Типовой расчёт по курсу Теории вероятности (1082324)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задание 1.

Мышь может выбрать наугад один из N лабиринтов. Известно, что вероятности её выхода из различных лабиринтов за три минуты равны p; q; r; s; t. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта через три минуты. Какова вероятность того, что она выбрала L лабиринт? M лабиринт?

Решение:

Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,8 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) = 0,5 – из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,4 – из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,25– из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности, находим вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты:

P(A) = ∑ P(Hi)P(A/Hi) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A)=1/5*0,8+1/5*0,6+1/5*0,5+1/5*0,4+1/5*0,25= 51/100 -искомая вероятность.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (1/5*0,8)/(51/100) = 40/51

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала четвёртый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H4/A )= P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,4)/(51/100) = 20/51

Ответ: 40/51- для лабиринта 1, 20/51 - для лабиринта 4.

Задание 2.

В сентябре вероятность дождливого дня p. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью q, а в дождливый день эта вероятность равна r. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру. Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.

Решение:

Пусть событие {A} - игра выиграна.

По формуле полной вероятности:

Р(А)= 0,5*1+0,5*0,6=0,8

По формуле Бейеса находим искомые вероятности:

Ответ:

а)Вероятность того что в тот день шёл дождь равна 0,3125.

б)Вероятность того что тот день был ясный равна 0,45.

Задание 3.

Игральная кость сделана так, что вероятность выпадения определённого числа пропорциональна числу очков. Какова вероятность выпадения M очков, если известно, что выпало N-е число очков.

Сведём к цифровому обозначению:

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1

x+2x+3x+4x+5x+6x=1

21x=1

X=1/21

Число очков (чётное)

P(2)+P(4)+P(6)=2/21+4/21+6/21 =12/21

12/21 - вероятность выпадения чётного числа очков.

P=m/n=3x/12x =1/4

Ответ: вероятность 1/4.

Задание 4.

В урне «K» зеленых и «M» синих шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался зеленым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону – тоже зеленый.

Сформулируем гипотезы: – «отложенный шар зелёный», – «отложенный шар синий». Априорные вероятности гипотез: P(H1)=a/(a+b) , P(H2)=b/(a+b). Далее мы проведём эксперимент (обозначи это событие через А): взяли из урны еще один шар и видим, что он зелёный. Как полученная информация влияет на вероятности гипотез? Ответ дает формула Байеса. Апостериорные вероятности гипотез:

– искомая вероятность.

Задание 5.

На сборку поступило N1 деталей от первого станка, N2от второго и N3 от третьего. Первый станок дает p1%, второй p2% и третий p3% брака. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется не бракованной. Задачу решить, используя: а) определение вероятности события; б) формулу полной вероятности.

N1= 65

N2 = 75

N3 = 120

p1 = 5

p2 = 1

p3 = 8

Решение:

А.

Рассчитаем кол-во бракованных деталей:

брак 1 ст. = 0,05* 65 = 3,25 детали ;

брак 2 ст. = 0,01*75 = 0,75 детали;

брак 3 ст. = 0,08*120 = 9,6 детали.

Всего 260 деталей, из них браковано 13,6 деталей; не бракованных=246,4д.

P(A) = 246,4/260 = 2464/2600 = 0,94 – искомая вероятность.

Б.

Рассчитаем формулу полной вероятности, предварительно узнав, необходимые цифры:

H1/H2/H3 –количество(процентное) деталей сделанных 1-м/2-м/3-м станками.

P(A) = 0,95*0,26 + 0,99*0,29+0,92*0,49 = 0,247+0,2871+0,4508=0,98 - формула полной вероятности.

Задание 6.

На одной полке наудачу расставляется N книг. Найти вероятность того, что определенные M книги окажутся поставленными рядом.

N=11

M=6

Решение.

Ответ: Вероятность того, что 6 книг окажутся поставленными рядом, определённым образом, равна .

Задание 7.

В соревнованиях по футболу участвуют N команд. Случайным образом они делятся на m групп по L команд. Какова вероятность того, что K наиболее сильные команды при этом окажутся в одной группе?

2 → 2

18 → 8

1)Нужно разбить 20 команд на две группы следующим числовым образом:

С(10)(20)=20!/(20-10)!10!=(10!*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20)/ /(10!*1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)=670442572800/3628800=184756

2)Затем выбрать 10 команд так, чтобы две команды из двух плюс 8 команд из остальных 18 попали в одну группу можно так:

C(8)(18)=18!/(18 - 8)!8!= (10!*11*12*13*14*15*16*17*18)/ /(10!*1*2*3*4*5*6*7*8)= 1764322560/40320=43758

3)Но нужно учитывать то что групп всего две:

С(2)(2) = 2!/(2-2)!1!=(1*2)/(0!1!)=2/1=2

4)Исходя из вышеперечисленных вычислений, можно найти нужную нам вероятность:

P(A) = m/n= (С22* C818)/ C1020 = (2*43758)/184756=87516/184756=0,473 -искомая вероятность.

Задание 8.

Гардеробщица одновременно выдала номерки N лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы, и повесила их наугад. Найти вероятность того, что она каждому выдаст его собственную шляпу.

N=8

Решение:

Посчитаем число n всевозможных исходов, способов разместить 8 шляп по 8 имеющимся местам:

n = 5! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.

m=1

По классическому определению вероятности определяем искомую вероятность:

Ответ:

Вероятность того, что гардеробщица каждому лицу выдаст его собственную шляпу равна примерно 0,000025.

Задание 9.

В первой урне из N (16) шаров, M черного и (N-M) белого цвета, во второй из N1 шаров M1 черных и (N1-M1)белых шаров. Из каждой урны наудачу извлекается k шаров. Какова вероятность того, что вынуты:

а) 2 белых шара;

б) хотя бы один шар черный;

в) белый и черный в любой последовательности.

Решение:

Событие {А} – появление белого шара из 1-ой урны.

Событие {B} – появление белого шара из 2-ой урны.

При этом, {А} и {B} – независимые события.

Тогда:

а)Р(А)= 4/16=1/4=0,25

Р(B)= 7/10=0,7

Применим теорему умножения вероятностей:
Р(А) * Р(В)= 0,25*0,7=0,175

Р(АВ)=0,175

б) Пусть событие {С} – появление чёрного шара из 1-ой урны, а событие {D} – появление чёрного шара из 2-ой урны, тогда:

Р(С)=12 /16=0,75

Р(D)= 3/10=0,3

Вероятность появлениея хотя бы одного чёрного шара равна:

P=P(A)*P(D)+ P(C)*P(B)+P(C)*P(D)=0,25*0,3+0,75*0,7+0,75*0,3=0,825

в) Вероятность появления белого и чёрного шара равна:

P=P(A)*P(D)+P(B)*P(C)=0,25*0,3+0,7*0,75

Задание 10.

Из N работников, предприятия M имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных n человек высшее образование имеют; а) m человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:

а) Имеют три человека:

б)Имеет один человек:

в) Имеет хотя бы один человек:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов домашнего задания