Лунева Л.А., Макаров А.М. - МУ к ДЗ по курсу Общей физики. Раздел Электромагнитные волны (1077807), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

неиспользуется комплекснаяформа записи):    E  Em  cos(  t  k  r  0 ),H  H m  cos(  t  k  r  0 ) .(15)Покажем, что вторая часть соотношения(14) справедлива.          1   1   k  E  k k  H  k k  (E 2 ) k  (H 2 )S  EH  EH  EH 222  02 0 2   0 2   0   0 E 2  0 H 2  k k 2kk      w     w  w   .     0  0  22  k kДля рассматриваемых явлений справедлива теорема Пойнтинга:    0 E 2  0 H 2   div S .t  22 Для установившегося гармонического волнового процесса средний повремени поток вектора Пойнтинга через замкнутую боковую поверхностьобъёма конечных размеров равняется мощности излучателя, находящегося вэтом объёме.Естественно, что выражения (13) и (14) явно зависят от координат точкинаблюдения и времени, что позволяет рассчитывать мгновенные значениярассматриваемых величин. Однако, на опыте мы имеем дело не смгновенным потоком энергии, а со средним его значением по времени.

Длякаждой точки пространства можно рассчитать средние по времени величиныи объёмной плотности электромагнитной энергии, и среднее значениевектора Пойнтинга, и среднее значение модуля вектора Пойнтинга.Математическое правило для этих операций имеет видT f 1 f (t )  d t .T 0(16)Обратимвнимание читателя на то обстоятельство, что для векторныхполей Е и Н принцип суперпозиции имеет место, а для "квадратичных"величин типа w или вектор Пойнтинга принцип суперпозиции не имеетместа.Пример решения задачи.Условие задачи.Плоская гармоническая электромагнитная волна, распространяющаясяв произвольном направлении в вакууме, имеет вид: E (r , t )  E m cos( t  k r ).Считая волновой вектор k и вектор амплитуды колебаний напряжённостиэлектрического поля волны Em известными и действительными величинами,что допустимо для однороднойизотропной среды безэффектовпоглощения, найти:6 1) вектор напряжённости магнитного поля H (r , t ) этой волны какфункцию времени t и радиус-вектора r точки наблюдения;2) объёмную плотность энергии w(r , t ) ;3) вектор Пойнтинга S ;4) средний вектор Пойнтинга S  ;5) среднее значение S  плотности потока энергии, переносимой этойволной;6) вектор плотности тока смещения jсм ;7) среднее за периодколебаний значение модуля плотности токасмещения  jсм  ;8) модуль импульсав единице объёма, переносимогоK едэлектромагнитной волной.РЕШЕНИЕ 1.

Найдём вектор напряжённости магнитного поля H (r , t )электромагнитной волны как функцию времени t и радиус-вектора rточки наблюдения. Представим векторы напряжённости электрического поля E (r , t ) и магнитного поля H (r , t ) плоской гармонической электромагнитной волны вкомплексной форме (соотношения 8): E ( r , t )  Em  e i (  t  k r ) , H ( r , t )  H m  e i ( t  k r ).Подставим соотношения (8) в третье уравнение системы уравненийМаксвелла (1) в дифференциальной форме, связывающее между собойизменение в пространстве и во времени электрического и магнитного полей(выражение закона электромагнитнойиндукцииФарадея):exгдеrotE xExeyezy zE y EzBHrotE   0,tt(17)- представление ротора векторного поля E вдекартовых координатах с помощью символического определителя третьего  порядка; ex , ey , ez - единичные орты осей Ox, Oy, Oz декартовой системыкоординат.При записи уравнения (17) учтено, что по условию задачиэлектромагнитная волна распространяется в вакууме и поэтому значениемагнитной проницаемости вещества  равно единице.

Для определенияrotE вычислим сначала производные вектора E по координатам x, y, z.7kПредварительно представимскалярное произведение волнового вектораи радиус-вектора r точки наблюдения в координатной форме:k  r  kx  x  k y  y  kz  zи теперь найдём необходимые производные:E  Em  (ik x )  ei ( t k r )  i k x E;xE (18) Em  (ik y )  ei ( t k r )  i k y E;yE  Em  (ik z )  ei ( t k r )  i k z E .zМожно заметить, что дифференцирование E по координате x эквивалентноумножению Eна множитель (ik x ) , адифференцирование E покоординатам y и z - умножению E на множители (ik y ) и (ik z )соответственно.

Запишем rotE с учётом соотношений (18):ex  rotE    E xExeyezexeyez  i k x k y k z   i k  E .y zEx E y EzE y EzHОпределим теперь производную:tH i H ,tподставим полученные соотношения дляrotEиHtв уравнениеМаксвелла (17) и в результатеполучим: i k  E  0 i  H .Эта зависимость позволяетзаписать выражение для вектора напряжённости магнитного поля H (r , t ) плоской гармонической электромагнитной волны: k  E . 1H (r , t ) (19)0Соотношение (19) показывает, в частности, что у электромагнитной волны ввакууме фазы колебаний электрического и магнитного полей совпадают.Используем в соотношении (19) для вектора E комплексную формузаписи (8) и возьмём действительную часть от обеих частей полученногоравенства: k  E  cos( t  k r ) . 1H (r , t ) m0Между волновым числомсоотношения:kи круговой частотой справедливы8kгде c 1 0 022c,- скорость света в вакууме, следовательно10 0 0 110 k c0 kk0.0Окончательно для вектора напряжённости магнитногоэлектромагнитной волны получаем следующую зависимость: 1H (r , t ) k0  k  Em cos(kct  k r ),0поля H (r , t )(20)изкоторой можно увидеть, что вектор напряжённостимагнитного поляH (r , t )перпендикулярен как волновому вектору k , так и вектору E .Кроме того, эта зависимость позволяет получить соотношение междуамплитудами колебаний электрической и магнитной компонентрассматриваемой электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме:Hm 1k0  01 0 k  Em k  Em sin(90 ) E .0k 00 m(21)2.

Найдём объёмную плотность энергии электромагнитного поляw(r , t ) .Объёмная плотность энергии электромагнитного поляw всоответствии с определением (13) для вакуума может быть рассчитана последующей зависимости:w  wE  wH 0 E220 H 22,(22)где первое слагаемое wE представляет собой объёмную плотность энергииэлектрического поля, а второе слагаемое wH – объёмную плотность энергиимагнитного поля. Используя соотношение между амплитудами колебанийвекторов напряжённостей электрического и магнитного полей (21), можнопоказать, что wE  wH .

Тогда соотношение (22) можно привести кследующему виду:w  2wE  2wH   0 E 2  0 H 2   0 0 E  H .(23)Заметим, что объёмная плотность энергии электромагнитной волныпредставляет собой функцию, зависящую от времени и координат точкинаблюдения и определяющую мгновенное значениеплотности энергии:w(r , t )   0 E 2   0 Em2 cos 2 ( t  k r )   0 Em2 cos 2 (k c t  k r ).(24)3. Найдём вектор Пойнтинга S - вектор плотности потока энергииэлектромагнитной волны.Плотность потока энергии S представляет собой вектор, численноравный энергии, переносимой волной за единицу времени через единичнуюплощадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

В9соответствиис зависимостью (14) для определения вектора Пойнтинга S  EHследует вычислить векторное произведение векторов E и H ,первый определён условием задачи, а второй – полученной зависимостью(19). Подставив (19) в (14), получим: 1Sk   0   1 0   E k E k (E  E)  E(E  k ) .0k 0(25)Здесь использована известная формула векторного анализа для двойноговекторного произведения:a  b  c  b (a  c)  c(a  b ),для запоминания которой часто используется выражение «бац минус цаб».Второеслагаемое в (25) в квадратных скобках равно нулю, т.к. векторы E иk взаимно перпендикулярны.

Следовательно k 0  20  20  2 SE E ek Em ek cos 2 ( t  k r ),k 000ekгде ek  e - единичный вектор, параллельный векторуk(26)k , т.е. ортнаправления распространения волны.S4. Найдём средний за период колебаний вектор Пойнтингаплоской гармонической электромагнитной волны, распространяющейсяв произвольном направлении в вакууме.Вектор Пойнтинга в рассматриваемой задаче определён зависимостью(26). Математическое правило для нахождения средних по временивеличинимеет вид (16). Следуя этому правилу, найдём среднее значение S  .TT1 1 S     S (t )  dt    0 Em2 ek  cos 2 ( t  k r )d t T 0T 0 00 2  1 TEm ek   cos 2 ( t  k r )d t .0Т 0SИз полученного выражения видно, что усреднение вектораза период2cos(tkr ).приводит к определению среднего значения за период функции1Покажем, что это значение равно 2 .TT11cos 2 ( t  k r )    cos 2 ( t  k r ) d t   (1  cos 2( t  k r )) dt.T 02T 0Видим, что последний интегра|л распадается на два интеграла, причёмзначение первого интеграла равно T, а значение второго интегралаобращается в нуль.

Покажем это, предварительнопроизведя заменупеременных во втором интеграле: z  2 t  2k r .Первообразной для этого интеграла является функция sin z , а с учётомсоотношения для z и после подстановки пределов интегрирования получим:10T11  (cos 2( t  k r ))d t sin( 2T  2k r )  sin(0  2k r ) .2T 04TСоотношение между периодом колебаний и круговой частотой имеет вид:T2 .

Заменяя период колебаний через круговую частоту в квадратныхскобках последнего выражения и раскладывая первый и второй синус поформуле синуса разности двух аргументовsin(   )  sin  cos   cos  sin  ,видим, что значение выражения в квадратных скобках равно нулю. ПоэтомуT11cos 2 ( t  k r )    cos 2 ( t  k r ) d t  .T 02ОкончательнодлясреднегозначениявектораS  получаем: 1 0 2 S  Em ek .2 0(27)5. Найдём среднее значение S  плотности потока энергии,переносимой рассматриваемой волной.Среднее за период колебаний значение плотности потока энергии всоответствии с правилом (16) может быть найдено следующим образом:T1 S     S (t ) d t ,T 0где S – модуль вектора Пойнтинга S . S  S  E  H  Em H m cos 2 ( t  k r )  sin 90 0 2Em cos 2 ( t  k r ) .0Тогда для значения S  получим:1  0 Em2 cos 2 ( t  k r ) d t T 0 0TS 0 2 1 T1 0 2Em   cos 2 ( t  k r )d t Em .0 T 02 0(28)S  - это есть средняя энергия, проходящая через единицу поверхности вединицу времени, или интенсивность волны.

Характеристики

Список файлов книги