4 часть (1081361), страница 15
Текст из файла (страница 15)
о 18.277. Пусть Х вЂ” С.В.Н.Т. с унимодальным законом распределения. Обозначим т~ ~= М ((Х вЂ” Их)~] (центральный момент втоРого поРЯдка относительно моды), т~э = М((Х вЂ” йх)э] (центральный момент второго порядка относительно медианы). Пусть, кроме того, д» ~ 5х. Показать, что для равенства этих моментов ох + нх необходимо и достаточно, чтобы тх = 2 В задачах 18.278 — 18.311 изучаются некоторые классические распределения дискретного и непрерывного типов.
18.278. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х вЂ” число белых шаров в выборке. Описать закон распределения. Полученное распределение относится к семейству гиоергеометрических. 18.279 (продолжение). Для случайной величины из предыдущей задачи найти щ„и Вх. 18.280. Для сборки прибора требуется 4 однотипных детали. Всего имеется 10 деталей, из которых только 6 доброкачественные.
Наудачу отбирают 5 деталей (одну деталь «про запасе). Найти вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора. Гл.18. Теория вероятностей 66 18.281. Производится тираж спортлото «6 из 45>. Некто купил одну карточку и заполнил ее. Какова вероятность того, что он правильно угадал Ь цифр (Ь = 6; 5)? Случайная величина Х непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [а, Ь] (при этом для краткости говорят: Х подчиняется закону >с (а, Ь)), если ее плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке: О, если хф [а, Ь], Ух (х) — 1 — если х е [а, Ь].
Ь вЂ” а Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке [а, Ь] (Х вЂ” координата поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (Х вЂ” ошибка округления). 18.282. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х вЂ” время ожидания автобуса на остановке— распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания. 18.283 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величины Х и вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 мин. 18.284. Случайная величина Х распределена по закону >Ч (а, Ь). Найти выражения для т„и о„через параметры распределения а и Ь. 18.285. Азимутальный лимб имеет цену делений один градус. Какова вероятность при считывании азимута угла сделать ошибку в пределах ж10 мин, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов? 18.286.
Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1г. При измерении массы химических Л компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднеквадратичного отклонения возможных ошибок определения Рис. 7 массы; б) будет заключена между зна- чениями ох и 2ох? 18.287.
Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале ( — а, а) (закон Симпсона), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид, изображенный на рис. 7. Э 2. Случайные величины 67 Написать выражение для 7»(х), вычислить функцию распределения вероятностей. 18.288 (продолжение). Для случайной величины, распредеденной по закону Симпсона, найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану и коэффициент эксцесса. Случайная величина Х называется распределенной по показательному (эксноненциальному) закону с параметром Л > 0 (при этом для краткости говорят: Х подчиняется закону Ех (Л)), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей задается формулой О, если х(0, .у.
(*) = Ле»* если х > О. Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, Х вЂ” время ожидания при техническом обслуживании или Х вЂ” длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и в теории надежности (например, Х вЂ” срок службы радиоэлектронной аппаратуры). 18.289. Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону с параметром Л. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 18.290 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение времени 1 = тя». Квантилью какого порядка для данного распределения является значение ти»7 18.291. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным 1о. Найти вероятности следующих событий: (ь з А = ~ — ( Х ( — ~о В = ~Х > 21о). ~2 2 18.292*.
Пусть Х вЂ” время безотказной работы радиоэлектронной аппаратуры. Примем, что вероятность выхода из строя аппаратуры в течение времени Ьх с точностью до величины о (Ьх) Равна ЛЬх (Л > 0) независимо от времени х, в течение которого аппаратура уже проработала до рассматриваемого интервала времени Ьх. Вычислить функцию распределения случайной величины Х. 18.293. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром Л. Вывести рекуррентную формулу, выражакяцую центральный момент (1+ 1)-го порядка через центральный момент Й-го порядка и математическое ожидание, и с ее помощью вычислить коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса показательного распределения.
68 Гл. 18. Теория вероятностей 18.294. Случайная величина Х распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей Рх (х) = б+ с агсь8 — при — оо < х < +оо. а Выбрать коэффициенты а, б и с таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа. 18.295 (продолжение). Вычислить плотность вероятности рас- пределения Коши. Существуют ли математическое ожидание и моменты более высокого порядка у данного распределения? 18.298 (продолжение).
Найти моду, медиану и квантиль ~р по- рядка р = 0,75 распределения Коши. 18.297. Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неиз- менных условиях случайная величина  — расстояние от точки попадания до центра мишени — подчиняется зикоку распределе- ния Рэлея с плотностью распределения вероятностей — е *~( ) при х>0, Л (х) = 0 при х <О, где о > 0 — параметр, характеризующий распределение. Постро- ить зскиз графика плотности вероятности уя(х), проверить усло- вие нормировки и вычислить характеристики тоя и Ря.
18.298 (продолжение). Для случайной величины В, распре- деленной по закону Рзлея, вычислить Ыя, бя и ая и выяснить взаимное расположение характеристик тя, Ия и Йя. 18.299. Скорость И молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, подчиняюшейся закону распределения Максвелла с плотностью распределения вероятностей 0 при х<0, Л(х) = )2 — Д~? х е з? пи х>0 где параметр распределения,З > 0 определяется температурой и массой молекул. Выразить среднее значение и наиболее вероят- ное значение скорости молекул, а также дисперсию распределения через физический параметр,З. 18.300.
Случайная величина Х подчиняется законй арксинрса с плотностью распределения вероятностей О, если (х! > а, Ух(х) = если (х! < а. Д2 х2 Найти функцию распределения и вычислить т„, зз„. 3 2. Случайные величины 1 8.301 1продолжение). Для случайной величины, распределенной по закону арксинуса, вычислить с)», Ь» н йо 75. 18.302. Случайная величина Х непрерывного типа распределена по закону Лапласа с параметрами т Е ьь' и сг > О, если ес пдотность распределения вероятностей задается формулой 1 ( (х — т~ь/21 У»1х) = — ехр — оо (х (+со. ьть/2 ~ и Выразить характеристики т» и а» через параметры распределения.
18.303. Случайная величина Х распределена по закону Лапласа с параметрами т = О, а > О. Построить функцию распрелеленин и вычислить вероятности рь = Р (~Х~ < йа) для к = 1, 2, 3. 18.304* (продолжение). Для случайной величины из предыдушей задачи вычислить характеристики а» и е». 18.305. Случайная величина Х подчиняется закону распределения Парето с параметрами а > 0 и хо > О, если она С. В. Н.
Т. и ее функция распределения вероятностей имеет вид О., если х ( хо »'»(х) = х а 1 — ( — ), если х > хо. Выяснить, при каких значениях параметра а для данного распределения существуют т» и Р» и вычислить их. 18.306 1продолжение). Вычислить для распределении Парето характеристики с1» и Й», а также квантиль 1р порядка р = 0,75. 18.307. В некоторых капиталистических странах действует закон о налогооблохьении, распространяемый на тех частных предпринимателей, годовой доход которых превосходит некоторый установленный законом уровень хо. Считая, что головой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, являетсн случайной величиной Х, распределенной по закону Парето с параметрами а = 4, хо = 1000, найти вероятности следующих событий: А = 1)ь» ~( Х < тл.), В = ~~Х вЂ” т»~ < о»).
Критической точкой какого порядка для данного распределения является математическое ожидание т»? Случайная величина Х имеет гамма-распределение с параметрами а > 0 и 5 > 0 (для краткости говорят: Х подчиняется закону Г 1а, 5)), если оиа непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вил; я 0 при х <О, ь — х 1е а' при х>0, Г (а) Гл. 18. Теория вероятностей 70 где Г(а) = 1' е ~д1 о (5) — еамма-фрнки я Эйлера. Рассмотренное ранее показательное распределение с параметром Л является частным случаем гамма-распределения с параметрами а = 1, Ь = Л > О. Другой частный случай гамма-распределения с параметрами а = = и/2 (и — натуральное число), Ь = 1/2 называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы (пишут Хэ(я)). Распределение ,"~э(п) играет большую роль в математической статистике (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
