книга2 с254-338 (1085854), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

307

В области прочности сварных соединений и элементов конст­рукций имеются примеры использования ЭВМ, работающих в по­исково-информационном режиме. В ИЭС им. Е. О. Патона разра­ботана система хранения и использования экспериментальных дан­ных о разнообразных механических свойствах металлов и сварных соединений. Информация заранее накапливается в памяти маши-

Рис. 23.1. Треугольные элементы в методе конечных элемен­тов

ны по мере поступления экспериментальных данных, а в случае необходимости машина выдает при запросе данные о механических свойствах конкретного металла или металла, близкого к нему по химическому составу.

Важна роль ЭВМ в решениях задач, которые не могут быть
осуществлены без их использования. Это относится, например,
к методу конечных элементов для определения напряженно-
деформированного состояния сложных по форме тел в упругой или
пластической стадии их нагружения. В этом методе тело разбива­
ется на части, часто на треугольники, размер которых принимает­
ся тем меньше, чем больше ожидается градиент напряжений в дан­
ной зоне тела. Например, в брусе вблизи надреза (рис. 23.1,а) тре­
угольники имеют наименьший размер. Поле напряжений и дефор­
маций в пределах каждого треугольника принимается обычно од­
нородным, т. е. во всех точках треугольника напряжения и дефор­
мации одинаковы. -

.На рис. 23.1,6 показан отдельный треугольный элемент с узла­ми (вершинами) по сторонам которого действуют некоторые поверхностные нагрузки создающие внутри треугольного элемента напряжения Образно можно представить, что стороны треугольника являются жесткими балками, ко-308

торые прикреплены к телу треугольника. Тогда действие сил

может быть заменено действием сосредоточенных сил, прило­женных по концам этих балок, (рис. 23.1,в). Если силы Q в каждом узле сложить, а затем разложить по осям х и у, то получим систему сил Р (рис. 23.1,г). Силы Р и напряжения при условии, что толщина треугольного эле­мента равна единице, связаны между собой следующими зависи­мостями:

(23.1)

где —координаты точек

— площадь треугольника " При нагружении тела внешними силами, например ..., Р₅ (рис. 23.1,а), треугольные элементы деформируются, а их узловые точки перемещаются. Тогда имеет перемещение в на­правлении оси х и перемещение в направлении оси у. Соответ­ственно узлы и имеют перемещения Зная переме­щения узловых точек, можно вычислить деформации треугольного элемента:

(23.2)

По деформациям можно вычислить также напряже-

ния , В стадии упругой деформации для плоского напря-

женного состояния, когда =0,

(23.3)

где Е — модуль упругости; —коэффициент Пуассона.

Если известны перемещения всех узловых точек, то можно по формулам (23.2) и (23.3) определить деформации и напряжения во всех элементах (треугольниках) тела. Векторная сумма сил в каждой узловой точке равна нулю. Суммы внутренних сил в узловых точках 1,...,5 (рис. 23.1,с), к которым приложены внешние силы, равны соответственно силам , ..., , Если число узловых точек М, то число неизвестных компонентов перемещений и и v будет 2N. Можно составить 2N уравнений равновесия для

309

,, -_t

N узлов, проецируя силы на оси х и у. Для узловых точек без внешних сил правая часть уравнений будет равна нулю; для точек /, 2, 3, 4, 5 в правой части уравнений равновесия будут внешние силы.

Если в формулы (23.1) вместо и вместо

подставить их значения из формул (23.1) и (23.2), то силы Р мо­гут быть выражены через перемещения узлов и координаты их то­чек. Для N узлов имеем систему 2N уравнений равновесия для определения неизвестных перемещений. При решении практиче­ских задач число неизвестных и число уравнений могут оказаться большими. Решение таких систем уравнений выполняют методом Гаусса на мощных ЭВМ.

При решении упругопластических задач методом конечных эле­ментов процедура получения решений значительно удлиняется

вследствие нелинейной зависимости между напряжениями и де­формациями. Это не позволяет пользоваться соотношениями (23.3). Связь между перемещениями и деформациями в пластической об­ласти, та же, что и в упругой, по формуле (23.2). Соотношения (23.1) также остаются без изменений. Если состояние какого-либо треугольного элемента соответствует точке А (рис. 23.2,а), то лишь на бесконечно малом участке АВ зависимость между может

рассматриваться как линейная. Бесконечно малые приращения напряжений находятся в линейной зависимости от

приращений деформаций

(23.4) 310

где

— мгновенный касательный

модуль упрочнения, содержание которого понятно из рис. 23.2,а, б; — напряжения в конечном элементе, достигнутые к рас­сматриваемому моменту времени; —среднее напряжение, рав­ное для плоского напряженного состояния.

