Борохова Н.В., Ильин М.М., Тушева Г.М. - Колебания линейной системы с одной степенью свободы (1079949)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ вм. Н,Э, БАУМАНА Падр д ЦкеВММ И ьин' 1746326 Борохова Н.В. ! Ь~гнФлииа т»» ъи~ н * возврдтитю книгу ия позже обозначенного здесь срока » й х е Ф ,ЕЖЕЕай с Е~ ы ' щфяяафя»» $~3ох даииаэФВИВ х Н.в. БОРОхова, М.М. Ильин, Г.М. ТУшева КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЫОСВОБОДЫ Мещодицеские указания к еыпо,нению д ашни задании но разделу щорса е Теоретическал механика» Москва Издательство МГТУ нн. Н.Э. Баумана ЮО5 КЛУ" ЕЕ.Б.3. 54УМАКА БЕБЛЕИЕКА УДК 534,01 ББК 22З12 Б83 18ВМ 5-7038-2600.4 УДК 584.08 ББК 22З12 18314 5-7058-2600-4 © МГТУ им Н Э Баумана,2005 РспснзентХ:А.
Тимофеев Барахова Н.В» Ильин 1И.М., Тутаева ЕМ. Б85 Колебания линейной системы с очной степе ью обод ; М н св беды: стодическне укгттаггия к ныполнению домаькнич заданий по разделу курса «Теоретическая механика» / Пол рсд. М.М. Иггзоггга. - Мл Издчю МГТУ им. НЛ. Баумана,2005,-52сс ил. П риаедены краткие сведения из теории. Рассмотрены четыре характерных примера выполнения домашних заданий.
Даны 52 варианта задач лля самостоятельного релзеииа по разделам «Малые колебания — определение параметров колебательного процесса». «Малые колебания — исследование ааебагельного процесса», Для студентов магпнностроитеггьггых сггецнальностей. Табл.5. Ил, 18. Библногр. 8 назв. УСЛОВИЯ ДОМАШНИХ З 8ДАНИй1 Рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Схемы механических систем приведены в подразделе 3. Они представляют собой плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов н упругих злементов.
Необходимые числовые данные представлены в табл. 3.1 и, где зто необходимо, на схемах задач. Для всех вариантов иа схемах задана обобщенная координата д(8), отсчитываемая от положения равновесна в невозмущенном состоянии, а в табл.3.1 — соответствующие ей начальные условия, На всех схемах номерами 1, 2 обозначены звенья, массу которых необходимо учитывать при составлении диффереициальногоуравнения, номером 3 — упругийэлемент, номером 4 — демпфер. Силы и моменты воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.
Демпфср создает силу линейно-вязкого сопротивления В = -гьб„, пропорциональную скорости движения поршня б„где Ь > 0 — коэффициент сопротивления демпфера. 'Так как в настоялгее время вышли из печати два учебника 11-21, написанные коллекгивамн преподавателей кафелры, тле использованы некоторые новые обозначения для физических величин, в приложении дается таблица соответствия между новыми н старыми обозначениями. Там, где это необходимо, на схемах вариантов указан радиус инерции звена относительно центральной оси, в остальных вариантах тела вращения следует принять за однородные сплошные цилиндры.
В вариантах 1, 2„3, 4, 9, 21, 27 (см. схемы в подразд. 3) характеристики упругих элементов заданы через их статические деформации О „, з (линейные илн угловые). Внешнее воздействие во всех вариантах изменяется во времени по закону 81п рг. При выполнении домашнего задания по разделу «Малые колебания — определение параметров колебательного процесса» необходимо: 1) составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы; 2) получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования; 3) определить период установившихся вынужденных колебаний Т, и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно- вязким сопротивлением (е с ы) дополнительно: Т~ — условный период затухающих колебаний; б — логарифмический декремент колебаний; тс — постоянную времени затухающих колебаний.
При выполнении домшпнего задания по разделу «Малые колебания — исследование колебательного процесса» предполагается, что по истечении времени 4 Т,+3/е = (4Т,+ 3 го) амплитуда внешнего воздействия увеличивается в два раза, а еиге через таюй же промежуток времени внешнее воздействие прекращается. Необходимо: 1) исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы; 2) весле ) сследовать процессы перехода от начального возмущенного состояния к установившимся вынужденным колебаниям, от установившихся вынужденных колебаний прн исходной амплитуде внешнего воздействия к установившимся колебаниям при удвоении амплитуды и от после оследних — к состоянию покоя после прекращения внешнего воздействия; 3) по нть а стро график фФ), включакнций все переходные процессы.
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 1.1. Дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы Дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы с одной степенью свободы имеет вид В (1.1) д = д(1) — обобщенная координата, отсчитываемая от положения устойчивого равновесия системы; а > Π— обобщенный инерционный коэффициент; Ь > Π— обобщенный коэффициент ! лииейно-вязкого сопротивления, с > Π— квазиупругнй изэффициент; фс) — обобщенная сила возмущающего воздействия, Уравнение (1,1) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффнциеитайи.
Оно получается линейным для малых колебаний потому, что прн выводе его полагают обобщенную координату е, скорость 4 и ускорение с малыми величинами первого порядка, а слагаемые более высоких порядков малости отбрасывают. При использовании уравнения Лагранжа П рада в выражениях кинетической и потенциальной энергий н диссипативной функции Рзлея удерживаются слагаемые второго порядка малости, поскольку при дифференцировании этих величин по обобщенной координате с или ее скорости с порядок малости понижается на единицу, Для системы с одной степенью свободы уравнение Лагранжа П рода имеет вид (1.2) где Т вЂ” кинетическая энергия системы; Я вЂ” обобщенная сила, ю- торая может быть представлена как где Я, — обобщенная сила от потенциальных сил, действующих на систему; она выражается через потенциальную энергию системы р®=р,>ш 1 «(1,>=«, >врг '(1)м „>в 1>>р = с«р1.
ПЙ) по формуле Яр = -дП/г1О; ߄— обобщенная диссипативная сила, получаемая от действия сил линейно-вязкого сопротивления, она выражается через диссипативную функцию Рэлея Ф(О) по формуле Яд — -Ыф/Щ В силу сделанных выше допущений о малости О(1) и 4(1) кинетическая энергия, потенциальная энергия и диссипативная функция Рэлея, вычисленные с точностью до величин второго порядка малости (при условии, что связи, наложенные на систему, стационариы), имеют аид 1 ,3 1 3 1 ,з 7= — а4; П= -сдз; ~1> = -Ьцз, 2 ' 2 ' 2 (1 4) В домашнем задании предполагается, что внешнее возмущение, действу>ошее на колебательную систему, изменяется во времени по гармоническому закону в1п ро, где р — частота возмущающего воздействия.
Используются три способа возбуждения колебаний, примеры которых представлены на рис. 1,1, Рие, 1.1 Силовое возбуждение. На систему действу>от извне сила или пара сил (момент). На рис. 1.1, а математический маятник, связанный с пружиной, находится под воздействием силы Г(1) (Р(й) = = Ро а1прт). В этом случае для получения Я(>) необходимо задать вариацию обобщенной координаты йр и, вычислив возможную работу только от Г(1), разделить ее на вариацию обобщенной координаты; РЮ1 сов о>бр> ф1) = - ' ' = РО1ашросОВЧ>. д~Р С учетом малости угла о> полагаем совр> = 1, тогда фр) = = Яов1прр, где Яа =Ро1 (1.б) Книематическое возбуждение, Вынужденные колебания возника>от а результате задаваемого извне дан>кения точки крепления пру>кипы (рис, 1.1„б) «(1) = «р гйпр1, не зависящего от параметров системы.
Пользуясь линейностью упругой характеристики пружины, можно считать, что при перемещении левого и правого концов пру>кипы возника>от как бы две независимые силы, прилакенные к маятнику, Одна из них, равная по величине с1О>, направлена влево, а другая, равная по величине св(1), — вправо, Первая сила входит в выражение для Я„, давая составляющую -с1оо>, а вторая учитывается аналогично предыдущему случа>о, давая Я(1): Я(1) = — = с«(1)1сов О>, с«(1)1сов О>йр 6» или, с учетом малости угла О>, имеем ф1) = 1 >о а1п рр, где Инерционное возбуждение. Маятник связан с подвижным основанием, перемещение которого, не зависящее от параметров системы, задается извне, причем ставится задача об исследовании относительных (по отношению к падви>кному основанию) колебаний маятника (рис 1 1 о) Сист истема координат, связанная с подвижным основанием, движется вместе с ним поступательно, прямолинейно, но неравномерно, Поэтому прн составлении дифференциального уравнения вынужденных относительных колебаний необходимо учитывать переносную силу инерции Ф, = -гпа„направленную против переносного ускорения й(1), Переносное ускорение считается санаправленным с з(Г).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
