ГЛАВА 5 (1086252), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажем, что формула F=A→C может быт выведена из аксиом А→В и B→С, гдеμ(А)=0.8, μ(В)=0 μ(С)=0.9.Доказательство. Представим исходные аксиомы и выводимую формулу в дизъюнктивнойформе:. Теперь образуем множество S, учитывая, чтовыводимая формула F должна входить в это множество с отрицанием, т.е..Тогда S={}. Таким образом, нам предстоит показать, чтопредположение о выводимостииз исходных аксиом абсурдно в условиях нечеткой логики.Выпишем дизъюнкты S:l.-AvB,2.-BvC,3. A,4.-С.Применив метод нечеткой резолюции получим следующие резольвенты:5. В (из 1-3) с cd1=cd(A),6. С (из 2-5) с cd2=cd(B),7.
□ (из 4-6) с cd3=cd(C),где cdi вычисляется по (5.72):cd1=cd(A)=max(μ (A), μ (-A))-min (μ (А), μ (-А))=max(0.8,0.2)-min(0.8,0.2)=0.6,сd2=cd(B)=mах(μ (В), μ (-В))-min(μ (В), μ (-В))=max(0.7,0.3)-min(0.7,0.3)=0.4,cd3=cd(C)=max(μ (C), μ (-C)-min(μ (C), μ (-C))=max(0.9,0.1)-min(0.9,0.1)=0.8.Степень достоверности полной резолюцииcd=min(cd1, cd2, cd3)=min(cd(A), cd(B), cd(C)=min(0.6, 04, 08)=0.5.Таким образом, следует принять решение, что формула F выводима из исходных аксиом.Приведем еще один пример использования метода нечеткой резолюции применительно кпредикатам первого порядка. Напомним, что утверждения должны быть приведены кнормальной форме. Кроме того, в процессе вывода используется процедура унификациипеременных.Пример 5.15.
Если мужчина хочет жениться и женщина хочет выйти замуж:, то женитьбаможет состояться. Запишем эту фразу в форме предикатов первого порядка. Пусть предикатженитьба(Х, Y) означает желание мужчины X жениться на женщине Y или желание женщиныX выйти замуж за мужчину Y, предикат свадьба{Х, У) - факт женитьбы при обоюдном согласиимужчины и женщины на женитьбу.
Тогда приведенная аксиома запишется в следующей форме:женитьба(Х, У)^женитьба( Y,X)→ свадьба{Х, Y).Определим возможность женитьбы г-на A (желание жениться на г-же В оценивается достаточноскромно - 60%) и г-жи В (желание выйти замуж за А оценивается в 80%). Это значит, чтозначения истинности µ(женитьба(А,В))=0.6 и µ(женитьба(В,A)) =0.8. Теперь имеем два фактаи одно правило:1. женитьба(А ,В)2. женитьба(В,A)3. женитьба(Х, У)^женитъба( Y,Х)→свадьба(Х, Y). Мы хотим из приведенных аксиомвывести следствие5.
свадьба(A,B) со значением истинности μ (свадьба(А ,В))=1. Представим 3 в дизъюнктивнойнормальной форме:Ш женитьба(Х, Y) Ъ Ш женитьба(У,Х)\/свадьба(Х, Y).Крометого,необходимовыводимоеследствие (доказываемую теорему) взять сознаком отрицания. Теперь мы имеем множество S дизъюнктов:S= {женить6а(А,В),женитьба(В,А),-женитьба(Х,Y)v-женитьба(Y,X)vсвадьба(Х,Y),свадьба(A ,B)}.При получении резольвент переменные X и Y сопоставляются с соответствующими значениямиА к В. Для резольвент имеем следующие степени достоверности:сd1=cd(женитьба(A,В))=0.2, cd2=cd(женитьба(B,A))=0.6,cd3=cd(свадьба(A ,B))= 1и степень достоверности полной резолюции cd=0.2. Следовательно, утверждение свадьба(А,В)истинно с реалистичным значением истинности из [0.6,0.8], хотя предположили равной 1.Две следующие леммы являются фундаментальными в решении вопроса о выводимости внечеткой логике полноте принципарезолюции.Лемма 3 [57].
Множество S невыполнимо в нечеткой логике, если и только если ононевыполнимо в четкой логике.Лемма 5. Множество S невыполнимо в четкой логике, если и только если из нее может бытьвыведен пустой дизъюнкт.Теорема 5. Множество S нечетких дизъюнктов невыполнимо в нечеткой логике, если и толькоесли из S может быть выведен пустой дизъюнкт со степенью достоверности резольвентысd<>0.Доказательство. Допустим, что S - невыполнимо. Тогда оно невыполнимо в двоичной логике(лемма 2). Кроме того, в соответствии с леммой 3 из S может выводиться пустой дизъюнкт □. Вэтом случае, в соответствии с (5.72) и данным ранее пояснением относительно значенияистинности пустого дизъюнкта всегда имеем cd<>0 и µ(□)<0.5, так как значение cd=0соответствует µ(□)=0,5 (ни ложь, ни истина), т.е. бессмысленности вывода резолюции.Теперь предположим, что в результате вывода получены cd<>= и пустой дизъюнкт □, имножество S выполнимо в нечеткой логике.
Тогда µ (S)>=0.5> µ(□). Очевидно, это невозможно,так как по теореме 3 мы имеем 0.5> µ(□)=0,5 >= µ(S).А это означает, что S не выполняется. Ч.т.д.В заключение этого раздела отметим, что приведенный принцип резолюции является основойвывода в нечетком Прологе, позволяющем создавать качественно новые экспертные системы,решать другие важные задачи искусственного интеллекта, где не приемлемы двузначныеответы, особенно в условиях недостаточности знаний или информации..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
