Решенные билеты (1085496), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Упорядочим апостериорные вероятности:

и возьмем процедуру B (Байесовская оптимальная) следующего вида по принятому X вычисляем и упорядочиваем апостериорные вероятности

и взяли элемент, который стоит в первом ряду этого неравенства.

При заданном X берем элемент на котором достигается max апостериорных вероятностей.

- вероятность того, что при заданном X было во второй компоненте значение 

Очевидно, что и отсюда следует, что

По X ставим оценки по max апостериорных вероятностей.

I(A) индикаторная функция события A.

процедура процедура классификации эквивалентная разбиению

Что представляют собой области для Байесовской процедуры.

отсюда следует, что

тогда

Распределение Пуассона.

-Распределение Пуассона с параметром .

- распределение числа событий на единичном интервале времени.

 - средняя интенсивность потока на единичном отрезке времени.

Л----------------------------------------------------------------------- )

Лазер испускает отдельные фотоны. Регистрация этих фотонов происходит в соответствии с распределением Пуассона, т.е. поток фотонов это простейший Пуассоновский поток событий.

Нужно выбрать такие малые интервалы времени, в которых регистрация двух и более фотонов происходила с малой вероятностью.

Это нужно, чтобы подслушиватель в принципе не мог перехватить в интервале t один фотон, и другой без изменений отправить к легитимному участнику квантовой криптографической связи.

Мы хотим передать 10³бит ключа и допускаем чтобы противнику было известно не более 10 бит. Это означает, что примерно на 10³ интервалов времени где вообще были зарегистрированы фотоны приходится не более 10 интервалов времени, где были 2 и более фотонов.

Будем предполагать, что  - известна.  оценивается посредством длительного тестирования лазера.

0 1 2 3 … N

|-----|-----|-----|-----|-----|----|-----|-----|-----|----|-----|-----|-----|----|-----|-----|---|-----|-----|

t плохие

 - известно.

Выберем такое малое t, чтобы t = 10^-2, тогда

Основные понятия марковских процессов

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать “динамикой вероятностей”. В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.

Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

Практическое применение теории марковских цепей требует знания некоторых терминов и основных положений, на которых следует остановиться перед изложением примеров.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов (СП). В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции (СФ).

Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной (СВ). По- иному, СФ можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.

Такими примерами СФ являются: колебания напряжения в электрической цепи, скорость движения автомобиля на участке дороги с ограничением скорости, шероховатость поверхности детали на определенном участке и т.д.

Как правило, считают, что если аргументом СФ является время, то такой процесс называют случайным. Существует и другое, более близкое к теории принятия решений, определение СП. При этом под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

Нетрудно заметить, что если обозначить состояние и изобразить зависимость , то такая зависимость и будет случайной функцией.

СП классифицируются по видам состояний и аргументу t. При этом СП могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем. Например, любой выборочный контроль продукции будет относиться к СП с дискретными состояниями ( - годная, - негодная продукция) и дискретным временем ( , - времена проверки). С другой стороны, случай отказа любой машины можно отнести к СП с дискретными состояниями, но непрерывным временем. Проверки термометра через определенное время будут относиться к СП с непрерывным состоянием и дискретным временем. В свою очередь, например, любая осциллограмма будет записью СП с непрерывными состояниями и временем.

Кроме указанных выше примеров классификации СП существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями СП. Так, например, если в СП вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия (рис.1).

Зависимость называют переходной вероятностью, часто говорят, что именно процесс без последействия обладает марковским свойством, однако, строго говоря, здесь есть одна неточность. Дело в том, что можно представить себе СП, в котором вероятностная связь существует не только с предшествующими, но и более ранними ( ) состояниями, т.е.

(1)

Рис. 1. Схема процесса без последействия

Такие процессы также рассматривались А.А. Марковым, который предложил называть их в отличие от первого случая (простой цепи) - сложной цепью. В настоящее время теория таких цепей разработана слабо и обычно применяют так называемый процесс укрупнения состояний путем математических преобразований, объединяя предшествующие состояния в одно.

Это обстоятельство должно обязательно учитываться при составлении математических моделей принятия решений.

Выше мы совершили незаметный терминологический переход от понятия СП к “марковской цепи”. Теперь эту неясность следует устранить. Отметим, во-первых, что случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью.

Если случайная последовательность обладает марковским свойством, то она называется цепью Маркова.

С другой стороны, если в случайном процессе состояния дискретны, время непрерывно и свойство последействия сохраняется, то такой случайный процесс называется марковским процессом с непрерывным временем.

Марковский СП называется однородным, если переходные вероятности остаются постоянными в ходе процесса.

Цепь Маркова считается заданной, если заданы два условия.

1. Имеется совокупность переходных вероятностей в виде матрицы:

. (2)

2. Имеется вектор начальных вероятностей

, ….. (3)

описывающий начальное состояние системы.

Матрица (2) называется переходной матрицей (матрицей перехода). Элементами матрицы являются вероятности перехода из i-го в j-е состояние за один шаг процесса. Переходная матрица (2) обладает следующими свойствами:

a) , (3a)

б) .

Матрица, обладающая свойством (3a), называется стохастической. Кроме матричной формы модель марковской цепи может быть представлена в виде ориентированного взвешенного графа (рис. 2).

Рис. 2. Ориентированный взвешенный граф

Вершины графа обозначают состояние , а дуги- переходные вероятности.

Множество состояний системы марковской цепи, определенным образом классифицируется с учетом дальнейшего поведения системы.

1. Невозвратное множество (рис. 3).

Рис. 3. Невозвратное множество

В случае невозвратного множества возможны любые переходы внутри этого множества. Система может покинуть это множество, но не может вернуться в него.

2. Возвратное множество (рис. 4).

Р
ис. 4. Возвратное множество

В этом случае также возможны любые переходы внутри множества. Система может войти в это множество, но не может покинуть его.

3. Эргодическое множество (рис. 5).

Рис. 5. Эргодическое множество

В случае эргодического множества возможны любые переходы внутри множества, но исключены переходы из множества и в него.

4. Поглощающее множество (рис. 6)

Рис. 6. Поглощающее множество

При попадании системы в это множество процесс заканчивается.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)