Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 79
Текст из файла (страница 79)
!8.6. В результате полной дезоргайизации управления л само- летов летят с произвольными курсами. Управление восстановлено и все самолеты взяли общий нурс со средней квадратической ошибкой ар — 3 Определить изменение энтропии АНм считая, что в первом со- стоянии имеет место равномерное распределение вероятности, а во втором — нормальное. Ответ: ЛН = Нр (Х) — Н„(Х) = 4,86 л дв. ед. 18.7. Плотность вероятности случайного процесса х (!) имеет вид р, (х) = Хе — "", х) О. Найти дифференциальную энтропию величины Х. Ответ: Н (Х) = 1оя (ей). !8.8. Определить энтропию Н (Х) случайной величины Х, функ- ция распределения которой 0 при х(0, Р~(х) = х' при 0(х(1, 1 при х) 1.
Ответ: Н (Х) = !од Дlе/2). 18.9. Показать, что если система с нормальным распределением координаты переходит из состояния, при котором о„= о„в со- стояние, при котором а„= ом то приращение энтропии АН = Н, (Х) — Н, (Х) = !оа (о,/а,). 18.10. Найти дифференциальную энтропию случайной величи- ны У = А з!и вй где ! равномерно распределено в интервале от — л/ы до я/ы; А и ы — положительные постоянные. Ответ [62): Н (У) = !п (яА/2). 18.11.
Определить условную дифференциальную энтропию Н (Х[у) и среднюю условную дифференциальную энтропию Н (Х[У) случайной величины Х относительно У, а также Н (У[х) и Н (У[Х) случайной величины У относительно Х для системы (Х, !') гауссов- ских случайных величин. Ответ: Н (Х[у) = Н (Х[У) = 1ой [а„У' 2яе (1 — )?*„„)); Н (У[х) = Н (У[Х) = !оя [а„)l 2ле (1 — Я*,„)[, 528 где а, и а„— средние квадратические значения; /?„, — коэффициент корреляции между Х и У. 18.12. Найти дифференциальную энтропию Н (Х) равномерного распределения на отрезке(0, 2) и энтропию суммы двух независимых случайных величин Х и У, равномерно распределенных на указанном интервале.
Ответ: Н (Х) = 1 дв. ед., Н (Х, У) = 2 дв.ед. 18.!3. Радиоприем осуществляется на две антенны, разнесенные в пространстве так, что сигналы х (!) и у (!) в ветвях статистически независимы. Определить энтропию Н (Л) колебания г (!) на выходе суммирующего устройства, если х (!) и у (!) распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями и* = 16 В' и ав = 25 Вз. Ответ: Н (2) 4,73 дв. ед. 18.14. Показать, что если У = Х + е, где е — постоянная величина, или У = — Х, то Н (1') = Н (Х). 18.15. Измерительное устройство вырабатывает случайный сигнал х (!) с нормальной плотностью вероятности и корреляционной функцией вида )?„: (т) = — а,'е ы!. Определить энтропию сигнала и его изытбочность„ вызванную наличием корреляции, если о„ = 6 В.
Ответ [116[: Н (Х[У) = 4,52 дв. ед., /? = 0,024. 18.16. Ансамбль сигналов, проходящих через усилитель, имеет значения, ограниченные сверху величиной х = Ь и снизу — величиной х = а. Найти максимальную энтропию Н (Х) и энтропию Н(Х) на единицу времени, если ширина полосы пропускания усилителя равна Р. Ответ: Н (Х) = !од (Ь вЂ” а) дв. ед., Н (Х) =- 2Р !од (Ь вЂ” а) дв. ед.
18.17. Передаваемые сигналы ограничены по пиковой мощности. Определить распределение, которое при данном ограничении обладает максимальной энтропией„а также вычислить энтропию при этом распределении. Ответ: р, (х) = !/2УР, Н(Х) = !и 2УР, где Р— пиковая мощность. 18.18. Сигнал с математическим ожиданием т„может принимать только положительные значения [р, (х) = 0 при х( О[. Найти распределение, которое при данных ограничениях обладает максимальной энтропией. Ответ: р,(х) = — е т~ 18.19. Показать, что при заданной энтропии нормальное распределение вероятностей ( х ) е / в'[/2я имеет наименьшую из всех одномерных распределений дисперсию.
18.20. Определить максимально возможную скорость передачи информации по радиотехническому каналу связи пункта управления с телеуправляемой ракетой, если полоса пропускания канала связи равна 3 МГц, а минимальное отношение сигнал/шум по мощности в процессе наведения ракеты на цель равно трел1. Ответ; С = 6 !О' дв.ед./с. 18.21. Вычислить пропускную способность канала связи с амплитудно-импульсной модуляцией, если число уровней сигнала 16, полоса частот исходного сигнала Р„ сигнал равномерно распределен на интервале ( — 1/м, -1- (/м), а вероятность искажения, выражающая возможность перехода в соседний уровень, бо/о.
Ответ (1!9): С = 8,6 дв. ед. 18.22, Сравнить пропускные способности двух каналов связи, если в первом действует белый гауссовский шум в полосе'Р с дисперсией па = ! В', а во втором — белый шум, равномерно распределенный в интервале -~ 1,6 В с полосой 2Р. Считать, что мощность передаваемого сигнала Р, велика по сравнению с мощностью шумов. Ответ: С вЂ” С =Р!Оя —, й/,= — е'"я, Рв ' 2пе где С, и С, — пропускные способности первого и второго каналов.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 / ьт1 Таблица нормальной плотности вероятности р, (х) = , — ехр ( — — ~ Р2п (, 2) 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0003 0002 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,? 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0 Г?1 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 00!2 0008 0006 0004 0003 0002 3989 3961 3894 З?90 3653 3485 3292 30 79 28 50 26!3 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 ООП 0008 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 00!П 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1824 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 531 си а»г-счо а ч а О ОЪ Оэ ОЪ О СЬ ОЭОЪ о о о" о о о о о" с» ОиъсчО ф«Ь са фф с'» Оъ Оэ Оъ Оэ Оъ о оооо 3 Саффф СО СО О с»сО и О»СО СОСОСЪ «ф сь Оъ Оъ Оэ О о о"о" о о О»СО О Ъ аъ сьаа а рвьф О»О»О Оэа» ооооо О Сч ф 3- О ОЪОЪОЪО О ооооь и» с» ОЯ Оэ О оо фс'эфф» сО ОО»аэ \ са «а» 83 Оэ СЬ Оэ О ооооо и»счаи» а а да-О ОайОЗВ За»3 ооооо ооо 3О Сэ 3О сО С СОСО ОЪ«4 О»О' Оъс»3 Оэ ооооо СО с4 иъ .О са ч дфЯ О ОЪОъОЪО Оэ ооооо ОиЗ ЬЬЬ о аэ о о о иъ ф с» ф с'ъ иъ с'\ 3 Оэ О саси с»-3 СОСЧ «'Ос ОЪ О\ ОЪ СЬ ОЭ о оооо 3 а»О»аэсчсь фЧСЪ ф Са ф О СЬ СЧ О са оо ооооо' О !! ! в сь 3 .3 соса 3 оо ОСОс'эиъ 3 с» сч-а»а с и»фч' «афсал сасаса ОЪ Оэ Оэ СЬ Оэ Оэ Оэ СЬ оооосэ ооо .«аъ о сч О Оъ са сч ".О 3О 3'3 4'СО г-аа оуф Оъ Оъ Оэ Оэ О ооооо С»33 СО ЮОЪ ф«$ с4 а» ф -3 СЧС Ь г фьсиф О»О Оэа» ОЪ ооооо аг сасасО СО СО ф О сч 3 ааиь \' а» си «О ОЪ ОЭ Оэ СЬ ОЪ ооооо и»3 г са з Г ОСЬ 3 сч СЬсЧ О» оо ооооо С»СО '»СЧ О С»3 СЧ СО» Оэ О О Оъ Оэ о" о о о о" а й сО ЪО С» сч офо О ОСО» «са и» и» 3 СЬ Оэ ОЭ Оэ ОЪ ооооо БОЯ са а» сО О ОЪОЭ ооо ф сь о - ф сч с» л ОЪ О»О»О Оэ ооооо СОО Я с» .«СЬ сЪ О л «ъ с» сч СО а» 3' .О ООЬЬЬ ооооо ,ффЯО ОЪ аэ ОЪ ОЪ Оэ о оооо С» С 3 Я СО ОЪ а» ч' с3 СОСЧ «СОЪ О ОЭО ОЪСЬ ооооо СО С Э О СЧ С'4 СО Оэ аа СО Г-О СО.« ии»3 3 са О ОЪОЪОЪОь о оооо са О О СО оо Оэф С»СО са са с э аъ о «са О СО СО С'» Э Ь Оэ Оэ Оэ Оъ ооооо а»аэсь 3 Оъ «сО сч са С» С Ъ ОЪ СО СЧ 3 СОСО«» О Оэ Оэ Оэ ОЪ Оэ ооооо аэ Оэ Ь Оэ Оэ о о о"о"о са Ос»О»3 съ»сьиъОъ сО аа с» Оэ сО «аг Оэ ОЪ ОЪ ОЪ Оэ о" о о о" о" 3' Оо 3' 3 С3 3 ЪО 3-3 ф СЬ Ь СО .« О\ ОЪ ОЪ ОЪ О\ о оооо са 3 ЪО и:э аа о сч ОЪ ОЪ оо «4С»3 «4 С4«43О СЧ ОО СО С»СО « Са ОЪ ОЪ| С'Ъ О «» 3 с»-3 ОСО3- 3 сиса ОЪО»О О О ОэаэОЪ ооооо ооо О аэ В О аэ ооооо 3 С'»СЧСОС3 СЧ ф ф ф3- О ъ«4 а»иь 3 а»сОСЧЪО ооооо О»3 Оэа»О о оооо 3 сии сафо оса о сО ф иъ\» Оъ О\ О\ Оъ О ооооо 3 ОСОЧ ОЪ О»СЧ \' ооооо ОЪ ОЪ оо С3 СЪ са .«вЂ” а» с'» 3 3 СОСО ОЪ ОЪ Оэ ооо СЧ Г ГЪСЬ Оэ 3 3 са о са са с фаа«» О Оэ Оэ ОЪ Оэ ОЪ ООООО \ОС4 ОСО ф с» д са Ь Ь Оъ сь Оэ ооооо г- о о З сч 3 С'3 сииЪ Оэ с» О О ОЪОЪОЪО Оэ о о"о о"о с4 с'ъ сО а» с'» о оооо 3 С 3 С'» О аъ сь сь г- о с'3 3 фф иъ с'ъ ооооо ЯЯ Оэ Оэ оо „"саа.'»