ЛМвИИ (1086253), страница 9

Файл №1086253 ЛМвИИ (Учебник - Логические методы в искусственном интеллекте (2,3 и 5 глава)) 9 страницаЛМвИИ (1086253) страница 92018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Роль функции Vсостоит в том, чтобы интерпретировать функциональные и предикатные константы языка втерминах элементов S.Пусть {t} - список всех свободных переменных, входящих в терм t, a g - функция,приписывающая всякой индивидной переменной из t значение из S. Индуктивнымопределением введем понятие терма t в модели М при присваивании g, обозначив это понятиеU(t, g). Функция g соответствует функции Iv интерпретации I. Функция g не является частьюмодели М.Семантика формул языка логики предикатов первого порядка описывается с помощьюобозначенияM╞g A,которая означает "А истинна в модели М для назначения g".Тогда для любой формулы А имеем эквивалентные обозначения:M╞g AU(A, g)=1,I(A)=1U(A, g)=1.Теперь мы можем сделать следующие определения:• Если терм t есть константа ai , то U(t, g)=I(ai ), т.е.

индивидной константесопоставляется элемент множества S: I(ai )S.• Если терм t есть переменная xi , то в данной модели U(t, g)=g(x).• Если f - n-местная функциональная константа и t1, …, tn -термы, то U(f(t1, …, tn)) =V(f)(U(t1, g), …, U(tn , g) )).• Если P n-местная предикатная константа и t1, …, tn – термы, то U(f(t1, …, tn)) =• V(f)(U(t1, g), …, U(tn , g) )).В описанной семантике можно дать определение понятия выполнимости.M╞g P(t1, …, tn) тогда и только тогда, когда значение истинности V(P(t1, …, tn)) есть Ипри данной функции приписывания g.• M╞g ¬A тогда и только тогда, когда М |≠g А.• M╞g А^В тогда и только тогда, когда M╞g А и M╞g В.• Аналогично для формул AvB, А→В и А↔В.• М╞g ∀хА тогда и только тогда, когда М╞g А для всех присваиваний g, которыеотличаются от присваивания g только сопоставлением значения переменной х.Формула А общезначима тогда и только тогда, когда M╞g А для всех моделей М и всехприсваиваний g.Пример.

Рассмотрим формулу:∀x(P(x)→Q(f(x), a)).В этой формуле имеем: индивидную константу а, одноместную функциональнуюконстанту f, унарную предикатную константу Р (или просто предикат) и бинарный предикат Q.Задана следующая интерпретация I:S={1, 2};I(a): {1, 2}; примем а=1 для вcex x ∈S .Iv(a): {1, 2};I(f(х)) = Iс(f)(Iv(x)) = {2(1), 1(2)};I(P(х)) = Ic(Р)(Iv(х)) = {Л(1), И(2)};I(Q(f(x))) = Ic(Q)(Ic(f)(Iv(x)), I(a)) = {И(1(2), 1), И(1(2), 2), Л(2(1), 1), И(2(1), 2)}.При х=1P(x)→Q(f(x), a) = P(1)→Q(f(1), a) = P(1)→Q(2, 1) = Л→Л = И.При x=2P(x)→Q(f(x), a) = P(2)→Q(f(2), a) = P(2)→Q(1, 1) = И→И = И.Таким образом, для всех х из S формула P(x)→Q(f(x), a) истинна, следовательно, онаистинна в интерпретации I.Пример.

В интерпретации из предыдущего примера оценим выполнилось формулы:∃х(Р(f(х))^Q(х, f(a))).При x=1P(f(x))^Q(x, f(a)) = P(f(1))^Q(1, f(a)) = P(2)^Q(1, f(1)) = P(2)^Q(1, 2) = И^И = И.При х=2P(f(x))^Q(х, f(а)) = P(f(2))^Q(2, f(a)) = P(1)^Q(2, f(1)) = Р(1)^Q(2, 2) = Л^И = Л.Поскольку для x ∈S , т.е. х=1, формула P(f(x))^Q(x, f(a)) истинна, то формула∃х(Р(f(х))^Q(х, f(a))) истинна в интерпретации I.Правило вывода в логике предикатов определяется как правило логическогоследования.

