КвКр(Лекции) (1085243), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

С одной стороны, квантовая схема распределения открытых ключей, которая была описана в предыдущем параграфе, теоретически очень хороша, но с другой — совершенно непрактична с точки зрения нынешней технологии. В частности, в ней были проигнорированы среди прочих следующие две проблемы:

1) Намного проще иметь дело с пучками (или импульсами) фотонов, чем с одиночными фотонами.

2) Даже если никакого нарушения в квантовом канале не произошло, и даже тогда, когда Боб правильно угадывает выбранный Алисой базис, нужно ожидать, что некоторые из фотонов по пути будут переполяризованы, или что в результате ошибок в измеряющем приборе Боб может неправильно их интерпретировать.

Тем не менее, на практике обе эти трудности могут быть успешно решены.

Всякий раз когда в идеальном протоколе § 3 должны посылаться одиночные фотоны, первая проблема решается с помощью посылки очень слабых световых импульсов. Если использовать лазер, то легко выработать такой импульс, в котором число фотонов как случайная величина  удовлетворяет распределению Пуассона при известных математическом ожидании и дисперсии , значительно меньших 1. Кроме того, использование поляризаторов, удвоителей импульсов и фильтров позволяет производить световые импульсы заранее определенной поляризации, а в промежуток времени от одного такого импульса до другого (поскольку в конструкции этих приборов нет никаких движущихся частей) можно очень быстро переключаться на нужную поляризацию.

Проблема с световыми импульсами (которые заменяют одиночные фотоны) заключается в том, что каждый раз, когда за время одного и того же импульса выпускается более одного фотона, Ева получает возможность (по крайней мере в принципе) измерить один из этих фотонов в случайно выбранном базисе. Такое нарушение может быть необнаруживаемо при условии, что Ева будет очень осторожной и позволит другим фотонам того же самого импульса дойти до Боба неискаженными. Основная идея значительного уменьшения этой угрозы заключается в том, чтобы использовать действительно очень слабые импульсы. Если, например, ожидаемое число фотонов в каждом импульсе равно =10^-3, то можно считать, что мультифотонный импульс будет вырабатываться приблизительно только один раз на каждые 210⁶ импульсов.

Действительно, вероятность появления мультифотонного импульса будет равна

P(2)=1- (P(=0)+P(=1))=1- - =

=1-(1-+ )-(1-+ )= 510^-7,

так что среднее значение N_мф количества импульсов до появления мультифотонного импульса составит величину

N_мф=(P(2))^-1=210⁶.

Ясно также, что при таком среднем значении фотонов в каждом импульсе =10^-3 много будет пустых импульсов, не содержащих ни одного фотона. Вероятность появления непустого импульса равна

P(1)=1- = 10^-3

Следовательно, P(1)/P(2)99,95% непустых импульсов должны содержать одиночный фотон. Только обладая очень большими ресурсами, Ева могла бы выявить те редкие случаи, когда передается более одного фотона и проверить соответствующий бит с вероятностью 1/2, измеряя один из фотонов в случайно выбранном базисе, но это привело бы лишь к тому, что Ева смогла бы узнать примерно 0,025% той битовой строки, которой Алиса обменивается с Бобом.

Вторая проблема, которая связана с наивной реализацией квантовой передачи и описана в § 3, состоит в том, что некоторые биты могут быть получены неправильно даже при отсутствии перехвата, из-за недостатков в аппаратуре. (Отметим, что вероятность ошибки из-за воздействия шумов в квантовом канале для практически реализуемых квантовых каналов не превышает нескольких процентов [10].) Алиса и Боб никогда бы не смогли обменяться случайной битовой строкой, если бы не начинали делать это заново каждый раз, когда обнаруживают даже одиночную ошибку в квантовой передаче. Следовательно, для того чтобы обнаружить и исправить приемлемое число различий между исходной случайной строкой Алисы и строкой, полученной Бобом, необходим протокол в открытом канале.

Рассмотренный в [4] алгоритм вычеркивания ошибок из битовых строк Алисы и Боба заключается в разбиении последовательностей  и ^ на одинаковые по длине блоки (в каждой из последовательностей) и обмене по открытому каналу четностями (суммой бит по mod2) этих блоков. Если четности какого-либо блока совпали, то последовательности внутри блоков считаются совпадающими, при этом для исключения какой-либо информативности открытого обмена последний бит блока отбрасывается. При несовпадении четностей последний бит блока также отбрасывается, блок разбивается на две части и происходит дальнейший поиск ошибки и ее исправление. Процедура повторяется несколько раз, каждый раз с перемешиванием последовательностей по некоторой известной перестановке и новым разбиением на блоки.

При наличии большого количества ошибок, число которых значительно превосходит значение в несколько процентов от объема общей для Алисы и Боба битовой строки, Алиса и Боб отказываются от использования полученной ими битовой строки в качестве секретного ключа.

§ 5. Приложение

1. Классические и квантовые вероятности.

а) Классические вероятности.

Здесь мы дадим некоторую трактовку классических вероятностей, перекидывая "мостик" к квантовым вероятностям.

Обозначим через

дискретную вероятностную схему.

Пусть (i)=_i-случайная величина, заданная на (1, 2, ... , m).

Мы будем интересоваться вероятностью того, что случайная величина  примет значение _i из некоторого подмножества

(i₁, i₂,…, i_k)=( )

Введем в рассмотрение вектор-столбец = , диагональную матрицу (оператор)

.

Собственные вектора оператора L есть единичные вектора = с собственными значениями .

Введем в рассмотрение операторы (c одной единицей на диагонали) вида

(i)= , -вектор-строка.

Тогда нетрудно видеть, что вероятность

P(=_i)= (i) = = ,

где .

Пусть

={i₁, i₂, ... , i_k}- подмножество индексов {1, 2, ... , m},

()= - проектор на соответствующее подпространство.

Тогда Р((i₁, i₂,…, i_k))= .

б) Квантовые вероятности [11].

В гильбертовом векторном пространстве H размерности m над полем комплексных чисел рассмотрим вектор , и назовем его состоянием квантовой системы.

Пусть B - положительно определенный эрмитов оператор, - его собственные вектора с собственными значениями , множество (i₁, i₂,…, i_k)=( )

Введем в рассмотрение проекционные операторы (i)= .

Пусть ={i₁, i₂, ... , i_k}- подмножество индексов {1, 2, ... , m},

()= - проектор на соответствующее подпространство.

Введем в рассмотрение вероятности

Р((i₁, i₂,…, i_k)) = .

Совокупность операторов (), получающихся при отображении (), называется вероятностно-операторной мерой.

Оператор называется оператором плотности состояния .

Будем говорить, что прибор, применяющий такую вероятностно-операторную меру к квантовому состоянию , измеряет оператор B.

в) Поляризованные фотоны как квантовые состояния.

Рассматривается гильбертово пространство H размерности 2. Здесь мы имеем m=2 и, соответственно, 2 исхода с номерами 1 и 2.

Любое состояние в таком гильбертовом пространстве может быть представлено в виде вектора =(cos, sin), где  отвечает углу поляризации фотона.

Рассмотрим вектор = (cos, sin) и определим оператор (проектор) . Этот оператор имеет собственный вектор с собственным значением 1 и любой вектор , ортогональный к вектору , является собственным с собственным значением 0. Тогда

Р(1) = =

= =

=cos²cos² + 2 coscos sinsin + sin²sin² = cos²(-).

Аналогично

Р(0) = sin²(-).

Так определенное квантовое измерение соответствует регистрации поляризованного фотона в прямом и перпендикулярном луче двоякопреломляющей призмы с углом оптической оси .

1. Вероятность ошибки при атаке на квантовый канал.

а) Атака с использованием алгоритма приема поляризованных фотонов Боба.

Здесь мы предположим, что Ева применяет для определения поляризации фотона тот же самый алгоритм, что и Боб, каждый раз производя измерения и отправляя к Бобу новый фотон, поляризуя его в соответствии с результатами измерений. Очевидно, что после согласования базисов Алисой и Бобом и вычеркивании номеров тактов с "пустыми" импульсами, на оставшейся части битовой последовательности вероятность совпадения базисов у Алисы (Боба) и Евы будет равна ½. Тогда, на этой части битовой последовательности, где совпали базисы у всех 3-х участников, значения бит Алисы, Боба и Евы будут совпадать.

Там, где базисы Евы не совпали с базисами Алисы и Боба, Ева принимает значения бит случайно, равновероятно и независимо от битовой строки Алисы. В этом случае можно считать, что она отправляет к Бобу случайную и равновероятную последовательность { } поляризованных фотонов, выбирая конкретную поляризацию из множества {0°, 45°, 90°, 135°}.

Характеристики

Список файлов лекций