Курс лекций 3 (1082856), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2.Обратная функция.

Если w=e^z, то |w|=e^x, x=ln |w|, arg w = y откуда для обратной функции z = Ln w = ln|w|+i Arg w = ln|w|+i (arg w + 2k ), при k=0 получаем ln w.

Ветви, поверхность Римана.

§4 Функция Жуковского

Определена, однозначна и аналитична всюду в C кроме z=0.

,w0 при z1, таким образом, эта функция конформна в любой точке кроме z=1, ( конформность в 0 и в  проверить самостоятельно )

Область однолистности откуда либо z₁=z₂, либо z₁z₂=1. Областью однолистности является, например, каждое из следующих множеств |z|<1, |z|>1, Im z > 0.

Пусть z=r ( cos  + i sin  ) = r e^i, тогда

(1)

Следовательно, окружность r=r₀ переходит в эллипс с полуосями . Фокусы c =  1.

Из (1) следует, что лучи arg z =  переходят в гиперболы с фокусами 1. Асимптоты гипербол v = u tg . Функция Жуковского переводит внешность единичного круга на плоскость с разрезом по отрезку [-1,1].

2.Обратная функция

. Рассмотрим область , плоскость с разрезом. Первая однозначная ветвь f₁(w) переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f₂(w) переводит D* в |z|>1. Точки w=1.

§7 Таблица некоторых конформных отображений.

1) симметричная относительно единичной окружности , поэтому образом единичной окружности будет единичная окружность.

2) Верхняя полуплоскость на единичный круг. .

3) Угол {z: arg z (0, ),0<<2} на верхнюю полуплоскость . Напоминание .

4) В частности w=z² отображает первый квадрант на верхнюю полуплоскость.

5) Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость

6)

7) Частный случай

8) Частный случай

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Пример. Отобразить область

Решение

Пример.

(нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем w₂=w₁².

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Характеристики

Список файлов лекций