Формула В логически следует из формул A1, A2, …, An (A1, A2, …, An├B) тогда итолько тогда, когда всякая интерпретация, удовлетворяющая A1^A2^…^An, удовлетворяет такжеи В, т.е. из истинности посылок A1, A2, …, An следует истинность заключения В. В соответствиис определением формальной дедуктивной системы, множество выводимых формул образованоформулами, которые логически следуют из аксиом или аксиом и ранее введенных формул.Следующие две теоремы позволяют определить справедливость логическогоследования A1, A2, …, An├B из общезначимости формулы A1^A2^…^An →B илипротиворечивости формулы A1^A2^…^An ^¬B.Теорема дедукции.

Формула В является логическим следствием A1, A2, …, An тогда итолько тогда, когда формула A1^A2^…^An →B общезначима.Доказательство. Необходимость. Пусть A1, A2, …, An├B, тогда A1^A2^…^An →Bобщезначима.Обозначим через I{i1, i2, …, iK , ...} множество интерпретаций упорядоченных такимобразом, что первые k позиций занимают интерпретации, в которых формула A1^A2^…^Anистинна, а затем перечислены интерпретации, в которых формула A1^A2^…^An ложна. Изопределения логического следования вытекает, что возможны два случая, представленных втабл.2.1 и 2.2.Таблица 2.1.Таблица 2.2.I A1^A2^…^An B A1^A2^…^An →BI A1^A2^…^An В A1^A2^…^An →Bi1ИИИi1И…Иi2ИИИi2И...И…...............……IKИИИIKИ…И...JIЛИ…И…И…ЛЛИ…И…И………………………ЛЛИ…Л…ИДостаточность.

Пусть A1^A2^…^An →B общезначима, тогда справедливо A1, A2, …,An├B.Таблица 2.3АBА→ВИИИИЛЛЛИИЛЛИИз таблицы истинности формулы А→В (табл.2.3) следует, что общезначимостьформулы A1^A2^…^An →B исключает существование интерпретаций, в которых A1^A2^…^Anистинна, а В - ложна. Следовательно, из истинности формулы A1^…^An следует истинность В,т.е.

A1, A2, …, An├B.Теорема противоречивости. Формула В является логическим следствием A1, A2, …, Anтогда и только тогда, когда формула A1^A2^…^An ^¬B противоречива.Из теоремы следует, что для доказательства выводимости формулы В из формул A1, A2,…, An достаточно доказать противоречивость формулы A1^A2^…^An ^¬B. Это утверждениележит в основе метода резолюции (опровержения). Для применения этого метода необходимопредставить формулы в стандартизованном виде, который представляет собой конъюнкциюдизъюнкций. Приведение формул к стандартной форме рассмотрены в последующих разделах.Пример. Пусть заданы формулы:F1: ∀x(P(x)→Q(x));F2: P(a).Показать, что Q(a) является логическим следствием F1 и F2.Пусть задана некоторая интерпретация I, в которой формула ∀x(P(x)→Q(x)) истинна.Будем считать, что в формуле F2 Р(а) истинна. Положим, что Q(a) ложна в принятойинтерпретации I, тогда импликация P(a)→Q(a)≡¬P(a)vQ(a) ложна.

Следовательно, ложна в I иформула ∀x(P(x)→Q(x)), а это невозможно в силу исходного предположения. Тогда следует,что Q(a) истинна в любой интерпретации, в которой формула ∀x(P(x)→Q(x))^Р(а) истинна.Следовательно, Q(a) является следствием F1 и F21.2.3.Приведем еще несколько примеров, иллюстрирующих рассмотренный материал.Общезначимые формулы:∀xP(x)→∀yP(y) - тавтология;∀xP(х)→∃уР(у) - при любой непустой области интерпретации из справедливости длявсех элементов следует справедливость для отдельных;P(a)v¬P(a) - тавтология;Невыполнимые формулы:∀хР(х)→¬∀уР(у) - противоречие;∀xP(x)→¬P(a) - из справедливости для всех следует несправедливость дня отдельногоэлемента, что также является противоречием.Выполнимые формулы:P(a)→¬∃xP(x) - формула истинна в интерпретациях, в которых Р(а) ложна.

Например,если Р(х) интерпретируется как " х - отличник" и в рассматриваемом множестве Dстудентов группы Иванов не является отличником, тогда формула Р(Иванов)→¬∃хР(х)- истинна;∀x(P(x)v¬Q(x)) - формула, истинная в интерпретациях, в которых для каждогоэлемента истинно Р или ложно Q;∃хР(х) - формула истинная в интерпретациях, в которых хотя бы для одного элементаистинно Р.Напомним, интерпретация называется моделью для данного множества формул, есливсе формулы рассматриваемого множества истинны (выполнимы) в даннойинтерпретации.4.a)Моделью для формул∀x^¬P(x, x),∀x, y, z(P(x, y)^Р(у, z)→P(x, z)), ∀x∃yP(x, y)является множество действительных чисел с заданным на нем отношением меньше,т.е.

Р(х, у) - «х меньше j».b) Моделью для формул∀х(O(х)^Р(х)→П(х)),∀x(¬O(x)v¬P(x)→¬П(x)),∃х¬П(x),где O(х) - "x учится отлично", Р(х) - « х занимается общественной работой » и П(х)- "x получает повышенную стипендию", могут служить реально существующиепринципы, используемые при назначении стипендии.c) в) Моделью для формулы∀  ∃ ∀ x  R ∧P  x ,Q  f  x ,  , является следующая интерпретация:S- множество действительных чисел;Р(х, α, δ): |x-α|<δ;Q(f(x), β, ε): |f(x)-β|<ε;R(ε): ε>0;f(х) - произвольная, фиксированная функция, заданная на отрезке [а, β]; х, δ, ε индивидные переменные из S; α, β - константы из S, ∈[ a , b ] . В такойинтерпретации приведенная формула соответствует утверждению о том, что числоβ является пределом функции f(х) при x→α.2.3.

Правила вывода в логике предикатов первогопорядка.В процессе решения задачи мы используем различные способы рассуждений, которыеприводят к поставленной цели. Мы можем декомпозировать задачу на подзадачи, каждая изкоторых имеет свое частичное решение, или вывод, и при этом этот частичный выводстановится основой для решения следующей подзадачи и т.д. В любом.случае началомрассуждений является гипотеза или совокупность гипотез, из которых на базе некоторых правил(законов) делается заключение. В самом начале мы уже отмечали, что заключения типа "потомучто" или "если...

то" являются примерами рассуждений. Интуитивно можно определить процессрешения задачи как вывод из гипотез и аксиом. И эта идея получила отражение в техрассуждениях, которые приведены в предыдущем параграфе и. в частности, в теореме дедукции.Теперь дадим более строгое определение вывода.Выводом из множества гипотез (посылок, допущений) назовется непустая конечнаяпоследовательность формул, в которой каждая формула есть одна из гипотез, или формула,полученная из предшествующих формул последовательности по одному из правил вывода, илитеорема; вывод последней формулы >той последовательности называется заключением изисходного множества гипотез.Доказательством выводимости называется непустая конечная последовательностьвыводимостей, в которой каждая выводимость или является непосредственно обоснованной,или же получена из предшествующих выводимостей по одному из правил:• правило дедукции (Г, А├В) ├ (Г├А→В);• правило доказательства от противного (Г, ¬A├B^¬B)├(Г├A);• правило сведения к абсурду (Г, ¬А├В^¬В)├(Г├¬А).Эти правила называются правшами второго рода, в отличие от правил В1 - В12.(гл1,§1.5), которые называются правилами первого рода.

В приведенных правилах Г - множествогипотез (формул), возможно непустое, А, В - формулы.Выводимость, для которой есть доказательство, называется обоснованной.В приведенном определении вывода осталось нераскрытым понятие теоремы.Существует несколько равнозначных определений понягия теоремы. Приведем два из них:Если В есть логическое следствие формул A1, …, An, то формула ((A1, …, An)→В)называется теоремой, а В - заключение теоремы.Формула А называется теоремой, если и только если существует обоснованнаявыводимость Г├А, для которой Г пусто.Например, пусть требуется обосновать выводимость формулы ├(c→d)→(¬d→¬c), т.е.установить, что приведенная формула является теоремой.

Естественно, что доказательстводолжно опираться на посылки (гипотезы). Правомочен вопрос, как определить в поставленнойзадаче гипотезы. Возможны два способа выделения гипотез:• если главный знак (логическая связка) формулы не является конъюнкцией илиэквивалентностью, то можно взять в качестве единственной гипотезы отрицание этойформулы. Для приведенного примера¬((c→d)→(¬d→¬c));• если главным знаком формулы является импликация, то в качестве гипотезы взятьантецедент (посылку) этой формулы (в примере c→d);• если консеквент (следствие) формулы имеет главным знаком импликацию, то вкачестве второй гипотезы взять антецедент консеквента и т.д. Из полученных гипотезследует вывести консеквент последнего консеквента.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,12 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Учебник - Логические методы в искусственном интеллекте (2,3 и 5 глава)
opens___.ttf
ЛМвИИ.chm
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее