Системный анализ (1086659), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Будем считать, что вид зависимости (1) нам известен, т.е. прямая задача решена. Тогда обратная задача формулируется следующим образом: при заданном комплексе условий  найти такое решение х = х* из множества X, которое обращает показатель эффективности W в максимум, т.е.

W* = mаx{ W (, х*)}. ( 2 )

Метод поиска экстремума и связанного с ним оптимального решения х* должен выбираться исходя из особенностей функции W и вида ограничений, накладываемых на решение.

Метод “простого перебора”. Если число возможных вариантов решения, образующих множество X, невелико, то можно попросту вычислить величину W для каждого из них, сравнить между собой полученные значения и выбрать один или несколько оптимальных вариантов, для которых W достигает максимума.

Метод “направленного перебора”. Когда число возможных вариантов решения, образующих множество X, велико, поиск среди них оптимального решения “вслепую” или простым перебором, затруднителен, а зачастую практически невозможен. В этих случаях поиск оптимального решения осуществляют целенаправленно либо путем последовательного “приближения”, каждый шаг которого приближает нас к искомому оптимальному решению. Такие методы “направленного перебора” получили название методы математического программирования.

Разработан математический аппарат для различного вида задач математического программирования. Если функция W линейно зависит от элементов решения х₁, х₂, ..., а ограничения, налагаемые на эти решения, имеют вид линейных равенств или неравенств, возникает ставшая классической задача линейного программирования, которая решается сравнительно простыми, а главное, стандартными методами. Если функция W выпукла, применяются специальные методы выпуклого программирования с их разновидностью – “квадратичным программированием”. Для оптимизации управления многоэтапными операциями применяется метод динамического программирования. Наконец, существует целый набор численных методов отыскания экстремумов, специально приспособленных для реализации на ЭВМ; некоторые из них включают элемент “случайного поиска”, который для многомерных задач нередко оказывается эффективнее упорядоченного перебора.

Таким образом, задача нахождения оптимального решения в детерминированном случае есть чисто математическая задача, которая может вызвать вычислительные, но не принципиальные трудности. Не так обстоит дело в случае, когда задача содержит элемент неопределенности.

2.2. Выбор решений в статистически определенных условиях.

В большинстве реальных задач системного анализа показатель эффективности W зависит от трех групп факторов

W=W(, х,  ), ( 3 )

где  – группа факторов, представляющих собой случайные величины или процессы, в принципе обладающие вероятностными характеристиками – законом распределения, математическим ожиданием, дисперсией и т.п.

Так как показатель W зависит от случайных факторов , то даже при заданных значениях  и х он уже не может быть вычислен, т.е. остается неопределенным. Поэтому задача поиска оптимального решения тоже теряет определенность. В то же время решение (какое бы оно ни было) необходимо принять.

Рассмотрим различные варианты решения данной задачи.

Вариант 1. Неизвестные факторы  мало отклоняются от своих математических ожиданий и эти отклонения не оказывают существенного влияния на исход решения. В этом случае случайные факторы  заменяются их средними значениями. Тогда задача становится детерминированной и может быть решена известными методами. На практике, решая большинство задач физики, механики, техники, случайностью пренебрегают.

Вариант 2. Неизвестные факторы  заметно влияют на показатель эффективности W, который в таких условиях является тоже случайным. Максимизировать случайную величину невозможно: при любом решении х она остается случайной, неконтролируемой. В этом случае случайные факторы заменяют их известными средними значениями, а в качестве показателя эффективности принимают статистическую характеристику (математическое ожидание или дисперсию) случайной величины W и выбирают такое решение х, при котором этот усредненный показатель обращается в максимум:

M [ W (, m_,, х_opt )]  max; D [ W (, D_,, х_opt )]  min, ( 4 )

где m_ , D_ – математическое ожидание и дисперсия случайного фактора  ; M[ ], D[ ] – математическое ожидание и дисперсия показателя эффективности W.

Вариант 3. Влияние неизвестных факторов  на показатель эффективности W решения существенно, но оно не суммируется. Например, необходимо разработать автоматизированную систему управления (АСУ) службы неотложной медицинской помощи города. Показателем эффективности работы АСУ является время Т ожидания больным врача, которое желательно сделать минимальным.

На первый взгляд данная задача аналогична рассмотренной выше и может решаться “оптимизацией в среднем”. Однако это не совсем так! Время ожидания врача отдельными больными не суммируется: слишком долгое ожидание одного из них не компенсируется почти мгновенным обслуживанием другого. Выбирая в качестве показателя эффективности среднее время ожидания, мы рискуем отдать предпочтение варианту, при котором среднее время ожидания минимально, но отдельные больные могут ожидать врача непозволительно долго.

Во избежание выбора ошибочного решения в задачах такого типа условие задачи дополняется добавочным требованием, чтобы фактическое значение показателя эффективности – в нашем примере фактическое время ожидания врача – не было бы больше заданного предельного значения Т_пред. Поскольку Т – случайная величина, нельзя просто требовать выполнения условия: Т  Т_пред. Надо требовать, чтобы это условие выполнялось с очень большой вероятностью, настолько большой, чтобы событие Т  Т_пред было практически достоверным:

Р ( Т  Т_пред )   , ( 5 )

где  – уровень доверия, его значение устанавливается близким к 1, например,  = 0,99...0,999.

Введение такого ограничения означает, что из области возможных решений X исключаются решения, ему не удовлетворяющие. Ограничения типа (5) называются стохастическими ограничениями. Наличие таких ограничений сильно усложняет задачу оптимизации.

Вариант 4. Если анализируемый процесс или разрабатываемая система в решаемой задаче многократно не повторяются, а являются единичными, “уникальными”, то в этом случае также прием с “оптимизацией в среднем” не подходит. Что толку в том, что операция в среднем принесет большой выигрыш, если в данном, единственном случае она может нас разорить дотла? От таких катастрофических результатов опять-таки спасаются введением стохастических ограничений (5). При достаточно большом значении уровня доверия  можно быть практически уверенным в достижения цели.

2.3. Выбор решений в условиях полной неопределенности.

Самым трудным и неприятным случаем является такой, когда у неопределенных факторов вообще не существует вероятностных характеристик; другими словами, когда их нельзя считать “случайными” в обычном смысле слова.

Напомним, что под термином “случайное явление” в теории вероятностей принято считать явление, относящееся к классу повторяемых и, главное, обладающее свойством статистической устойчивости. При повторении однородных опытов, исход которых случаен, их средние характеристики проявляют тенденцию к устойчивости, стабилизируются. Частоты событий приближаются к их вероятностям, средние арифметические значения – к математическим ожиданиям. Если много раз бросать монету, частота появления герба постепенно стабилизируется, перестает быть случайной; если много раз взвешивать на весах одно и то же тело, средний результат перестает колебаться, выравнивается. Это пример “доброкачественной”, стохастической неопределенности. Однако бывает неопределенность и нестохастического вида, которую можно назвать “дурной неопределенностью”. Несмотря на то, что факторы  заранее неизвестны, не имеет смысла говорить об их законах распределения или других вероятностных характеристиках.

Как же быть в таких случаях? Отказаться вообще от применения математических методов и выбрать решение “волевым” образом? Нет, этого не делают, а поступают следующим образом. Выбирают некоторое компромиссное решение х^*, которое, не будучи оптимальным ни для каких условий, будет все же приемлемым в целом их диапазоне.

В настоящее время полноценной научной теории компромисса не существует, однако разработаны специальные направления исследований операций, позволяющие получить некоторым образом аргументированное одно или несколько решений. Такими направлениями являются: метод экспертных оценок, теории игр и теория статистических решений.

Окончательный выбор решения осуществляется человеком. Опираясь на предварительные расчеты, в ходе которых решается большое число прямых задач исследования операций для разных условий  и разных вариантов решения х, он может оценить сильные и слабые стороны каждого варианта и на этой основе сделать выбор.

Теории игр и статистических решений при рассмотрении задач системного анализа с “дурной неопределенностью” основываются на подходе, который можно назвать “позицией крайнего пессимизма”. Он сводится к тому, что, принимая решение в условиях “дурной неопределенности”, надо рассчитывать на худшее и принимать то решение, которое дает максимальный эффект в наихудших условиях. Если в этих условиях мы получаем выигрыш W = W^*, то можно гарантировать, что в любых других случаях он будет не меньше (“принцип гарантированного результата”). Этот подход привлекателен тем, что снижает уровень неопределенности (условия выбираются наихудшими из возможных), дает четкую постановку задачи оптимизации и возможность ее решения корректными математическими методами. Но такая осторожная позиция далеко не всегда оправдана. Наиболее эффективна она в так называемых “конфликтных ситуациях”, в которых условия зависят от сознательно противодействующего лица (“разумного противника”), отвечающего на любое наше решение наихудшим для нас образом.

В нейтральных ситуациях принцип “гарантированного выигрыша” не является единственно возможным, но может быть рассмотрен наряду с другими. Пользуясь им, нельзя забывать, что эта точка зрения – крайняя, что на ее основе можно выбрать только очень осторожное, “перестраховочное” решение, которое не всегда будет разумным. Вообразите себе, например, военачальника, который всякое свое решение будет принимать, исходя из гипотезы, что его противник необычайно умен, хитер и изворотлив, и на каждое его действие немедленно ответит наихудшим для него образом. Вряд ли такому военачальнику будет сопутствовать удача! Напротив, в любой конкретной ситуации нужно стараться угадать, в чем слаб и “глуп” противник, и стараться “обвести его вокруг пальца”.

Крайне пессимистический подход нежелателен также в ситуациях, где стороне, принимающей решение, не противостоят никакие враждебные силы. Расчеты, основанные на точке зрения “крайнего пессимизма”, всегда должны корректироваться разумной долей оптимизма. Вряд ли стоит становиться и на противоположную точку зрения – крайнего или “залихватского” оптимизма, но известная доля риска при принятии решения все же должна присутствовать. Нельзя также забывать о том, что любое решение, принятое в условиях “дурной неопределенности”, – неизбежно плохое решение, и вряд ли стоит обосновывать его с помощью топких и кропотливых расчетов.

Метод экспертных оценок является полезным, а иногда – единственно возможным способом получения недостающей информации о неизвестных факторах . Он часто применяется в задачах, связанных с “дурной неопределенностью”. Идея метода сводится к следующему: собирается коллектив компетентных в данной области людей, и каждому из них предлагается ответить на какой-то вопрос (например, дать свою характеристику проектного решения, предсказать вероятность того или другого события или оценить степень правдоподобия различных вариантов условий  ). Затем полученные ответы обрабатываются наподобие статистического материала. Результаты обработки, разумеется, сохраняют субъективный характер, но в гораздо меньшей степени, чем, если бы мнение высказывал один эксперт (“ум хорошо, а два – лучше”).

Эксперты дают ответы, опираясь на собственный опыт и знания. Несмотря на субъективный характер оценок каждого эксперта, усредняя оценки целого коллектива, можно получить нечто более объективное и полезное (кстати, оценки разных экспертов расходятся не так сильно, как можно было бы ожидать). Таким образом, задача с “дурной неопределенностью” как бы сводится к обычной стохастической задаче. Разумеется, к полученным таким способом выводам не надо относиться слишком доверчиво, но наряду с другими результатами, вытекающими из других точек зрения, они все же могут помочь при выборе решения.

3. Многокритериальные задачи системных исследования

Выше рассматривались самые простые задачи системного анализа, когда решение выбиралось таким, чтобы обратить в максимум (минимум) один-единственный показатель W. К сожалению, на практике такие задачи встречаются не так уж часто – преимущественно при рассмотрении небольших по масштабу и скромных по значению мероприятий. А когда идет речь о крупномасштабных, сложных операциях, затрагивающих разнообразные интересы их организаторов и общества в целом, то их эффективность, как правило, не может быть полностью охарактеризована с помощью одного единственного показателя эффективности W. На помощь ему приходится привлекать другие, дополнительные показатели. Такие задачи системного анализа называются многокритериальными.

Сложность многокритериальных задач заключается в том, что:

Характеристики

Список файлов лекций