Краткий курс лекций (1077551), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.2) M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретномслучае и из под интеграла в непрерывном случае.3) M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).4) M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формуламnM ( f ( X )) = ∑ f ( xi )pi для дискретной случайной величины,i =1M ( f ( X )) =+∞∫ f (x ) p(x )dx для непрерывной случайной величины.−∞0Центрированной случайной величиной называется x = x − m x = x − M ( X ) .Центральный момент s-го порядкаn0Для дискретной случайной величины µ s = ∑ ( x) is pi .i =1+∞00ss∫ ( x) p(x )dx .

µ s = M (( x) )Для непрерывной случайной величины µ s =−∞Дисперсиейназываетсявторойцентральныймоментслучайнойвеличины.0D x = D( X ) = M (( x) 2 ) = M (( x − m x ) 2 )Посвойствамматематическогоожиданияполучим22222D x = M ( X ) − 2(m x ) + (m x ) = M ( X ) − (m x ) . Эта формула часто применяется. Дисперсия –это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения(графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой осирасположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальныхточек относительно центра тяжести mx.nДля дискретных случайных величин D x = ∑ ( xi − m x ) 2 pi .i =1Для непрерывных случайных величин D x =+∞∫ (x − mx) 2 p( x)dx .−∞Свойства дисперсии.1) D x ≥ 0 (под интегралом стоит квадрат функции).2) DC = 0 ( mC = C ) .3) DCx = C 2 D x (выведите сами, вынося C 2 из под суммы или из под интеграла).Средним квадратическим отклонением называется σ ( x) = D x .Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрииsk =µ3,σ3эксцесс–мераостровершинностираспределенияEx =µ4−3,σ4среднее0арифметическое отклонение M (| x |) , мода – наиболее вероятное значение для дискретныхвеличин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me –абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делитсяпополам (точка, в которой F(x) = ½).Пример.

Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X –количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая двазначения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим рядраспределения Хстр. 1502.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиxipi0qДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.1p0, − ∞ < x ≤ 0Функция распределения равна F ( x ) = q, 0 < x ≤ 1 ,1 1 < x < +∞Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту жетаблицу (так как 02 = 0 и 12 =1).

Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формулеD(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p иравна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b].Из условия нормировки для плотности вероятности следуетb1- плотность равномерного1 = ∫ pdx = p (b − a ) . Отсюда следует, что p =b−aaраспределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке[a,b], равна0, x ≤ axx − aF ( x) = ∫ p( x)dx = a < x ≤ b . Вычислим математическое ожидание и дисперсию−∞b − a1 x > bвеличины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].bx1 x2 b b2 − a2 a + b,mx = ∫dx ===b−ab − a 2 a 2(b − a )2a2bb 2(a + b) a +b Dx = ∫  x − p dx = p∫  x − (a + b)x +2 4aa()2b3 − a3 (a + b) b 2 − a 2 (a + b) (b − a)dx = p()=−+324 a 2 + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 −+=32414a 2 + 4ab + 4b 2 − 6a 2 − 12ab − 6b 2 + 3a 2 + 6ab + 3b 2 =122(b − a)1 22=b − 2ab + a =1212()()Лекция 4Повторные испытания.Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один изN исходов.

Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, тотакие испытания называются независимыми.Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка ит.д.Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) илименяются от испытания к испытанию (ситуация В).Рассмотрим ситуацию А.стр. 1602.11.2005Основы теор. вер. и матем.

статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемойБернулли.Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданиюв мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промахаравна q = 1 – p.

Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). P (0, n) = q n , таккак в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равнаP(1, n ) = npq n −1 , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле.P(2, n ) = C n2 p 2 q n −2 ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборкибез возвращения) среди n выстрелов. АналогичноP(m, n ) = Pn (m ) = C nm p m q n − m - формула Бернулли.Само распределение Pn (m ) = C nm p m q n −m называют биномиальным.В самом деле, это – коэффициенты при z m в разложении по степеням znпроизводящей функции ϕ (z ) = (q + pz ) .Из формулы Бернулли вытекают два следствия:1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равнаP(m1 ≤ m ≤ m2 ) =m2∑Cm = m1mnp m q n−m ,2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна(m1 = 1, m2 = n )nP(m ≥ 1) = ∑ C nm p m q n − m = 1 − C n0 p 0 q n = 1 − q n .m =1Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…pN .

Вычислимвероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит mi раз (m1 + ... + m N = n )P(m1 .....m N , n ) = C nm1 C nm−2m1 ... C nm−Nm1 − m2 −...− mN −1 p m1 p m2 ...p mN .Заметим,C nm1 C nm−2m1 ... C nm−Nm1 −m2 −...− mN −1(n − m1 −...− m N −1 )!n!...==m1!(n − m1 )! m2 !(n − m1 − m2 )! m N !(n − m1 −...m N )!n!m1!m2 !...m N !так как n = m1 +...+ m N .Поэтомучто(n − m1 )!P(m1 .....m N , n ) =n!p m1 p m2 ...p mN .m1!m2 !...m N !Это–.полиномиальноераспределение.Заметим, что P(m1 ,...m N ,n ) - это коэффициенты при z1m1 ...z NmN в разложении по степенямz1...z n производящей функции ϕ ( z1...z N ) = (z1 p1 +...+ z N p N ) .Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номераиспытания, так как условия испытаний различны.

P(m1 ,...m N ,n ) - это коэффициенты приnz1m1 ...z NmN вразложениипостепенямz1...z nпроизводящейфункцииnϕ ( z1...z N ) = ∏ ( z1 p1i +...+ z N p Ni ) при N исходах.i =1При двух исходах P(m,n ) - это коэффициент при z m в разложении производящейфункцииnϕ ( z ) = ∏ (qi + pi z ) , где qi + pi = 1, i = 1, n .i =1стр. 1702.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Примеры.1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одноготуза?32581 8а) P(3,5) = C 53     , б) R(1,5) = 1 − P(0,5) = 1 −   .99 92) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто.

Вероятностьпопасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Каковавероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку4 раза?10!(0,1)2 (0,7 )4 (0,2)4P(2,4,4, 10) =2! 4! 4!3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишеньравна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьемвыстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?ϕ ( z ) = (0,5 + 0,5 z )(0,6 + 0,4 z )(0,7 + 0,3z ) = 0,21 + 0,44 z + 0,29 z 2 + 0,06 z 3 .Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.Распределения, связанные с повторными испытаниями.Геометрическое распределение.Рассмотрим схему Бернулли.

Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, есливероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0.Следовательно, P( X = 0 ) = p . Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, топо теореме умножения P( X = 1) = qp . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-огонеудачны и P( X = n ) = q n p . Составим ряд распределения случайной величины Хn012……X2nppqp……q pq pСлучайная величина с такимраспределение.Проверим условие нормировкирядомp + qp + q 2 p +...+ q n p + ... = p (1 + q + q 2 +...) =распределенияимеетгеометрическоеpp= = 1.1− q pГипергеометрическое распределение.Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей ипохожую на ситуацию А с N исходами.

Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1элементов первого типа, n2 – второго типа и т.д., nN – N-ого типа. Какова вероятность, выбрав mэлементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 – из второй и т.д. mN - изN-ой?Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремыумножения:C nm11 C nm22 ...C nmNNP (m1 , m2 ,...m N ,n ) =.C nmВ частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)C m1 C m − m1P(m1 , n ) = m mn − mCnФормула Пуассона и распределение Пуассона.стр.

1802.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и λ = np мало. Тогда вероятностьнаступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формулеПуассона:λmP(m, n ) ≈e −λ .m!Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало,приняв λ = nq.Случайная величина с рядом распределения m, P(m, n ) ≈λme −λ имеет распределениеm!Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее.

Для грубых расчетов формулуприменяют при n =10, λ = 0 – 2, при n = 100 λ = 0 – 3. При инженерных расчетах формулуприменяют при n = 20, λ = 0 – 3, n =100, λ = 0 – 7. При точных расчетах формулу применяютпри n = 100, λ = 0 – 7, n =1000, λ = 0 – 15.Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющейраспределение Пуассона.∞M (X ) = ∑ mm =0λm∞m!e −λ = λe −λ ∑m =1∞M ( X ( X − 1)) = ∑ m(m − 1)m =0M ( X ( X − 1)) = M (X2( ))λmλm −1(m − 1)!∞= λe − λ ∑λkk =0∞e −λ = λ2 ∑λm−2k!= λe − λ e λ = λ ,e −λ = λ2m!m = 2 (m − 2 )!2− M ( X ) = λ , M X 2 = λ2 + λ ,( )D( X ) = M X 2 − (M ( X )) = λ2 + λ − λ2 = λ2Лекция 5Экспоненциальное и нормальное распределения.Экспоненциальное распределение.Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ееплотность распределения задается формулойx<00,, λ > 0 - параметр экспоненциального распределения.p ( x ) =  −λxλe , x ≥ 0Дляслучайнойвеличины,имеющейэкспоненциальноераспределение,0,0<x11M ( X ) = , D( X ) = 2 , F ( x ) = .− λxλλ1 − e , x ≥ 0Если времена между последовательными наступлениями некоторого события –независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром λ , то числонаступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром λt .Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциальногораспределения.Нормальное распределение (распределение Гаусса).Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределенанормально или по Гауссу), если ее плотность имеет видp(x ) =1σ 2π− ( x − a )2e2σ 2.Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайнойвеличины.стр.

Характеристики

Список файлов лекций