Краткий курс лекций (1077551), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Φz α  =1− ,2 1−2 α. / 2−zαx−t22где Φ(x) = ∫ e dt - функция−∞стр. 3402.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.стандартногонормального распределения. По симметрии плотности нормального αα αраспределения Φ − z α  = . Так как γ = 1 − α = 1 − − = Φ z α  − Φ − z α  .2 2 1− 2  1− 2  1− 2  2β −βстремится к стандартномуТак как распределение случайной величины J =Dβ( )нормальномураспределению,β −βP − z α <<z α 1− 21−βD2то( )доверительный интервалβ−z1−( )Dβ <β <β+zα21−α =γ .Отсюдаполучаем( )Dβ .2Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения.Доверительный интервал для математического ожидания.Если ГС имеет нормальное распределение, то и любая выборка распределена нормально.Известно, что сумма нормальных случайных величин тоже распределена нормально.

Поэтомуоценка математического ожидания – выборочное среднее – нормально распределеннаяслучайная величина с M ( x ) = m, D( x ) =3) Поэтому,еслиσ известно,σ2n, σ - известно.D( x ) =тоσn,идоверительныйинтервалдляматематического ожидания строится так:σσс доверительной вероятностью γ = 1 − α . Квантили проще1−nn2всего искать по таблицам квантилей нормального распределения.x−m(вместо σ подставлена4) Если σ неизвестно, то нормированная случайная величинаsx−z1−α≤m≤x+zα2nего оценка s) уже не распределена нормально.

Она имеет распределение Стъюдента с n-1степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительнойвероятности γ определяют α = 1 − γ , по таблице квантилей определяют квантиль t α1−уровня1−α2. Затемпо той жематематического ожидания x − tсхемеsстроят доверительный≤ m ≤ x +tинтервал2дляs.1−nn2Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормальногораспределения.1−αα2Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ .Пусть m, σ неизвестны.

Можно показать, что тогда случайная величинаs 2 (n − 1)σ2имеетχ 2 распределение с (n – 1) степенями свободы. По доверительной вероятности γ определяютстр. 3502.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.α = 1 − γ , по таблице квантилей χ распределения с n – 1 степенями свободы определяютααи 1 - : χ α2 , χ 2 α . Имеет место соотношениеквантили уровней22221−2(n − 1)s < χ 2  = 1 − α = γ .P χ α2 <α1− σ22  2среднеквадратического отклонения(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2 .222χ1−αχα22СтроимдоверительныйинтервалдляОбъяснение причин, по которым параметры распределены по Стъюденту или χ 2 ,требуют более глубокого рассмотрения материала.

Но для догадки можно использовать дваизвестных результата:- если x1, …xn распределены нормально, то x12 + ... + x n2 имеет распределение χ 2 с nстепенями свободы- если x распределена нормально, а y по χ 2 с n степенями свободы, то случайнаяxраспределена по Стъюденту.величинаyстр. 3602.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.СодержаниеЛекция 1. Вероятность1Лекция 2. Условная вероятность8Лекция 3. Случайные величины12Лекция 4.

Повторные испытания16Лекция 5. Экспоненциальное и нормальное распределения19Лекция 6. Двумерные случайные величины22Лекция 7. Законы больших чисел и центральная предельная теорема27Лекция 8. Элементы математической статистики32стр. 3702.11.2005.

Характеристики

Список файлов лекций