Диссертация (1091101), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Стельмаха».1.3. Перспективные направления развития пьезоустройствДальнейшие направления развития пьезоустройств, применяемых в оборудовании и приборах электронной техники связаны с их микроминиатюризацией,использованием амплитудных усилителей перемещений, многослойных пьезополимеров, пьезокомпозитов и др. Особое направление представляют пьезоэлектрические двигатели, способные совершать высокоточные перемещения с величинойминимального шага менее 1 нм.60Глава 2. Методики расчета многослойных пьезопреобразователейс участками переменной жёсткостиВ данной главе представлены разработанные методики расчета многослойных пьезопреобразователей с переменной жесткостью на базе основных уравнений теории упругости с учетом пьезоэффекта и теплового воздействия.

Приведены математические (аналитические и численные) модели пьезопреобразователей.Приведены основные уравнения теории упругости с учетом действия пьезоэффекта и температуры.В матричной форме обобщенный закон Гука с учетом квазистационарноготемпературного поля и обратного пьезоэффекта можно записать в следующем виде [105]:{ε} = [S]{σ} + [d]{E} + {α}ΔT.(2.1)Здесь {ε} – вектор деформаций; [S] – матрица упругих податливостей; {σ} – вектор механических напряжений; [d] – матрица пьезомодулей; {E} – вектор компонент напряженности электрического поля; {α} – вектор температурных коэффициентов линейного расширения; ΔT – изменение температуры (квазистационарный режим).Для практических расчетов пьезоустройств в системе координат (x, y, z) сдостаточно тонкими слоями пользуются рядом упрощений, когда задача сводитсяк плоскому случаю.

Для плоского напряженного состояния (z = 0) компонентывектора деформаций имеют вид:x = (x – νy)/Y + U + αT , y = (y – νx)/Y + U + αT(2.2)Здесь x, y – нормальные напряжения вдоль осей x и y, Y – модуль упругости, ν – коэффициент Пуассона,  = d31/h – пьезоэлектрический коэффициент линейного расширения (ПКЛР), d31 – поперечный пьезомодуль; U – электрическоенапряжение на обкладках пьезоэлемента толщиной h; α – температурный коэффициент линейного расширения в плоскости изотропии, T – изменение температуры.

Как видно, здесь использован ряд замен: компоненты вектора податливостизаменены на модули упругости, компоненты вектора напряженности поля в пье-61зоэлектрическом слое заменены отношением электрического напряжения к толщине слоя.Аддитивный характер второго пьезоэлектрического ([d]{E}) и третьего температурного ({α}ΔT) слагаемых в формуле (2.1) дает основание для применениятемпературной аналогии пьезоэффекта.

При этом планарная пьезоэлектрическаядеформация d31Ez ≡ βU пьезокерамической пластинки, поляризованной по толщине, заменяется дополнительной температурной деформацией α1ΔT1. Здесь α1 =β – условный ТКЛР, ΔТ1 = U – условное изменение температуры, β = d31/h – пьезоэлектрический коэффициент линейного расширения (ПКЛР), d31 – пьезомодуль, h– толщина пьезоэлемента.В работе представлена методика применения температурной аналогии пьезоэффекта в компьютерной системе расчета конструкций методом конечных элементов APM WinMachine [106]. Применение методики позволяет использовать длярасчета обратного пьезоэффекта широко распространенное универсальное программное обеспечение вместо специализированного мультифизического программного обеспечения, обладающего высокой стоимостью и сложностью в освоении. Установлены условия применимости формулы (2.1) для практических расчетов пьезопреобразователей в оборудовании электронной техники.Расчет численным методом конечных элементов строится на общем уравнении движения механической системы [123]:[M ]{u}  [C ]{u}  [ K ]{u}  {F} .(2.3)Здесь [М] – глобальная матрица масс; [C] – глобальная матрица демпфирования;[K] – глобальная матрица жесткости; {F} – вектор приложенных нагрузок, {u} ,{u} , {u} – вектор узловых перемещений, первая и вторая его производные повремени.Решение большинства задач методом конечных элементов проводилось вCAD/CAE системе APM WinMachine, модуль APM Structure 3D (НТЦ АПМ, г.

Королев) с проверкой в других пакетах – Matlab, ANSYS.62В основу большинства пьезопреобразователей (пьезосканеров сканирующейзондовой микроскопии, вакуумных клапанов и натекателей и др.) положены пьезоэлементы простой геометрической формы, объединенные в многослойные конструкции. Такие конструкции могут состоять из ряда активных (деформируемыхпри воздействии температуры или пьезоэффекта) элементов и упругих пассивныхэлементов из высокодобротных материалов (сталей, элинваров, плавленого кварца, керамики, пластмасс).

Для определения напряженно-деформированного состояния подобных конструкций были использованы основные аналитические методы, основанные на уравнениях теории упругости и теории колебаний и численные методы (метод конечных элементов) с учетом температуры и пьезоэффекта.Приведены примеры расчета пьезоустройств различной геометрической формы,объединенные единой методологией решения подобного класса задач.2.1. Методика расчета прямоугольных пьезопреобразователейРазработана методика расчета деформаций тонких прямоугольных пьезоприводов с учетом температурного воздействия. Подобные приводы представляют собой узкие многослойные пьезопластины прямоугольной формы и используются в качестве клапанов и натекателей технологических систем.Расчетная схема пьезопривода представлена на рисунке 2.1.Для поставленной задачи, с учетом основных гипотез теории упругости дляузких пластин [122], уравнение (2.1) можно переписать в виде: x  z   x / Y  T  d 31Е3 .(2.4)Здесь χ – кривизна прямоугольной пластины – величина, обратная радиусу кривизны ρ, показанному на рисунке 2.1, E3 – компонента напряженности электрического поля, приложенного по толщине.Отсюда нормальное напряжение в i-ом слое многослойного пьезоприводаможет быть определено по формуле: x,i  Yi z  d 31,i E3,i  T(2.5)63Рисунок 2.1 – Расчетная схема многослойного пьезоактюаторапрямоугольной формыВ отсутствие внешних изгибающих моментов кривизна χ может быть определена из условия равновесия:nМ   bii 1zнinz вii 1zнi  x,i zdz   bi Yi z  d 31,i E3,i  T zdz  0(2.6)z вiЗдесь bi – ширина пластины в направлении оси Y (меньше ее длины по оси X), апределы интегрирования hвi (внутренняя граница i-го слоя) и hнi (его наружнаяграница) однозначно определяются через положение нейтральной оси z0, выводиnzнii 1z вiмое из условия равновесия продольных сил N   bi   x ,i dz  0 , а именно:n i 1z0   Yi bi hi  2  h j  hi i 1 j 1 n 2  Yi bi hi  , i 1ii 1j 1j 1hвi  z0   h j ; hнi  z0   h j ,где n – общее число слоев толщиной hj.После преобразования уравнения (2.6), выражение для χ получает вид:64n3 biYi d 31,i E3,i hнi2  hвi2i 1n2 biYi hнi3  hвi3i 1(2.7).Окончательное выражение для прогиба определяется из граничных условий.Например, максимальный прогиб на конце привода с пьезоэлементом во всю длину, закрепленного консольно, определяется по формуле:1 2L2(2.8)2.2.

