при и=ам..., М,+А(з — 1; 8(пТ) при л =О, 1,, У вЂ” 1; й,(лТ) = 0 при л = У,„, М, -(- Ж,— 1.
Прн этом искомая свертка последовательностей х (лТ) и и (пТ) определяется (А»', + М, — 1)-точечной сверткой »" »+л» вЂ” 1 у(пТ)= ч~, хт(т)й,(пТ вЂ” тТ), п=0,1,„,, Ж +А' — 2 илн п;~ и,— 1 у(пТ)= ~ х,(пТ вЂ” тТ)81(тТ)„л=0,1,..., М,-)-У,— 2. 8.7. ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР ОснОВные пОнятня Аналоговый фильтр представляет собой частотно-избирательную цепь, осуществляющую некоторое линейное преобразование над непрерывным входным сигналом и,„((). Результатом такого преобразования является непрерывный выходной сигнал и,„„((). Особенность цифрового фильтра состоит в том, что указанное айше преобразование выполняется не над непрерывным сигналом и„((), а иад входной цифровой последовательностью'х (лТ), и получаемый на выходе результат преобразования у (лТ) представляет собой также цифровую последовательность.
На рис. 8.20 представлен простейший аналоговый фильтр. Рассмотрим отклик и, , (() данной гС-цепи на входное воздействие и, ((). Ток ( (() в цепй определяется выражением ((() С Л(~ы, (0 — и.~ (0) и„„(0 »и г (8.18) Имея в виду цифровой способ решения задачи, представим входное и„(() и выходное и,„х (() напряжения соответствующими цифровыми Вычисление такой свертки с использованием БПФ потребует (У, + У, — 2)-точечного ДПФ. иски аьи(а) О,В О, Рис, 8.20.
Простейший аналоговый фильтр У О,в 1,О 1,у г,в и лТ~вв Рис. 8.2!. Характеристики аналогово- го и цифровых фильтров последовательностями х = х (лТ) и у„= у (пТ). Тогда производная в (8.18) может быть заменена следующим приближением: а(ивх(0 — иных(0) ~ (хв — Рв) — (х -( — Р -() ( .19) 8. Ф (=вг Т Подставив (8.19) в (8.18)'и решив полученное выражение относительно у„, получим: у„=а,х„+а,х„,— Ь,у„„ (8.20) где а, = 1/ (1 + Т/гС), и, =- — 1/ (1 + Т/гС), Ь, = — 1/ (1 + Т!гС). Полученное разностное уравнение может быть использовано для построения цифрового фильтра 1-го порядка. Известно, что одной из характеристик фильтра, полностью определяющих выполняемые им преобразования, является переходная характеристика.
Переходная характеристика аналогового фильтра есть отклик на воздействие, имеющее форму единичного скачка (единичной функции). Переходная характеристика цифрового фильтра есть цифровая последовательность, представляющая собой определенное линейное преобразование, выполненное иад входной последовательностью следующего вида: ! 1 при л)0, х(л ) =[ ! 0 при а<0. Решая разносгное уравнение (8.20) при данной входной последовательности х (лТ), можно получить переходную характеристику 8 цифрового фильтра 1-го порядка.
В табл. 8.4 приведены результаты вычислений при различных значениях шага интегрирования Т. В этой же таблице приведена переходная характеристика аналогового фильтра. На рис. 8.21 эти характеристики представлены в форме графиков. Как следует из этих данных, выбирая достаточно малым значение шага интегрирования Т, можно с помощью цифрового фильтра воспроизвести с любой точностью переходную характеристику аналогового фильтра. Обратим внимание на следующую особенность цифрового фильтра. Он выполняет то же преобразование, что и аналоговый фильтр при он- и ар Таблица 3.4 л нрн Нгс, равнОм Фильтр 1,5 0,5 2,0 0,7788 0,3679 0,223! О, !353 Аввлоговмй фильтр Цифровой фильтр Т=0,5 гС Т=Ц25 гС Т=0,125 гС 0,2963 0,3277 0,3464 0,1975 0,2097 0,2163 О, 1317 О, 1342 О, 1350 0,6667 0,8000 0,8889 0,4444 0,5120 0,5549 ределенных значениях коэффициентов в выражении (8.20).
При иных значениях коэффициентов цифровой фильтр выполняет преобразование, которое может оказаться не реализуемым с помощью аналогового фильтра. Наряду с переходной характеристикой, выполняемое аналоговым фильтром преобразование может быть описано с помощью передаточной функции, определяемой отношением Н (В) = у (з)!х (5), где х (3) и у(з) — преобразование по Лапласу соответственно входного х )1) и выходного у (Г) сигналов. Передаточная функция цифрового фильтра определяется выражением Н (г) = у (2)!х (г), где х (г) и у (г) представляют собой г-преобразования соответственно входной и выходной цифровых последовательностей. г-преобразование цифровой последовательности х (пТ), и = О, 1,, определяется выражением Х(г) = ~; х(лТ)г — н а=в (8.21) Обратное г-преобразование выражается контурным интегралом х(ПТ)= — Й Х(2)2" ! г(2.
(8.22) 2и! Не вдаваясь в более глубокие подробности г-преобразования, приводим результаты такого преобразования для некоторых частных случаев (табл. 8.5). Таким образом, применяя г-преобразование к последовательностям, входящим в выражение (8.20), можно это разностное уравнение представить в следующем виде: )'(г) = паХ(г)+а, Х(г)2 ' — Б, У(г) г-'. (8.23) 355 Решение данного уравнения реализуется представленной на рис. 8.22 схемой цифрового фильтра 1-го порядка. В схеме цифрового фильтра элемент, обозначенный г-', выполняет задержку цифровой последовательности на один тактовый период Т, числа, показанные на линиях, — коэффициенты, иа которые умножаются соответствующие последовательности.
Таблица В.б л-вреобрааоеавве лоследовательвоств цверовав всследоаательвость Г! л=-о, Единичный импульс х (лТ) = ~ (О (л(х О. Х (г) = ! . Г! л~о Единичный скачок х (лТ) = ) (О лсо ! Х (г) = ! — г Задержка на один тактовый период Т у (пТ) =х(лТ вЂ” Т). У (г) = Х (г) г — '. Решим выражение (8.23) относительно )' (г): 1+Ьт г — ' Отсюда передаточная функция цифрового фильтра 1-го порядка (8.24) Н(г) =(ае+а,г ')/(1+Ь,г-'). Для цифрового фильтра 2-го порядка разностное уравнение (8.26) у„=а„х„+ а, х„, +а, х„е — Ь, у„, — Ь, у„„ Рис.
В.гй. Схема цифрового фильтра 1-го по- рядка 366 Передаточная функция аналоговой цепи позволяет получать частотную характеристику цепи, для чего достаточно произвести в Н (з) замену з на )го. Таким образом, Н ()в) представляет собой коэффициент передачи для гармоники входного сигнала частоты оь. Соответственно передаточная функция цифрового фильтра Н (г) при подстановке вместо г цифровой последовательности экспоненциального колебания е)нг позволяет определить Н (е)"г) — частотную характеристику цифрового фильтра, которая определяет коэффициент передачи линейной цифровой системы для входной цифровой последовательности, отображающей комплексное экспоненциальное колебание х (пТ) = е)'"г. Так, частотная характеристика цифрового фильтра 1-го порядка, передаточная функция которого определяется выражением (8.24), имеет следующий вид; Н(епвг) = (ар+а, е-!мг)/(! + Ь, Хе- !иг).
(8.25) передаточная функция хтлт) аа у тат) + е Н(г) =(а +а,г-'+игг а)!(! + -Ь, , а, + Ь,г-'+Ь,г-'). (8.27) Функциональная схема такого цифрового фильтра показана на рнс. 8.23. г ' В общем случае разностное уравнение цифрового фильтра представляется выражением следующего вида: м н у„= ~ и;х„,— ~т Ь)у„ь (8.28) )=в я=) При Ат = О образуется нерекурсиеный цифровой фильтр, характеризующийся тем, что отклик его представляется суммой некоторого числа членов входной последовательности х (пТ).
При Ат ) О образуется рекурсивный цифровой фильтр с откликом, выражаемым суммой, в которой оказываются представленными не только члены входной цифровой последовательности, но и предыдущие члены выходной последовательности. Рекурсивные фильтры при определенных условиях могут быть неустойчивыми и значения в выходной последовательности могут неограниченно нарастать. Общей форме разностного уравнения (8.28) соответствует следующее выражение передаточной функции: Рнс. 8.23, функциональная сге на цифрового фильтра 2-го по рядка ае+а, г-'+ лег-'+ .
+ам г Н (г)— !+Ь, г — '+Ье г — '+... +Ьн г (8.29) Обратим внимание на следующую особенность цифровых фильтров. Аналоговые фильтры физически реализуемы, если в их передаточных функциях степень полинома числителя не выше степени полинома знаменателя. Цифровые фильтры не предъявляют таких ограничений, и, таким образом, они могут иметь характеристики, добиться которых в аналоговых фильтрах невозможно. Обратимся к вопросам, связанным с реализацией цифровых фильтров на основании микропроцессорных устройств. При построении цифрового фильтра на МПУ часто сталкиваются с необходимостью решения проблемы повышения быстродействия.
На вход цифрового фильтра поступает исходная цифровая последовательность х (пТ), на выход выдается последовательность у (пТ), представляющая собой результат обработки входной последовательности. Быстродействие может оцениваться допустимым для данной реализации минимальным значением тактового периода Т ы входной цифровой последовательности х (пТ) или связанным с Т ,„ максимальным значением ширины полосы частот Р ,„ = 1/(2 Т ы) сигнала, дискретизацией которого получена входная последовательность х (пТ). Чем меньше Т и или больше Р, аг, тем выше быстродействие цифрового фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