счэ яо ОЭ Оэ Оэ С»3 ОЪ ОЪ ОЭ Оэ ооооо ооо аа сч с'ъ О СО СЧ СЧ 3 аъ о са са ф СО са аа сч ф аэ Оъ Оъ Оэ СЬ о"о"о о о с»сОО»О» О 3» ОЛа ф ооооо сэ С'4 3 ОЭ 3 С'» сО О 3Й О са Ь са с» ООЬЬЬ о о сэ о о саг Оооо СЪ ОСЬ СО Оъ О\ Оъ Оэ Оэ о оооо о 'О сч « ОЪ С4 3 Оэ оо йЗЯЖЯ и:э 3 асч с и» и»3 са ОЪ ОЪ О\ ОЪ Оэ о оооо 3 а» й аэ !! О 3 Яф "» са О Г-Оэг -3 о оооо фОЛфф фЛэа «ЯСОфо Г ф$ А.«ффл 3 со а» 3»ЪОЭОЪСЬОЪ О ОЪО о оооо о о о «С'4 С Ъ 3 Оф С'4 С'3 СЬ ф« ОЪ ОЪ Оэ ОЪ ОЪ о оооо ОЪ О 3' С'4 ф и» Оф .О сО Ь О»О»О ОЪ о оооо ° 3' СО С'Ъ ОС'4 ОЪ 3' \О С'Ъ О»а»а а» Оэ ооооо С'Ъ»СОСО Ъ СО ОЪОЪ ОЪО ОЭО СЬ оо ооооо О' а»СО 3 сО О с' -э -счфчо«3 сч «».«ОЗл 1ф ю О»О ОЪОЪОЪ ОЪО ОЪ ооооо ооо с"3 СО ОЪ 3 а» О СОСЬООО 33 СО«4 О СО а с'3 8»О» а»ОЪ ОЪ ооооо сэ а ЬСЬО СЬОЭ о"о" о о о о «яф- лЗЯЗЯ са ф Оэ 3 о" о о о"о «» О3О3 а:э ОЪОЪ Оэ ОЪОЭ о оооо С4 о СО О ОЪ оо О»О Оъ ОэО» о оооо У У аэ аэ" 33 ч» й "и~ «3 333 а в Ф 3 а а 3 Ы О а, Д а.
В Щ 6 О й ° 3 ЪО а < Оэс'» 3 О «О С4с'»Оэ о «3 а» «ОЪ ОЪОЧ' 3 счи' Ос'»а» с'4с'ъ с»3 сэсО сч 'ъаа с'» ОСО - с'» 3ОиЪСОСЪСО 3 3 3 СОСО СОсООЪОЪОЪ ооооо ооооо ооооо -О аэ «сао г ог «эф сэ а» ос-счси оса 3 аэ-счоф сь-сафо с'» 3 3' аа» аа сь са СО Оъ с'ъ ОЗООС»3 3 3 с-сасО сиса сООЪО» ооооо ооооо ооооо сьа.с с»са г-са 4 а»о г-оойсч г ф «а»сааэг ч 3 аэса 3 ь счфО «са 4 л Оса галса ь фсО\Оссэ\О 3 3 3 СОСО а»СО СООЪОЪ ооооо ооооо ооооо Оэ О ОООЯЯсч файф«ф ф«осчьа» фэсэсасаса 3 лг-ааса сасасааэаэ ооооо ооооо ооооо О»3 СЬС'ЪЧ' 3' СЧСЧ СО ОЪСОЪ СОСО СОС4 ° 'С»ОЪ Оэ 3 Ч' Г Ч' ОО СО «СОС'43 Оъсьсасаса сасчс»«430 с'ъ'«3 сО О осьг ° 3' Оъ «г эаэ эг аэ ° г ьсч эалв сч са а афг- г сиса Ъ О асОЬЪ 3 3 3 саа» а»а»сиОЪОЪ ОЪОЪОэОЪОЪ ОЪОЪОЪ ооооо ооооо ооооо ооооо ооо а г са о и сифэа 3 ффффф ффаффо аса ос»СО осчсчаэи» ~оойл оса 3 а сч аг-аэосч О ОЪОСОсО 3 3 3 3 сО а»а»а»ОЪСЬ ооооо ооооо ооооо ы ось 3 а»г «»г аь сас счса аэ сэ аъ а са со О сч аэ са а и»сь Й ь ь ф ф са ф«ф фф ф ООэсчсО аэсафОъсч 3'3 сьс»сч сь «3Оаг О О О СО 3 3 3 3 3 са сисаа»О Оэ сь Оъаэ О»ОЪ ооооо ооооо ооооо ооооо з оа» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