Методика расчета многослойных дисковых пьезопреобразователейРазработана методика моделирования многослойного пьезопривода с учетом температурной нагрузки и многослойной структуры. Дисковые пьезоприводыиспользуются в пьезокорректорах микроперемещений в оборудовании совмещения шаблонов, лазерных интерферометрах и других областях.На рисунке 2.2 представлена обобщенная расчетная схема модели многослойного дискового пьезопривода с упругими контурными связями в цилиндрических координатах.Dmz42415r3Рисунок 2.2 – Обобщенная расчетная схема модели дискового пьезоприводаЗдесь обозначены: 1 – подложка; 2 – пьезоэлементы; 3 – упругая нагрузка; 4– элементы упругих связей; 5 – корпус; r, z – оси координат.В основе аналитической методики расчета деформаций дискового приводапод действием температуры и пьезоэффекта лежат уравнения теории упругости65для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах (r, , z). Модель пьезопривода представляется в виде вложенных друг в друга многослойных колец.Для расчета используется ряд допущений: гипотеза прямых нормалей (КирхгофаЛява), равенство нулю осевых нормальных напряжений (z = 0) и касательныхнапряжений в отсутствии поперечных сил:rz = G13(u/z + w/r) = 0,откуда следует: w/r = – u/z.Здесь G13 – модуль сдвига, u и w – радиальные и осевые перемещения.Дифференциальное уравнение равновесия для осесимметричной задачиимеет вид [122]: r  r   0rr(2.9)Здесь σr и σθ – нормальные напряжения радиальные и окружные.Физические уравнения в напряжениях с использованием температурнойаналогии представляются выражениями:r Y  u u  YU  T  ;  r  1 1   2  r Y  u u  YU  T   r  1  1  2  r(2.10)Здесь u = u(r, z) – функция радиальных перемещений точек с координатами r и z,u/r = r – радиальная деформация, u/r =  – деформация в окружном направлении,  – коэффициент Пуассона, Y – модуль Юнга.После подстановки (2.10) в (2.9) получается основное дифференциальноеуравнение для осесимметричной задачи в перемещениях:r 1  (ur )  0 .r  r r(2.11)Решением данного уравнения для i-го кольцевого блока является функция:ui(r, z)= C1ir – C2irz + C3i/r – C4iz/r.Из неё получаются:радиальные деформации: r = ui/r = C1i – C2iz – C3i/r2 + C4iz/r2;(2.12)66окружные деформации: = ui/r = C1i – C2iz + C3i/r2 – C4iz/r2;углы поворота нормали:i(r) – ui/z = C2ir + C4i/r.Постоянные C1i – C4i определяются из условий равенства на границах элементов i и i+1 перемещений ui и углов i поворота нормали к изогнутой поверхности, а также интенсивностей продольных сил Ni и изгибающих моментов Mi,:z viN i ( r )    ri ( r, z )dz ;z0iz viM i ( r )    r i ( r, z ) zdz ,(2.13)z0iгде z0i и zvi – ординаты нижней и верхней границ i-го элемента.Краевые условия на контуре r = Dm/2 отвечают модели упругого шарнира смоментом Mm = –kmφm.

Величиной km моделируются различные условия на контуре: от свободного опирания (km = 0) до жесткой заделки (km →).На основании граничных условий сопряжения блоков формируется линейная система уравнений относительно искомых констант. Решение задачи проводилось с помощью разработанного программного обеспечения.Функция прогибаwi(r) = – (u/z)dr = 0,5C2ir2 + C4ilnr + C5iсодержит дополнительные константы C5i, которые находятся из условий закрепления внешнего контура (r = Dm/2) и сопряжения кольцевых элементов: wi(Ri) =wi+1(Ri).2.3.

Методика расчета трубчатых пьезопреобразователейПьезоэлектрические элементы трубчатой формы широко используются вкачестве приводов в различных устройствах исследовательского и технологического оборудования электронной техники: в пьезоэлектрических сканерах зондовых микроскопов, пьезодвигателях, вибрационных гироскопах, приводах микророботов и т.п.В данном разделе представлена аналитическая методика расчета многослойных многосекционных трубчатых пьезопреобразователей, выполняющих667функции микроманипулятора (пьезосканера) в сканирующей туннельной микроскопии.Трубчатый пьезопривод представляет собой протяженное тело (L > d).

Длярасчета НДС в нем используется теория изгиба балок с учетом пьезоэффекта.Нормальные напряжения распределены линейно по высоте сечения, касательныенапряжения при этом не учитываются, XZ = YZ  0.На рисунке 2.3 показан общий вид расчетной модели основного активногоэлемента пьезосканера — пьезотрубки. Расчетная схема поперечного сечениятрубки со сплошным внутренним и секционными внешними электродами представлена на рисунке 2.4.Рисунок 2.3 – Общий вид трубчатого пьезопреобразователяYY2jr31r1rj-1–Uj+X70r0Xr2P0Рисунок 2.4 – Расчетная схема сечения трубчатого пьезопреобразователя68Здесь обозначено: r,  – полярные координаты произвольной точки сечения.Каждый сектор j (1  j  n) имеет ширину j = j – j-1. Радиус внутреннего электрода – r0.

Граничные радиусы всех слоев – ri, (i = 1, 2, 3). Трубка (i = 2) предварительно поляризована по толщине стенки (h2 = r2 – r1) в радиальном направлении,P0 – вектор начальной поляризации. Напряжение на j-м секторе – Uj..Напряженность электрического поля E для толстостенной трубки: E = U/[rln(r2/r1)], а для тонкостенной: E = U/h2. Свободная пьезоэлектрическая деформация в осевом направлении равна zПЭ = d31E, в радиальном rПЭ = d33E.

Характеристики

Список файлов диссертации