Курс лекций 8 (1082861)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 8. Приложения.

§1 Гармонические функции.

Определение. Гармонической в области D функцией называется действительная функция u(x,y) обладающая в D непрерывными вторыми производными и удовлетворяющая уравнению

Теорема. Действительная и мнимая части однозначной аналитической функции в области D являются гармоническими в этой области функциями.

Имеем f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

(CR)

Откуда и следует требуемое равенство.

Определение. Две гармонические функции, связанные условиями (CR) называются сопряженными.

§2 Комплексный потенциал

Рассмотрим плоское поле

Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую кривую равен нулю ) . Тогда для формы выполнены условия полного дифференциала , поэтому существует функция , для неё

(1)

Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля называется дважды непрерывно дифференцируемая функция v, удовлетворяющая соотношениям (1).

Функция тока находится по формуле

1. Потенциальное ( безвихревое поле ) . В этом случае существует потенциал .

2. Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это следует из 1) и 2), выполнены условия

, (2),

которые являются условиями Коши-Римана для функции

f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля. Отметим, что в плоском поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются гармоническими сопряженными функциями. Как это следует из 1)-2)

Для такого поля поток

1. Восстановления функции тока по потенциалу.

Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy является полным дифференциалом и функция тока v восстанавливается по формуле

Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции тока v, если она гармонична.

§3 Операционное исчисление

Дана задача Коши

a_n0. (1)

Будем предполагать, что f(t) и x(t) вместе со всеми производными до n-го порядка являются оригиналами. Положим x(t)X(p), f(t)F(p). Из свойств преобразования Лапласа следует, что

Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим

, или

.

Таким образом,

, находя оригинал x(t)X(p) для функции X(p), получим решение задачи Коши.

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

Таблица некоторых преобразований Лапласа

Пример 1. x’’+a²x=b sin at, общие начальные данные x₀, x₁,

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим , откуда

Окончательно

Пример 2. x’’’+3x’’+3x’+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1)³X(p)=1/p, . Откуда

Пример 3. x’’’+x=1, нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

Пример 3. x’’’+x=1, нулевые начальные условия.

,

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим . По второй теореме Хевисайда

=

Пример 5. x’’+²x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает

Окончательно

Пример 7.

x’+ax=f(t), нулевые условия

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций