Лунева Л.А., Макаров А.М. - МУ к ДЗ по курсу Общей физики. Раздел Электромагнитные волны (1077807)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Методические указанияЛ.А. Лунёва, А.М. МакаровДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.ТЕМА «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ».Под редакцией проф. О.С. Литвинова1ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.Одним из важнейших следствийсистемы уравнений классическойэлектродинамики, основателем которой был Дж. К. Максвелл, являетсяоткрытие явления распространения в пространстве электромагнитных волнкак формы существования электромагнитного поля.В неподвижной изотропной однородной непроводящей электрическийток среде систему уравнений Максвелла можно записать в следующейформе:div D   ;div B  0;Brot E  ;t D,rot H t(1)где D - векторное поле электрическогосмещения (вектор D ), B - векторноеполе магнитной индукции,векторное поле напряжённостиЕэлектрического поля, H - векторное поле напряжённости магнитного поля. Врассматриваемой среде имеют место материальные уравнения среды:D    0 E, B   0 H ,   const,   const.(2) - относительная диэлектрическая проницаемость среды,  Здесьотносительная магнитная проницаемость среды,  0 и  0 - электрическая имагнитная постоянные (система единиц СИ).Материальные уравнения среды (2) позволяют переписать системууравнений Максвелла в форме уравнений для напряжённостейэлектромагнитного поля:  0 div E   ; 0 div H  0;Hrot E    0;tErot H    0.t(3)Из системы уравнений (3) можно получить волновые уравнения длянапряжённостей электрического и магнитного полей.

Для выполнения этойцели проведём следующие выкладки.H2Erot rot E  grad div E   E   0 rot  0 rot H     0 0 2 ,ttt2E Hrot rot H  grad div H   H    0 rot   0 rot E     0 0 2 .ttt(4)(5)Ниже будет показано, что в рассматриваемом случае объёмная плотностьсторонних электрических зарядов  обращается в нуль, это обстоятельствоимеет следствием соотношения(6)div E  0,div H  0 .С учётом соотношений (6), очевидно,приходим к уравнениям длянапряжённостей электрического и магнитного полей, эти уравнения имеютканоническую форму, характерную для волновых уравнений, т.е. уравнений,описывающих процесс распространения волн той или иной физическойприроды:222E2E 2E 2  E   2  2 ;2t2xyz 22H2H 2H 2  H,   2 22 t2xyz21cг де2  2.   0 0 n(7)Здесь с - скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды,  скорость распространения волны.

Величину  можно представитьследующим образом:гдеc1 0 01 0 01c,есть скорость распространения электромагнитных волн при    1 , т. е. в вакууме. Если же электромагнитные волны распространяютсяне в вакууме, а в среде, то скорость их распространения изменяется по законуcn  , а длина волны при той же частоте становится другой, и в этом легкоубедиться на опыте.Одно из возможных решений волновых уравнений (7) - решение в формеплоских гармонических волн:  (8)E (r , t )  Em  ei ( t k r ) ,H (r , t )  H m  ei ( t k r ) ,Em и H m - амплитуды колебаний векторов напряжённостейгдеэлектрического и магнитного полей рассматриваемой волны, постоянныекомплексные (в частном случае – действительные) во всех точкахпространства; i   1 - мнимая единица; r - радиус-вектор точкинаблюдения с координатами x, y, z ;  2- круговая частота, определяемаяТk - волновой вектор, направление которогопериодом колебаний Т ;определяется направлением распространения волны, а модуль волновоговектора (волновое число) связан с длиной волны  соотношением k  2   ; - длина волны, определяющая её пространственный период колебаний, подкоторым понимается расстояние, проходимое волной за время, равное её21, где  - частота колебаний, единицей которой в СИ является герц (Гц).

Величину полн   t  k r  0 называют полнойпериоду колебаний Т (мгновенной) фазой колебаний волны. Заметим, что начальная фазаколебаний  0 , присутствующая в правой части соотношения для полнойфазы, в рассматриваемой задаче принята равной нулю. Особенностьюгармонической электромагнитной волны является зависимость её полнойфазы колебаний  полн от времени и положения точки наблюдения впространстве.3Фазовая скоростьзависимостью:гармоническойkTплоскойволны.определяется(9)Фазовая скорость волны является скоростью перемещения в пространстве стечением времени элементов поверхности волнового фронта, т.е.поверхности, в точках которой мгновенная фаза колебаний описываемойфизической величины является постоянной.

В зависимости от того, какуюформу имеет волновой фронт, говорят о плоских волнах (волновой фронтплоский), сферических, цилиндрических и т.д. Круговая частота  и волновойвектор k гармонической волны по определению являются постояннымивеличинами, они не зависят от координат точки наблюдения ирассматриваемого момента времени.Специфическая комплексная форма записи искомых зависимостей (8)очень удобна для выяснения общих свойств электромагнитных волн. Изуравнений (7) можно сделать заключение, что фазовые скоростираспространения "электрической" и "магнитной" волн одинаковы. Но этодалеко не исчерпывает всех свойств электромагнитных волн.

Врассматриваемой среде в безграничном пространстве плоские гармоническиеэлектромагнитные волны являются "поперечными" волнами, волны Е и Нне могут существовать по отдельности, их амплитуды связаны между собойкак по величине, так и по взаимной ориентации векторов Еm и Н m , амгновенные фазы колебаний этих волн должны быть одинаковы. Свойстварассматриваемых электромагнитных волн можно установить с помощьюисходных дифференциальных уравнений первого порядка - системыуравнений Максвелла (3).

Сущность этого явления состоит в том, что приповторном дифференцировании часть информации о решении исходнойсистемы уравнений теряется.Напомним полезные сведения из математики.ei  cos( )  i sin( ) ,div ( a)  ( grad  )  a   div a, rot ( a)  ( grad  )  a   rot a ,  grad (k  r )  k x  ex  k y  ey  k z  ez  k , k  const .В форме комплексного числа e i первое слагаемое cos( ) представляетсобой действительную часть, а второе слагаемое i sin( ) - мнимую частькомплексного числа.

Физический смысл по условию можно приписать либодействительной, либо мнимой части комплексных выражений (8).Система уравнений Максвелла (3), если использовать предполагаемуюформу решения (8) с учётом приведённых выше математическихсоотношений, принимает вид:    (r , t )i k  E (r , t )  ; 0   i k  E (r , t )  i   0 H (r , t );  i k  H (r , t )  0;   i k  H (r , t )  i    0 E (r , t ).(10)4Из второй строчки уравнений (10) следует:  k Ek H.H; E  0(11)  0.(12)В соответствии с выражениями (11) векторные величиныЕ и Н поотдельности перпендикулярны волновому вектору k и перпендикулярныдруг другу, в этом состоит свойство "поперечности" электромагнитных волн(заметим, что в волноводах конечных размеров это свойство может не иметьместа).Следуетобратитьвниманиенато,чторассматриваемыеволныE иН являются "синфазными", их мгновенные фазы колебаний совпадают.Результаты (11) не противоречат первой строчке соотношений (10), болеетого, обнаруживается, что в рассматриваемом случае объёмная плотностьсторонних электрических зарядов тождественно равна нулю (выше это былотолько предположением).Если выражение для вектора Н из соотношений (11) подставить ввыражение для вектора Е в тех же соотношениях, получаем дисперсионноеуравнение как условие нетривиальной совместности системы (11):      k k Ek (k  E )  E (k  k )E 22    0 0    0 0k2  E 2    0 0 2 k2   0 0Дисперсионное уравнение (12) должно обязательно быть выполненным,иначе было бы необходимо допустить в качестве единственной возможностиреализации рассматриваемогометода существование только тривиальногорешения E  0 и H  0 , что не представляет интереса.В соответствии с дисперсионным уравнением круговая частотаэлектромагнитной волны жёстко связана с длиной волны, эти параметрынельзя задать независимо друг от друга.

Фазовая скорость волны (9) врассматриваемом случае определяется только параметрами среды. Заметимтакже, что круговая частота гармонической электромагнитной волны поопределению в настоящей работе является действительной величиной, а всоответствии с дисперсионнымуравнением (12) волновое число k, а значити волновой вектор k , являются действительными величинами.В каждой точке пространства, в котором распространяетсяэлектромагнитная волна, можно рассчитать объёмную плотность энергииэлектромагнитного поля:wивекторплотности  0E22 0 H 2потока 2(13)энергиивекторПойнтинга:S  E  H  w  .(14)При вычислении плотности потока энергии электромагнитного поляследовало бы объёмную плотность энергии умножить на вектор групповойскорости волны, но в рассматриваемом случае среды без диссипации (среданепроводящая) конечные выражения для фазовой и групповой скоростейсовпадают.5В двух последних формулах предполагается, что электрическое имагнитное поле описываются действительными выражениями (т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги