ГЛАВА 5 (1086252), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Усредненное значение λmax равно 9.25. Следовательноотклонение λmax от n равно 0.25, а точность решения равна 0.25/9=0.03.Таким образом, с точностью 3% получаем(0):=0.02,(5)=0.04,(10)=0.08,(15)=0.18,(20)=0.34,(25)=0.18,(30)=0.08,(35)=0.04,(40)=0.02. Длянормализации нечеткого множества C% поделим степени полученные принадлежности на(20)=0.34 - максимальное значение.
Получим(10)=(30)=0.24,(15)=(25)=0.53,(0)=(40)=0.06,(5)=(20)=1 и нечеткое множество={0.06|0, 0.12|5, 0.24|10, 0.53|15, 1|20, 0.53|25, 0.24|30, 0.12|35, 0.06|40}.(35)=0.12,имеет вид5.11. Принцип резолюции для нечеткой логикиОсновной смысл нечеткой резолюции - проверить, содержит ли множество дизъюнктов S пустоеутверждение. Напомним, что вывод пустого дизъюнкта из множества S сводится к получениюрезольвенты пары дизъюнктов из S, содержащих контрарные символы. Если в процесседоказательства теоремы на некотором шаге получали пустой дизъюнкт, то это означало, чтотеорема не выводима.
Поскольку доказательство теоремы основано на методе от противного, товыводимая теорема берется с отрицанием. Поэтому получение пустой резольвенты (дизъюнкта)означает при данной постановке невыполнимость множества, и утверждение (отрицаниевыводимой теоремы) противоречит исходным посылкам. Следовательно, исходное утверждениедолжно быть верным. Таков смысл метода резолюции в четкой логике.
Очевидно, что впроцессе вывода получение резольвент связано с наличием контрарных пар утверждений,например, А и -А. Иными словами, метод резолюции допускает выполнение законакомплиментарности=0. В двоичной логике, разумеется, этот закон выполним. В случаенечеткой логики закон комплиментарности не всегда выполним, поэтому этот метод в прежнемвиде нельзя использовать. Высказывания А и В (например), используемые для вывода нечеткихрезолюций, называют иногда ключевыми словами.Прежде чем показать вывод метода нечеткой резолюции и примеры его использования, введемнекоторые определения и основополагающие утверждения.В нечеткой логике понятие "невыполнимый" отличается от "ложный" и "неложный" отличаетсяот "выполнимый". Поэтому будем считать, что высказывание А, имеющее значение истинностиµ A Ј 0.5, невыполнимо (ложно).Пусть F- формула и определим G как логическое следствие F.
Это возможно, если и только еслиневыполнима конъюнкция. Но в этом случае значение истинностивовсех интерпретациях. Если, кроме того, потребуем, чтобы μ(F)>=0.5, то μ(-G) не должно бытьбольше 0.5. Но,поэтомуµ (G ) і 0.5 во всех интерпретациях, в которых. Это означает, что значение истинности следствия не меньше значения истинностипосылки, и если значение истинности посылки больше 0.5, то значение истинности следствияникогда не может быть меньше 0.5. В частности, в двоичной логике мы имеем, если. Отсюда важнаяЛемма 1 [26]: Формула G является логическим следствием в нечеткой логике, если и толькоесли она является логическим следствием в двоичной логике.В дальнейшем будем предполагать, что формулы не содержат кванторов существования иприведены с помощью процедуры сколемизации, закона Де Моргана, дистрибутивного закона кдизъюнктивной нормальной форме.Введем определение степени достоверности противоречия:(5.72)в интерпретации I.Пусть два дизъюнкта определены как(5.73)L1и L2не содержат Р и -Р.
Тогда L1^L2 есть резольвента R(C1,C2) по Р.Пусть величина истинности μ(С1^С2)>0.5, Для оценки истинности резольвенты в нечеткойлогике справедливаЛемма 2: Пусть C1 и С2- два высказывания и R(C1, С2) - резольвента этих высказываний.Пусть max(μ(С1), μ(С2))=b и min(μ(C1), μ(С2))=а>0.5. Тогдаa<=μ(R(C1,C2))<=b.Доказательство. Без потери общности можно представить посылки в форме (5.73). Кроме того,следующие предположения также не ограничивают общности доказательства.
Пустьμ (С1)=mах(μ(P), μ (L1))=a,(5.74)μ (С2)=mах(μ (-Р), μ (L2))=b>=а.(5.75)Очевидно, что резольвента для С1 и С2 есть R(С1,С2)=L1 Ъ L2. Тогда из (5.74) и (5.75) следует,что μ (L1)<=a и μ (L2)<=b. Рассмотрим два случая:1. μ (L1)=а. Тогдаμ (R(C1,C2))= μ (L1vL2)=max(μ (L1), μ (L2))=mах(а, μ (L2)).Поэтому a< μ (R(C1,C2))<=b.2. Примем μ (L1)<a.
Из (5.74) следует, что μ (Р)=a. Поскольку a>0, тоμ (-P)=l - μ (-P)<0.5<а.Аналогично, из (5.57) имеем μ (L2)=b>=а иμ (R(C1,C2))= μ (L1vL2)=max(μ (L1), μ (L2))=b.Поэтомуa<= μ (R(C1,C2))<=b.Ч.т.д.Пусть резолюция S, обозначенная R(S), есть множество, в котором элементы множества Sрезольвируют парами друг с другом. Для n-й резолюции Rn(S) имеем:R0(S)=S,Rn+1(S)=R(Rn(S))(5.76)Сформулируем две теоремы, которые позволят обобщить доказанную выше лемму на случай nрезолюций.Теорема 1. В нечеткой логике если С является логическим следствием множествавысказываний, то для каждого п>=0 C О Rn(S).Теорема 2.
Пусть S - множество утверждений и С1,С2,...,Сn - утвержденияизS.Пустьтах(μ(С1), μ (С2),..., μ (Сn))=aи min(μ(C1), μ (C2),..., μ (Cn))=a. Пусть Сnобозначает какое-то утверждение в множестве Rn(S). Тогда для каждого n=>0a<= μ (Cn)<=b.Теорема 2 позволяет сделать важное заключение. Если каждое утверждение из S являетсянемного больше, чем "полуистина" и самое ненадежное утверждение имеет значениеистинности, равное a, то мы можем гарантировать, что все логические следствия, полученныемногократным применением резолюции, будут иметь значение истинности не меньше самогоненадежного утверждения, но никогда не превысит значение истинности для надежногоутверждения.Пусть S -множество дизъюнктов - множество аксиом вывода.
Пусть в процессе вывода парадизъюнктов из S образует резольвенту, скажем, по ключевому слову А. Иными словами, висходных дизъюнктах имеется контрарная пара, образующая противоречие. Поэтомузначение истинности резолюции как следствие вывода определяется значением истинностипротиворечия. Тогда степень достоверности противоречия (5.73) можно считать степеньюдостоверности нечеткой резольвенты.В соответствии с доказанной леммой (для общего случая -теоремой) определена нижняяграница резолюции.
Если R(C1,C2) является следствием {C1,C2}, то справедливы следующиеоценкиμ(C1 ^C2)<= μ (C1,C2))= μ (C1vC2).Отсюда следует, что μ ()<=μ (R(С1,С2)).Наоборот, еслиμ ()>=μ (R(С1,С2)), то μ (С1^C2)>= μ (R(C1,C2)). Этотслучайможнопроиллюстрировать примером. ПустьЯсно, что Q - резольвента для C1 и С2. Пусть μ(A)=0.3 иμ (Q)=О.2. Имеемμ (С1 ^С2)= μ (()^A)=min[mах(μ(-A), μ (Q), μ (A)]= =min[max(0.7,0.2),0.3]=0.3, т.е.μ(Q)< μ(C1^ С2).Далее мы будем рассматривать случай μ (A)> μ (-A).
В частности, если значение истинности Аравно 1 (строго истина) или О (строго ложь), то степень достоверности резолюции равна 1. Ноесли значение истинности А равно 0.5 (неясно, истина или ложь), то степень достоверностирезолюции равна 0. Таким образом, степень достоверности резолюции l>=cd>=0 (см.
рис. 5.4)Рис. 5.4Следующая теорема имеет такой же смысл, что и предыдущая, но в менее строгойформулировке (без требований ограничения сверху на значение истинности следствия,полученное повторным применением принципа резолюции). Доказательство можно найти в[26], [8], [57]. Заметим, что значение истинности множества μ(S) равно значению истинностисамого ненадежного высказывания из S, т.е. наименьшему значению.Теорема 3. Пусть S - множество дизъюнктов и G О Rn(S). Тогда для всех дизъюнктов G из Rn(S)μ (S)<= μ (G).Из теоремы следует, что значение истинности следствия не меньше нижнего граничногозначения истинности аксиомы из S.Теперь можно получить последовательность степеней достоверности резолюций cd1,cd2,...,cdn истепень достоверности полной резолюции справедливости выводимой теоремы равнанаименьшей из степеней отдельных резолюций, т.е.Cdn = min(cd1,cd2,...,cdn)(5.77)Пусть на n-м шаге вывода получен пустой дизъюнкт □. Если cd = 0, то об истинности следствияничего сказать нельзя, так как μ(□)=0.5 (ни ложь, ни истина).
Если cd=1, вывод следствиязначим, т.е. μ(□)=1, или, иными словами, он является абсолютным противоречием. Если 0.5>μ(□)>0, имеем неполное, нечеткое противоречие.Таким образом, процедура вывода теоремы из множества аксиом должна приводить кнеполному опровержению принятых исходных положений вывода (в частности, отрицаниевыводимой теоремы), т.е. к неполному reductio at absurdum.Обобщая сказанное, приведем последовательность нечеткого вывода теоремы с помощьюнечеткого метода резолюции.
Пусть S1 -множество аксиом и F - нечеткая формула,представляющая следствие из S1 аксиом (теорем). Представим отрицание F и S1 как множествоS. Используя идею нечеткой резолюции, мы можем получить новое множество утверждений каклогическое следствие исходных. При этом фиксируем степени достоверности резольвент cdi накаждом шаге резолюции как степень достоверности противоречия ключевого слова резольвентыэтого шага. Если последующие формулы выводимы из аксиом, то в конечном счете мы можемполучить пустой дизъюнкт. Факт получения пустого дизъюнкта в четкой логике означает, чтонеобходимо признать абсурдность принятого предположения об отрицании выводимойформулы –F при исходных аксиомах S1.В нечеткой логике получение пустого дизъюнкта требует оценки степени достоверностипустого дизъюнкта (или резольвенты последнего шага резолюции).
Для оценки полнойрезолюции и принятия решения об абсурдности исходного предположения используетсястепень достоверности полной резолюции (5.77), которая показывает, насколько формула Fявляется истинной и насколько выводимой. Если cd<0.5, то следует признать абсурднымпринятое исходное утверждение -F его выводимость из S1.Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