Процесс нагружения должен быть разбит на большое число ша­гов приращения нагрузки. Нагрузка прикладывается порциями которые вызывают небольшие приращения деформаций

На каждом шаге задача решается аналогично упругой, но каждый раз с новыми значениями в отдельных

треугольных элементах. Продолжительность решения пластических задач обычно в десятки раз больше, чем упругих. Если рассматри­вать диаграмму для идеального упругопластического метал­ла, то —предел текучести металла. При ис­следовании напряженно-деформированного состояния пластин при сварке задача усложняется тем, что механические свойства метал­ла зависят от температуры. Это приводит к некоторому видоизме­нению выражений (23.4).

ЭВМ широко используется и для решения других задач, напри­мер определения общей и местной устойчивости с учетом и без учета остаточных напряжений, исследования релаксации напряже­ний при высоких температурах в связи с ползучестью металла, определения упругопластических деформаций элементов сварных конструкций при сложении рабочих и остаточных напряжений, расчетах сварочных напряжений при разнообразных условиях вы­полнения сварных соединений.

§ 2. Задачи оптимизации параметров проектируемых конструкций

Задача оптимального проектирования отдельной конструкции включает в себя комплекс различных оптимизацион­ных проблем. Сюда входит проблема выбора конструктивной схе­мы, определение рациональных геометрических размеров, опти­мальный подбор элементов, составляющих конструкцию, и, нако­нец, подбор сечений, расчет стыков и узлов.

Примеры оптимизационных задач:

1. Оптимизация сечений двутавра, швеллера, уголка.

2. Рациональное распределение материала в конструкциях статически неопределимых ферм. В этих фермах изменение сече­ний элементов влечет за собой перераспределение усилий между стержнями. Нужно выяснить, как распорядиться сечениями стерж­ней, чтобы при удовлетворении условий прочности и устойчивости масса фермы оказалась минимальной.

3. Оптимизация основных геометрических размеров конструк­ций. При заданной нагрузке минимизируется теоретический вес

311

конструкции путем выбора соответствующей структуры конструк­ций, построенной из стандартных элементов.

4. Оптимизация технико-экономических показателей и выбор параметров конструкции и ее элементов с точки зрения оптималь­ного расхода металла.

Для решения любой задачи оптимизации важна типизация эле­ментов конструкции. Простейшими задачами унификации и типи­зации являются задачи о выборе ряда оптимальных параметров для серии однотипных конструкций.

В задаче оптимизации определяется совокупность средств и действий, необходимых для достижения поставленной цели. Поиск путей достижения цели составляет основную задачу теории иссле­дования операций.

Под операцией понимается совокупность мероприятий, на­правленных на решение задачи. Одной из особенностей исследова­ния операций является системный подход к рассмотрению предме­та исследования. При системном подходе элементы системы (изделия) рассматриваются во взаимосвязи друг с другом. При этом выявляются наиболее характерные факторы. Затем намеча­ют план исследования, в частности устанавливаются последова­тельность и средства для решения задачи.

Основной принцип методологии исследования операций состоит в создании модели операции и проведении исследований на этой модели. Математические модели описывают структуру изу­чаемой системы в количественных терминах. При разработке мо­дели всегда возникают два противоречивых требования: как мож­но точнее описать в модели исследуемый объект и одновременно получить модель достаточно простую, позволяющую решить зада­чу до конца. Обычно операционные модели имеют вид уравнения, выражающего общий критерий функционирования системы. Коли­чественно критерий зависит от учитываемых факторов, которые принято делить на две группы: неуправляемые, иначе их на­зывают параметрами системы, — они обычно известны, и управ­ляемые— переменные факторы, регулируя значения которых можно улучшить значение общего критерия функционирования си­стемы. Иногда в системе учитывают случайные и не полностью определенные факторы. Задача исследования состоит в установле­нии значений управляемых факторов таким образом, чтобы общий критерий функционирования достиг наилучшего значения. В мо­дель операции могут входить ограничения на управляемые пере­менные. Очень часто, если в задаче оптимизируется несколько кри­териев, требуется получить решение, не безупречно оптимальное по каждому критерию, а приемлемое сразу по нескольким критериям. Существенной частью исследования операций является поиск и принятие решения, разработка программных алгоритмов, реализу­ющих группу численных методов решения оптимизационных задач. Оптимизационная задача представляется как задача минимиза­ции целевой функции многих переменных.

Пусть дана непрерывная и дважды дифференцируемая в неко-

312

торой области функция п переменных Требуется

Характеристики

Список файлов книги