4 часть (1081361), страница 16
Текст из файла (страница 16)
гл. 19, З 6). Если Х подчиняется закону Кэ(п), то ее плотность распределения вероятностей записывается в виде О, если х<О, 2п/2 1' ( ) 2 Случайная величина Х непрерывного типа подчиняется закону распределения Вейбулла с параметрами и й И, а й К, Ь > О, если ее плотность распределения вероятностей записывается в виде О, если х<а, — ехр —, если х > а. Распределение Вейбулла в ряде случаев характеризует срок службы ра- диоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксима- пии различных несимметричных распределений в математической ста- тистике.
18.310*. Случайная величина Х подчиняется распределению Вейбулла с параметрами п, а, Ь > О. Вычислить математическое ожидание и моду распределения. 18.308*. Случайная величина Х распределена по закону Г (а, Ь). Найти тх, Рх, ах, ех. 18.309*. Случайная величина Х распределена по закону Хт(4). Вычислить тх, Рх и )ьх. Критической точкой какого порядка является значение тх? з 2.
Случайные величины 71 Случайнан величина Х непрерывного типа имеет бета-распределение с параметрами а ) 0 и б < О, если ес плотность распределения вероятностей записывается в виде Г(.+б) . — „ ,. О 1»(х) = Г(а) Г(6) 0 в остальных случаях. Частным случаем бета-распределения при а = б = 1 является равномер- ное распределение на отрезке [О, 1].
18.311*. Случайная величина Х подчиняется бета-распределению с параметрами а > О и 6 > О. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 2. Распределения, связанные с повторными независимыми испытавиями. Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания. Последовательные испытания называютсн независимыми, если вероятность осуществленин любого исхода в и-м по счету испытании не зависит от реализадии исходов предыдущих испытаний. Простейшим классом повторных независимых испытаний является последова«пелькость иезависимььх испььтаний с двумл исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными веролтнос»плми «успеха» (р) и «неспеха» (1 — р = ь1) в каждом испытании (схема ионы«папий Бернулли).
аглядным примером таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей ть белых и тз черных шаров. Если Х вЂ” число появлений белых шаров в выборке из п (~ ть + тз шаров, то Р(Х=Ц=Рчв(р)=С«р" (1 — р)" ~, l«=0,1,...,п, (7) ть где р = — вероятность понвления белого шара при одном изть+тз влечении. Числа Р„ь.(р) интерпретируются как вероятности получить ровно 1« успехов в и независимых испытаниях с двумя исходами. Формула (7) называется формулой Бернулли, а соответствующее распределение случайной величины Х вЂ” бииомиальным распределением (или распределением Бернулли). Для краткости говорит, что Х распределено по закону В(п Р).
Основные характеристики биномиального распределения: г о — р 1 — брь1 т» =пр, о„=прьу, а» =, е» = ,/пру прь1 Гл. 18. Теория ве оятностей 72 Пример 3. Вероятности рождения мальчика и девочки в первом приближении можно считать равными О,б. Какова вероятность того, что среди 2п наудачу отобранных новорожденных будет хотя бы один мальчик (событие А~); число мальчиков и девочек одинакова (событие Аз); мальчиков будет больше, чем девочек (событие Аз)7 Получить числовые значения искомых вероятностей для 2п = 10; 2п = 100.
а Пусть Х вЂ” число мальчиков среди 2п новорожденных. Случайная величина Х подчиняется распределению В (2я, 1/2), т.е. согласно формуле (7) /1 зи Р (Х = й) = Ст~„( -), /с = О, 1, ..., 2я. Вероятность события А~ проше всего найти, перейдя к противополож- ному событию: 1х 2а Р(А~) = 1 — Р(А~) = 1 — Р(Х = О) = 1 — ~-) ь 2) Вероятность события Аз записывается непосредственно: 2я Р (А,) = Р (Х = и) = С,"„~-) Для подсчета вероятности события Аз заметим, что распределение Бернулли В (2я, 1/2) симметрично относительно значения х = я.
Действительно: для всех )с = 1, 2,..., п — 1. Кроме того, нетрудно проверить, что это значение является наиболее вероятным, т.е. Н = и (мода распределения). В силу симметрии распределения выполняется равенство Р(Х > я) = Р(Х < п) = — (1 — Р(Х = и)). 1 2 Таким образом, Р(Аз) = — 1 — С" ( -) . Найдем числовые зна- 2 ~ ~" ~2) ) чения полученных вероятностей. При 2я = 10 результат получается 3 2. Случайные величины непосредственно; ° «о Р(А«) = 1 ~2) ж 0,9990, , «о Р (Аг) = С«о ' ~ -) = 0,2461, Р (4з) = — (1 — Р (Аг)) и 0,3770.
1 «оо при 2я = 100 непосредственное вычисление величин ~ ~ и С»о Ы становится затруднительным. ~ «оо Для вычисления ~ -) применяем логарифмнроваине по основа- '«,2) ,, «оо 1 нию 10: ~-) = 10*, откуда х = 100)д — ж -30. Таким образам, ~,2) 2 Р(1) 1 10 зо »о 100! Для вычисления С»о = — применяем формулу Стирлинга для оо 50! 50 я! при больших значениях и: ьй ж /2юп и"е Тогда , «оо Р (Аг) = С~«оо ~ -) — 0,0798.
!«2) 5 ~/2з. Далее находим Р (Аз) = (1 — Р (Аг)) 0,4601 о. 1 2 18.312. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна р = 1/4. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятности событий: А = (ровно одно попадание), В = (ровно два попадания). 13.313 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (хотя бы одно попадание), Р = 1не менее трех попаданий). 13.314.
Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно, Вероятность для любой лампочки перегореть при повышении напряжения в сети равна 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети. Гл.18. Тео ия вероятностей 18.315. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность следующих событий: А = (сумма очков, равная 7, выпадет дважды), В = (сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере 1 раз). 18.318 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (каждый раз выпадет сумма очков, большая 7), Р = (ни разу не выпадет сумма очков, равная 12).
18.317. Проводится одно испытание с вероятностью успеха, равной р. Пусть Х вЂ” случайное число успехов в данном испытании (индикаторная случайная величина согласно определению из задачи 18.261). Описать закон распределения Х, вычислить гпх и Рх.
18.318. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 40-го размера, равна 0,4. В обувной отдел вошли трое покупателей. Пусть Х вЂ” число тех покупателей, которым потребовалась обувь 40-го размера. Вычислить Р (Х > 2). 18.319 (продолжение). Найти функцию распределения случайной величины Х из предыдущей задачи. 18.320.
В ячейку памяти ЭВМ записывается 8-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с равной вероятностью. Случайная величина Х вЂ” число единиц в записи двоичного числа. Найти вероятности событий: А = (Х = 4), В=(Х>4). 18.321. Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Случайные величины: Х вЂ” число семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек, У вЂ” число семей, имеющих двух мальчиков и двух девочек. Считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти М [Х] и М [1'). 18.322.
Два равносильных шахматиста договорились сыграть матч из 2п результативных партий. Ничьи не учитываются и считается, что каждый из участников может выиграть очередную партию с вероятностью О,б. Выигравшим матч считается тот, кто победит в большем числе партий. В каком матче больше шансов выиграть любому из участников: в д~атче из 8 результативных партий или из 12? 18.323. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми. 18.324.
Производится обстрел учебной цели из орудия. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р. Поражение пели может наступить при й попаданиях (й = 1, 2, ...) с веро- 3 2. Случайные величины 75 нтностью, равной 1 — 1" (О < 1 < 1). Вычислить вероятность поражения цели при и выстрелах, 18.325. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5 Ув всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь? 18.326.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
