Борохова Н.В., Ильин М.М., Тушева Г.М. - Колебания линейной системы с одной степенью свободы (1079949), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В состояниии равновесия стержни 1 и 2 образуют прямой угол, пружина 4 не напряжена. В начальный момент времени кривошипу 1 в положении равновесна была сообщена начальная скорость шц~ = О> 5 рад/с, чч Ъ Трением в шарнирах пренебречь, Решение. Составим дифференциальное уравнение движения си- Ъ стемы, используя уравнение Лагранжа П рода (1,2), выбрав в качестве обобщенной координаты 4(З) малый угол поворота 9г(1) кривошипа 1 вокруг вертикальной сои оз (рис, 2,2) с положительным направлением отсчета против хода часовой стрелки от его положения равновесия, когда ~рз = 45", В соответствии с наложенными связями в малой окрестности положения равновесия ~р~с = 9гго = 45', ,С 1 .Арг, СА=АРг=1, из=юг=91г=А" гдеж 1сов971+1сов9 г 21совср1 хв 2 вш91'9ы ас2 = 1,51соэ1ры 22~, — 0 5(э(, = ас22 = 1 51а(п2р2 ° Рр1 = -0,751Л. 1(2.
с2« = рг'2 = 0,5(сов2р1 Рр, = 0,25(Я, ((2 „2 = 21 Рр~(01752+ 0 252) 1 2Я2 „22 Кинетическая энергия системы Учитываем наличие силы вязкого трения Ва = -Ь,ба, где бв = 6,, Диссипатнвная функция Рэлея Е = -Ьд = - ' ) я оя = -5, 21 21, 2 1 ' -2, 2 2 2 2 ' ' 2 ь откуда в соответствии с (1,4) Т = Т("+Т(2) + Т(э), Т(П 1 2 1гп11',2 = —,УР,с21 — — — 2), 2 ""(2) — 2 = -гаго~ 1- -„7 ы2 1 л~~Р = 2тг 1 251 р + — †. 2)2 = 12 2. г ~р; = -птэо = — п2 21„2 Т(э) 2 В то|да Т = — — + -пт 1 (1п1 4 2 2 — — + -птг+ 2гпэ 1 (5, или в соответствии с (1,4) Т = -а42 где \ п22 4 Ы =~дИ .м, <2ц Обоб общепну1о силу Я представим в виде (1,3): а=а.+а.+Фа) Потенциальная эне г энергия системы определяется моментом Ма = = са ° Рр~ сил упругости пружины 4, деформация которой Рр» = 22р: с а П=П =,.„= 1М„ЬР, Г„„„,а „4 4„,~ Г ' 1 2 2 откуда в соответствии с (1.4) (2.2) с= 4с2 = 78,4 Н и/рад.
5 26а1 218Н с и ()(1) = = = Мо агар( = Яоэ(пр(, <2,4) 6А <М(1)1 М(2) 52р 52) 52р где Яс = Мо = 2, О Н м. <2,б) Дифференциальное уравнение движения системы (!.1) с учетом (2,1), (2.2), (2,3), (2.4) и (2.5) имеет внд 01544д+ 2,18д+ 78,427 = 2,0япб1, (2.6) няи в канонической форме (1.9) 2) + 2е4 + ю Ч = уо ы(п р( где Ь 2,18 = 2, 0 рад/с' аР = = 12,0 рад(с; 7,4 8 88 рад2'с (220 210 2 а 0,544 РСР- — Р 12~22 = !1 2 РФ . Имеем случай «малого сопротивления» а < «2, поэтому общее решение одноРоДного УРавнении 21«е(1) запишем в соответствии с (1 11); (( (1) = е '~(С1 сов«2~1+ Сг аш«212)1 Уо 3,68 — О, ОЗЗ рад; (2.8) 2г шг Следовательно, Частное решение уравнения (2.6), согласно (1.1б), д*(Х) = .О вш(рХ вЂ” 7), где 2ер 2 2 б у = агсгй — = агс18 = агсгй(0,222) = 0,22 рад.
а!з рг 12з бз Общее решенно уравнения (2.б) имеет вид 9(Х) = в '(Сг сов11,8Х+ Сзв)п11>ЗХ)+ +О, ОЗЗвш(ОХ вЂ” 0,22) рад, (2,9) Постоянные интегрирования С! и Сз определяем по формулам (1.21) для заданных начальных условий; прн Х = О ч(0) = Ос = 0' 9(0) = да = а!га = О, 5 рад/с; Сг = да + Й в)и у = О + О, ОЗЗ О, 218 =- О, 007 рад; 1 Сз= Ь+в!ус+/7(вв)п у — рсов7)) = г!!г 1 1 (О 5+2'0+0 033(2 0 218 — 6 0,976)) = 0 027 рад ! А = Сз+ Сз = О, 007з + О, 027з = О, 028 рад; Сг О, 007 ХЗ о = — = — ' = О, 259, а = О, 25 рад. Сз О 027 Записав общее решение (2.6) в амплитудной форме, получаем, что на интервале времени 0 < Х < Хг малые колебания системы происходят по закону д(Х) = 0,028е ~'в1п(11,8Х+ 0,25)+ +О, 033 вш(61 — О, 22) рад.
(2.10) Определим характерные параметры процесса; условный период Тг затухающих колебаний, постоянную времени то затухающих колебаний, логарифмический декремент Б колебаний, добротность Д системы, период Т„вынужденных колебаний. 1 0,53с; тс = — = О,бе; в ы 2я 5 = вТ! = 1,06, Д = — = 3; Т„= — = 1,046 с, 2в ' р Движение на первом интервале времени от начального возмущениядомоментавременн Х' = 4Т,+Зтс =- З,бсопределяетсявыражепием (2.10). Прн Х = Х'д(Х*) = О, 02 рад ц(Х*) = — О, 157 рад/с, что позволяет, вводя время Х1 = Х вЂ” Х', использовать на втором интервале движения решение в ниде (1.37), Константы интегрирования на втором интервале находим по формулам, аналоги шым (1.21), с заменой дс и дс на д(Х') и 9(Х*) и В па 2.0', (Х )+2/Эв) -у= О,ОЗбрадй (9(Х*) + .
9(Х*) + 2В(ввш'у — рсоа.у)) = — 0,04 рад, а!1 Х ) = е згг(0 035 сов 11, ЗХ! — О, 04 вш 11 ЗХ)+ , 0 066 в1п(6ХХ вЂ” О, 22) Рад. (2.11) 0,04рад, д(Х") = — 0,315рад/с, что позволяет, введя время Хз = Х1 — Х' и задавшись решением на третьем интервале времени Тогда Рвс. 3 4 23 в виде (1.41), определить константы интегрирования по формулам (1 44); Сгз = я(1*) = О, 041 рад; Сзз = — (д(1")+е д(Е*)) = -0 02 рад д($з) = е ж'(0,041соз11,бааз — 0,02в1п11>81з) рад (2,12) Иа рис, 2.3 представлен график с(1) на трех интервалах двиясения(0 <1< 31*), г езз мплитудно"частотная Л(я) и фазочаототная "у(я) характ ристихи системы (1.27), ( . ), (1,28), построенные по значениям, приведен- ным в таблице, изображены на рис. 2,4, ности имеетмаксимальноезначени $Ф~ р ю ~. 22 Пример 2,2, Силовое возбуждение вьпгуждениых колебаний.
Пара сил (рис.2.5) с моментом М(е) = Мсв1прс (Мс — — 10Н ° и, р = б рад/с) действует на каток 2, который может катиться по горизонтальной плоскости без скольжения, К нерастяя<имым нитям, переброшенным через невесомые блоки /3 н Е, прикреплены грузы 1 и 3 массы т1 и тз соответственно, Одна из нитей намотана на каток радиуса Л = О, 2 м, а другая — иа барабан радиуса г = Л/2.
Барабан и каток жестко связаны, их общая масса тз, а радиус инерции относительно общей оси симметрии Св равен /э, причем р = ь/Я г, т1 = Зт, тя —— т,тз = 2тит = О,8кг. Пружина 4 жесткости ся = 983, 128 Н/м связывает центр катка С и неподвижную плоскость. К грузу 1 прикреплен шток демпфера 5 с коэффициентом сопротивления бе = 21, 66 Н ° с/м.
В начальный момент времени $ = О центр катка С отклонили влево из положения, соответствующего положению равновесия системы, иа величину 0,02 м и сообщили ему скорость, равную 0,5 и/с и направленную вправо. Р~Ь'Рь = О, или Рис, з.з тогда или с учетом (2.15) с = с4 = 983,25 НЙ1 Диссипативная функция Гэлея 1 У= -яд 3 2 (2.14) откуда 65т гдеа= — = 8 125кг $ Ь Ьз 4874Н сlм 9 4 Нити не скользят по катку и барабану, а трением качения, трением в осях блоков.0 и.Е можно пренебречь. Реи~елие. Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя уравнение Лагранжа Н рода (1.2), выбрав в качестве обобщенной координаты д(1) отклонение центра катка 2 от положения статического равновесия системы (см.
рис, 2.5), Кинетическая энергия системы 2' — 2'1т) + 2~(з) с + )с ь~з 24 ) т ез где .В+г д) ес д) с~2= — ~ он=29, 2= |он= д, Тогда 2 =- ° — 'з 2 1 д 1 д + тпд + -птВг — + -2т 4дз = 4 2 2 4тз 2 1 (27+ 4+ 2+ 32) 1 85 (2.13) 2 4 24 или в соответствии с (1,4) Обобщенную силу Я представим в соответствии с (1.3) в виде Я =я.+я.+я(е). Учтем, что изображенное на рис, 2.5 положение равновесия возможно лишь при статической деформации пружины Ььо которую определим из условия равновесия системы: -с4Ь,Вдд+ т1д(В+г)5р — тпзд2Вбд = О; (сггь1 4™? д — ""д - О, ОО25, (2 15) 2с4 Потенциальную энергию механической системы определим как работу сил потенциального силового поля, которую оии совершают при возвращении системы из произвояьного положения, определяемого обобщенной координатой д($), в начальное: 1 3 1 3 В+г, 2В П=-с4(6 +д) — — с4Ь~ — т1д — д+тпзд — д= 2 " 2 Ст В В 1 з ~ (Зт~ — 4пзз)д = -с49 + с4Ь,,— 2 1а з П= -с4д .
2 Следовательно, согласно (1,4) .з 1с -г 1 9 г ф=-ьд = — з Ььйь=-ьз-д', 2 2 2 4 9*(1) = /3 в(п(рг †.Г), где 11рн определении Я(1) учтем, что вариации б1р и бд связаны мелинду собой так же, как угловая скорость и скорость центра катка: б8р = — =— бд б8/ (2,18) Л 2т Частное решение уравнения (2,20) согласно (!.16) б.ЦМ(Ь)] =- М(Ь)б8р = — гйпрг б8/, Мс 2т и, следовательно, я(1) = бА(М(1)! = Мс — ьйп р! = Яо в)пр81 б9 2т где Мо 10 Цо= — = — =5ОН, (2,19) 2т 0,2 Дифференциальное уравнение движения системы (1, ! ) с учетом (2.14), (2, ! 6), (2,17) и (2,19) имеет вид 8 125//+ 48 748) -!- 983 1259 = 50 а)п 5! (2 20) или в канонической форме (1,9) д + 2кд + ш с =,/р а!и р$, Ь 48, 74, /с 983, 125 гдее = — = ' = 3,0рад/с; ы = 8/ — = 2а 2 8125 ' ' )!/а 8125 = 11,0 ркл/с; Яа 50 ./с = — = — = б, 15 м/сз.
а 8,125 (2.21) Имеем случай «малого сопротивления» к с ь8, поэтому общее решение однородного уравпения д,,,(г) запишем в соответствии с (1.11): цо.о(г) = е "(Сг совц8г1+ Сз а!пь8!Ц1 8 М = С8-Р= Г!1838'=18888 81. (ыз рз)з !. 4кзрз 6,15 — 0,0611 м; (222) Общее решение уравнения (2.20) имеет вид г/(1) = е зг(Сг сов10,581+ Сзв!п10,581)+ +О, 0611 в!в(5à — О, 3). (2,23) Постоянные интегрирования определяем по формулам (! 21) для заданных начальных условий; при $ = 0 у(О) = дс = О, 02 м; д(0) = до =.
-О, 5 м/с. д(ь) = 0,075е ща!п(101581+286)+0,0611а!п(51-013) м. (224) Определим характерные параметры процесса: условный период Тг затухающих колебаний, постоянную времени тд затухающих колебаний, логарифмический декремент б колебаний, добротность Д системы, период Т, вынужденных колебаний: 2ер 2 3 5 .у = агс!8 = агс!8 ь8з рз 1 !з 52 = его!8(0,312) = 0,3 рад. Имеем Сд = 0,038м, Сз = -0,064м, С» О, 038 ! = 0,075м, гз = агссб — = агссб — ' С вЂ” 0,064 = — О, 54+ зг = 2, 6 рад и запишем решение форме А =,/'(,";!+С7 = = агсьб(-0,594) = (220) в амплитудной 2>г 1 Т! = — = О, 594 с; то = — — — О, ЗЗЗ с; шг е ю 2к Б = кТ! = 1, 781; Д = — = 183; Т„= — = 1, 256 с, 2е ' " р Движение на интервале ат начального возмущения до момента времени й' = 4Т, + Зто = 6> 0267 с определяется выражением (2,24).
При й = й" д(й') =. О, 061 м, д(й') = — О, 0043 мй, чта позволяет, введя время !> = ! — !', использовать на втором интервале движения решение в виде (1.37), определяя постоянные интегрирования на втором интервале по формулам, аналогичным (1,21), с заменой >!с и ас иа >7(й*) и д(Е') и В на 2й: С1з = -0,0247 м; Сзз =- — 0,0626 м Рис З,6 и, следовательно, па втором интервале 0(!1) = — е з"(0,0247сов10 58$>+0,0626в(п10,584!)+ +О, 1222 в!п(5!! — О, 3) м, (2.25) В конце второго интервала при й! = й' = й — 2й' д(й*) = = — 0,122м, д(!') = -0,00868 м/с, что позволяет, введя время !з = Ф1 — !* и задавшись решением па третьем интервале времени в видо (!.41), определить константы интегрирования по формулам (144): С|з = — О, 1224 м; Сзз = — О, 0355 м, Тогда >7(йа) = — е ~"(0,1224соа10>58!в+ 0,0355з!п10,58йз) и, (2.26) На рнс, 2,б представлен график а(!) на трех интервалах времени (О < ! < 31*).
Амплитудна-частотная Л(л) и фазачастотная у(л) характеристики системы (!.27), (1.28), построенные по значениям, приведенным в таблице, даны на рис, 2 7. Рне 2.7 Поскольку Ы = 2е/(е =- 0,54 < т/2, то казффициентдинамичности Л имеет максимальное значение при коэффициенте расстрой*=*'=,/(-У72=0 923, (13с(А,„.„=1,Ос(„ Пример 2,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
