Лекционный курс от Русакова (1087061), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

1.).Рис. 1. Геометрическое представление поверхности реакции.83Реакцию (отклик) системы можно представить в виде зависимости:yl=l(x1, x2,…,xk); e=1…m. Функцию e, связанную с факторами, называютфункцией отклика, а её геометрический образ – поверхностью отклика.Исследователь заранее не известен вид зависимостей l, l=1…m, поэтомуиспользуют приближение соотношения: ~yl  l (x1 , x2 ,..., xk ), l  1, m.Зависимость и l находятся по данным эксперимента. Последнийнеобходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (числеиспытаний), варьируя выходные значения по специально сформулированнымправилам, построить математическую модель системы и оценить еёхарактеристики. Факторы при проведении эксперимента могут бытьуправляемыми и неуправляемыми, количественными или качественными,фиксированными и случайными.

Фактор относится к изучаемым, если онвключён в модель для изучения свойств системы. Количественнымифакторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивностипотоков обслуживания, ёмкости накопителей, количество обслуживающихканалов и другие. Качественным факторам не соответствует числовая шкала(дисциплины постановки на очередь, обслуживание каналов и другие).Фактор является управляемым, если его уровни целенаправленновыбираются экспериментатором.При планировании эксперимента обычно изменяются несколькофакторов.Основными требованиями, предъявляемыми к факторам - независимостьи совместимость.

Совместимость означает, что все комбинации факторовосуществимы.Для выбора конкретной модели планирования эксперимента необходимосформулировать такие её особенности, как адекватность, содержательность,простота.План эксперимента обычно используется для определения экстремальнойхарактеристики объекта. Поэтому планирование эксперимента называетсяэкстремальным. В планировании эксперимента наибольшее значение нашлимодели в виде алгебраических полиномов.Предполагаем, что изучается влияние К количественных факторов хi нанекоторую  в отведённый для экспериментирования локальной областифакторного пространства ограниченного хi min—xi max, i=1…k.Функцию отклика обычно выбирают линейной или квадратичной.   b0   bi x i   bij x i x j  f ( x ) B(1) где f ( x )  вектор с элементами f  ( x ),   o,d , входящих в исходныйполином; B - вектор коэффициентов.

Для двух факторов имеем: f0=1, f1=x1,f2=x2, f12=x1x2, f11=x12, f22=x22. B  (b0,b1,b2,b12,b11,b22).Так как полином (1) содержит d коэффициентов, то план экспериментадолжен содержать Nd различных экспериментальных точек:84 x11xD   12 ... x1 Nxx22...xxxk2... ... xkN .........212Nk1где xin - значение, которое принимает i-ая переменная в u-ом испытании.i=1…k, u=1...N. Матрица D называется планом эксперимента.Реализовав испытания в N очках области факторного пространства,определённом планом эксперимента, получим вектор наблюдений имеющийследующий вид:y  1y y   2 ... y  Nгде yu - реакция соответствующей u-ой точке плана.Плану эксперимента поставим в соответствие матрицу планирования: f 01 fx   02 ... f 0 Nff1112...f1Nff2122...f2N...ff............f11111211 Nff222...

f 22 N 221где fil, fijl - координатные функции при соответствующих коэффициентахмодели, в l - ом эксперименте.Построению плана эксперимента предшествует проведение ряданеформализованных действий (принятия решения) направленных на выборлокальной области факторного пространства G.Необходимо учитывать, что как только модель сформирована включениедополнительных факторов для уточнения модели невозможно. Вначалеследует выбрать границы xi min и xi max области определения факторов исходяиз свойств объекта. Например, температура при термобарическихэкспериментах не может быть ниже абсолютного нуля и выше температурыплавления материала из которого изготовлена термобарокамера.После определения области G необходимо найти нулевые (основные)уровни факторов и интервалы варьирования xi, i=1…k.Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровнейфакторов, называется полным факторным экспериментом (ПЭФ).

Есливыбранная модель включает только линейные члены полинома и ихпроизведения, то для оценки коэффициентов модели используется ПЭ сварьированием всех k факторов на двух уровнях, т.е. q=2. Такие планыназываются планы типа 2k, где n=2k- число всех возможных испытаний.Начальным этапом ПЭ для получения коэффициентов линейной моделиоснован на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем xiн и верхнем xiв,симметрично расположенных относительно основного уровня xi0, i=1…k.85Геометрическая интерпретация показана ниже на рис.

2.:Рис. 2. ПЭФ типа 22.Для упрощения записи условий каждого эксперимента факторы кодируютв виде безразмерных величин ~x i  ( xi  xi 0) /  xi ,i  1,2,..., k .Средний уровенькодированного фактора является нулём 0, граничные значения соответственно+1 и -1.Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделямисистемМожно выделить стратегическое и тактическое ПЭ на моделях систем.Стратегическое планирование– ставит своей целью получениенеобходимой информации о системе S с помощью модели MM, реализованнойна ЭВМ. Оно аналогично внешнему проектированию при создании системы S.Тактическое планирование – определяет способы проведения каждойсерии испытаний машинной модели MM. Оно аналогично внутреннемупроектированию системы S.Рассмотрим элементы стратегического планирования ПЭ.

Его цельюможет быть:1. Получение функции реакции системы от независимых фактов:y=f(b0,b1…,x1,x2,…xk)2. Нахождение экстремума: f(b0,b1…,x1,x2,…xk).Во 2-ом случае для определения наилучшей комбинации фактовмогут быть использованы методы систематической или случайнойвыборки.К систематическим относятся методы: одного фактора; предельного анализа; наискорейшего спуска; равномерной сетки.Проблемой является большое количество факторов. Для k=10 ПЭФдолжен состоять из 1024 точек. Используют неполные планы, метод"поверхности реакции".Следующей проблемой является многокомпонентность функции реакции.Здесь можно использовать последовательное однокомпонентное ПЭ. Этотподход не всегда возможен из-за связанности компонентов. Используются86интегральные оценки с применением весовых функций, функций полезностии т.д.Другой проблемой является стохастическая сходимость результатов ПЭ.В качестве результатов ПЭ используется средние некоторых распределений,для оценки которых применяют выборочные средние, найденные путёммногократны прогонов модели на ЭВМ.

Сходимость выборочных средних сростом объема выборки называется стохастической. Эта сходимость, какправило, медленная. Если  - стандартное отклонение среднего N наблюденийбудет равно / N , т.е. для уменьшения случайной выборки в k раз требуетсяувеличить объем выборки в k2 раз.Планированиемашинногоэкспериментапредставляетсобойитерационный процесс, когда выбранная модель плана экспериментапроверяется на реализуемость, а затем, если это необходимо, вносятсоответствующие коррективы в модель.Планирование эксперимента с моделью проводится в несколько этапов:1) построение структурной модели;2) построение функциональной модели.Структурная модель ПЭ характеризуется числом факторов и числомуровней для каждого фактора.

Из опыта известно, что 20% факторовопределяют 80% свойств системы.Ортогональноераспределениепланаупрощаетопределениекоэффициентов аппроксимации. Упрощение дает принятие числа уровнейвсех факторов одинаковыми (не больше 3). Функциональная модель ПЭопределяет количество элементов структурной модели Nф, т.е. необходимоечисло различных информационных точек Nф. Причём Nф<Nс, где Nс=q1,q2…qk– число экспериментов ПФЭ.Тактическое планирование машинных экспериментов с моделямисистемЗдесь решают проблемы: определения начальных условий и их влияния на достиженияустановившегося результата при моделировании; обеспеченияточностиидостоверностирезультатовмоделирования; уменьшения дисперсии оценок характеристик процессафункционирования моделируемых систем; выбора правил автоматической остановки имитационногоэксперимента с моделями.Рассмотрим ПФЭ типа 23:номер испытания 1 2 3 4 5 6 7 8~-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1x~-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1x~-1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1xПЭФ даёт возможность определить не только коэффициенты регрессии,87123соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессиисоответствующие всем эффектам взаимодействия.

Эффект взаимодействиядвух или более факторов появляется при одновременном варьировании этихфакторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, накоторых находятся другие факторы.Для оценки свободного члена b0 и определения эффектов взаимодействияb12, b13, …,b123… план эксперимента D расширяют до матрицы планированияX путём добавления соответствующей фиктивной переменной: единичногостолбца ~x и столбцов произведений ~x ~x , ~x ~x ,..., ~x ~x ~x как показано, например,для ПЭФ типа 23 в таблице (см.

ниже):0№Исп.1~xПлан ПЭФ0~x~x02~x~x ~x122131~x~x1323~x ~x2~x~x ~x Реакция y312331 +1 +1 +1 +1++++y12 +1 –1+1 +1––+–y23 +1 +1–1 +1–+––y34 +1 –1–1 +1+––+y45 +1 +1 +1 –1+–––y56 +1 –1+1 –1–+–+y67 +1 +1–1 –1––++y78 +1 –1–1 –1+++–y823Как видно из рассмотренных ПЭ типа 2 b 2 количество испытаний ПЭФзначительно превосходит число определяемых коэффициентов линейноймодели плана эксперимента, что увеличивает расход ресурсов ЭВМ повремени. Возникает проблема сокращения количества экспериментов.С этой целью рассмотрим построение планов так называемого дробногофакторного эксперимента (ДФЭ).

Пусть имеется ПЭФ типа 22. Используяматрицу планирования X, например приведённую в предыдущей таблице,можно вычислить коэффициенты и предусмотреть результаты в видеуравнения:y  b0  b1 ~x 1  b2 ~x 2  b12 ~x1 ~x2N/n~x0~x~x (~x)План ПЭФ~x~x1120Откликy211+1+1+1y121–1+1–1y231+1–1–1y341–1–1+1y4Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можноописать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента b0,b1,b2. Т.о. остаётся одна степень свободы, которую можно использовать дляпостроения плана эксперимента D для 3-х переменных, в которых уровни 388его фактора изменяются как в таблице рассмотренной немного раньше длястолбца ~x1 ~x 2 (эффектов взаимодействия).Мы получим так называемый дробный факторный эксперимент.

Характеристики

Список файлов лекций