Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция (1077816)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНАМетодические указанияЛ.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, А.В.Козырев, В.Г.Голубев, А.В.Купавцев.Электростатика. Магнитостатика.Электромагнитная индукция.Методические указания к выполнению домашнего заданияпо курсу «Общая физика».Издательство МГТУ им. Н.Э.БауманаАННОТАЦИЯна методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Общая физика» по темам: «Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция.» авторов Л.А.Лунёвой, С.Н.Тараненко, А.В.Козырева, В.Г.Голубева,А.В.Купавцева.В методических указаниях изложены методы решения задач по фундаментальным разделам курса общей физики.
В каждом разделе приведены необходимые краткие теоретические сведения, содержащие фундаментальные утвержденияв виде теорем или обобщений, а также разобраны решения типовых задач, где показывается, как, по мнению авторов, надо подходить к их решению.Методические указания предназначены для студентов второго курса третьего семестра обучения всех специальностей и будут полезны для углублённого изучения указанных разделов курса общей физики.Под редакцией д.т.н., проф. А.М. Макарова.21. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1.Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E вдиэлектрике.Поле вектора E в диэлектрике обладает замечательным и важным свойством:поток вектора E сквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраическойсумме зарядов (как сторонних q , так и связанных q ' ) , охватываемых этой поверхностью, делённой на ε 0 , т.е.
1'(E∫ , ds ) = (q + q ) ,(1.1)ε0Sгде вектор ds = n ds , n − нормаль к элементу поверхности ds , внешняя по отношению к объёму, охватываемому поверхностью S , а кружок у интеграла означает,что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S . Уравнение (1.1) ивыражает теорему Гаусса для вектора напряженности электростатического поляΕ в диэлектрике.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора напряженностиэлектростатического поля E в диэлектрике:div E =1ε0(ρ + ρ ' ) ,(1.2)где ρ и ρ ' − объёмные плотности сторонних и связанных зарядов в той точке, гдевычисляется div E . При использовании теорем (1.1) и (1.2) для вакуума следуетучесть, что в этом случае q ' = ∫ ρ ' dV = 0 и ρ ' = 0 .VТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P : поток вектора Pсквозь любую замкнутую поверхность S в диэлектрической среде равен взятому собратным знаком избыточному (может быть, суммарному) связанному заряду диэлектрика в объёме, охватываемом поверхностью интегрирования S , т.е.
∫ ( P, ds ) = − q .'S3(1.3)Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поляризованности среды P :div P = − ρ ' .(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системахкоординат приведено в приложении, расположенном в конце методических указаний.Если выразить заряд q ' через поток вектора P по формуле (1.3) и подставить его вуравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду: ((εE∫ 0 + P), ds ) = q .SВеличину, стоящую под интегралом во внутренних скобках, обозначают буквойD и называют вектором электрического смещения или просто вектором D . Такимобразом, построен вектор D : D = ε 0 E + P,(1.5)поток которого через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннего заряда q, находящегося в объёме, ограниченном поверхностью интегрирования S .Теорема Гаусса для вектора электрического смещения D : поток вектораD сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумместоронних зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.е.
(D∫ , ds ) = q.(1.6)sЗаметим, что свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора:во многих случаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1].Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора электрическогосмещения D :div D = ρ ,(1.7)т.е.
дивергенция поля вектора D равна объёмной плотности стороннего заряда втой же точке.4Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрикаP = ε 0ℵE ,(1.8)где ℵ − диэлектрическая восприимчивость вещества - скалярная величина, не зависящая от величины вектора напряжённости электрического поля. Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), получимD = ε 0 (1 + ℵ) E = ε 0εE.(1.9)Безразмерную величину ε = 1 + ℵ называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.1.2.Методические рекомендации к решениюзадач по теме «Электростатика».В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на обкладках конденсатора.Выбирая поверхность интегрирования в соответствии с видом симметрии каждойзадачи, по теореме Гаусса (1.6) находим вектор D в зависимости от пространственных координат, которые для каждого рассматриваемого случая могут бытьразличными: либо декартовы ( x, y, z ) , либо сферические (r ,θ , ϕ ) , либо цилиндрические (r , ϕ , z ) .
Ниже будем рассматривать сферически симметричный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственнойкоординаты – радиальной координаты r.Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектора напряжённостиэлектростатического поля E от радиальной координаты в диэлектрике:E (r ) =D(r ).ε 0ε (r )(1.10)Вектор поляризованности P связан с вектором напряжённости электростатического поля E соотношением (1.8), поэтомуP(r ) = ε 0 (ε (r ) − 1) E (r ) .5(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объёмной плотностью ρ ' , которая определяется из соотношения (1.4). Следует заметить, что объёмная плотность избыточных связанных зарядов внутриоднородного диэлектрика будет равна нулю, если внутри него отсутствует объёмная плотность сторонних электрических зарядов ( ρ = 0 ). В неоднородном диэлектрике ( gradε ≠ 0) к описанному условию необходимо добавить условие E = 0 [1].В нашем случае ρ = 0 , поэтому появление ρ ' обусловлено неоднородностьюдиэлектрика и наличием напряжённости электрического поля между обкладкамиконденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или награнице раздела диэлектрик – вакуум могут появляться также и поверхностныесвязанные заряды.
Связь между поляризованностью среды P и поверхностнойплотностью σ ' связанных зарядов на границе раздела диэлектриков имеет вид:P2 n − P1n = −σ ' ,(1.12)где P2 n и P1n - проекции вектора поляризованности P в диэлектриках 2 и 1 на общую нормаль n к границе раздела в данном месте (вектор n проводят из диэлектрика 1 в диэлектрик 2). Из соотношения (1.12) следует, что на границе разделадиэлектриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величинакоторого равна зависящей от свойств диэлектриков поверхностной плотности σ 'связанных зарядов. Если среда 2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ ' ( M ) = Pn ( M ) ,(1.13)где M − точка, находящаяся на поверхности диэлектрика, а Pn − проекция вектораP на нормаль n , внешнюю по отношению к занятой диэлектриком области.
Знакпроекции Pn определяет и знак поверхностной плотности σ ' связанного заряда вданной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q ' = ∫ ρ ' (V )dV + ∫ σ ' ( M )dS .VS6(1.14)В соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанный заряд,распределенный по объёму диэлектрика, второе слагаемое - суммарный связанный заряд, распределенный по всей поверхности рассматриваемого диэлектрика.Заметим, что значение q ' в (1.14) должно быть равно нулю. Этот факт используется для проверки полученных результатов.Для нахождения электроёмкости C конденсатора необходимо определитьразность потенциалов между обкладками:R0U = ϕ (R) − ϕ (R0 ) =∫(E , dr ) .RТогда по определениюC=q,U(1.15)где заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциал которой равенϕ (R) .
Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на поло-жительно заряженной обкладке.Замечание. Полученное значение электроёмкости C конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношениюCU 2= ∫ wdV ,2V(1.16) ( E , D)где w =− объёмная плотность энергии электростатического поля, V − объём,2в котором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.1.3. Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Электростатика».Задача.
Радиусы внешней и внутренней обкладок сферического конденсатора равны R0 и R соответственно. Заряд конденсатора равен q . Диэлектрическаяпроницаемость среды ε между обкладками изменяется по закону ε = f (r ), гдеr − расстояние от центра сфер(рис.1.1).7Рис.1.1Найти распределение модулей векторов электростатического поля: электрического смещения D , напряжённости E и поляризованности P в зависимостиот радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней σ 1' ивнешней σ 2 ' поверхностях диэлектрика, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ ' (r ) и электроёмкость C конденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Решение.
Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε (r ) = R0 n /( R0 n + R n − r n ) , n = 4 . (1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемости ε (r ) с учётом заданного соотношения R0 = 3R :ε (r ) =(3R) 481R 4=.(3R) 4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4(1.18)Расчёт характеристик электростатического поля начнём с определения вектора электрического смещения D (r ) между обкладками конденсатора.8Рис.1.2.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределён по внутренней обкладке.
Воспользуемся теоремой Гаусса (1.6): (D∫ , ds ) = q.SРассматриваемая задача обладает сферической симметрией, поэтому в качестве поверхности интегрирования S выбираем сферическую поверхность произвольного радиуса R < r < R0 с центром в начале координат, которая на рис.1.2 изображена пунктиром. Так как поле вектора D сферически симметрично, то в каждой точке поверхности S направление вектора D совпадает с направлением радиус-вектора r точки наблюдения (точка А на рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
