Задачи 1-6 вариант 9 (1077414), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Логарифмическая функция правдоподобия:
.
Найдем первую производную по λ: 
.
Приравняв её нулю, найдем критическую точку: 
.
Найдем вторую производную по λ: 
.
Вторая производная везде отрицательна, следовательно, 
- точка максимума и она принимается в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестного параметра λ.
.
3) Метод квантилей.
Найдем медиану (квантиль 0,5) выборки.
Упорядочим выборку по возрастанию:
46.41, 49.17, 70.8, 74.87, 107.14, 197.73, 292.84, 468.23
Медиана выборки 
.
Теоретический квантиль 0,5 находится из условия 
.
Функция распределения экспоненциального распределения: 
.
Оценку параметра находим, приравняв теоретическую и выборочную медиану: 
Задача 4.
Пусть определяется величина H с помощью измерительного прибора. Среднеквадратичное отклонение погрешности измерения 0 равно 10 мм. По результатам измерений получена следующая выборка:
428.9 мм, 419.5 мм, 423.3 мм, 425.7 мм, 424.5 мм, 411.3 мм.
Считая, что H ~ N(, 0), определить доверительный интервал для параметра с уровнем доверия 0.9.
Решение:
Доверительный интервал для оценки параметра 
нормально распределенной случайной величины с известным среднеквадратическим отклонением 
имеет вид 
, 
- квантиль нормального распределения.
Объем выборки 
.
Выборочная средняя:
.
По заданному уровню доверия 
определяем 
.
По таблице квантилей нормального распределения квантиль порядка: 
.
.
C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале 
.
Задача 5.
Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:
417.3 МПа, 433.2 МПа, 428.3 МПа, 428.3 МПа, 432.1 МПа, 411.3 МПа.
Установить доверительные интервалы для и с уровнем значимости 0.1.
Решение:
Объем выборки .
Выборочная средняя:
.
Выборочная дисперсия: 
.
Исправленное среднеквадратическое отклонение: 
.
1) Доверительный интервал для параметра случайной величины, распределённой по нормальному закону с неизвестным среднеквадратическим отклонением, имеет вид 
.
- квантиль распределения Стьюдента с 
степенями свободы порядка 
.
По таблице, 
.
C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале 
2) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения 
случайной величины 
, распределённой по нормальному закону, имеет вид
.
По таблице найдем квантили распределения 
с степенями свободы:
.
.
.
C вероятностью 0,9 параметр 
находится в интервале 
.
Задача 6.
Данные измерения величины y в зависимости от факторов m, b и s представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Значения y в зависимости от m, b и s
| № опыта | m, кг | b, Hc/м | s, H/м | y, H |
| 1 | 5 | 1 | 1 | 30.26 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 20.91 |
| 3 | 5 | 5 | 1 | 64.6 |
| 4 | 1 | 5 | 1 | 57.73 |
| 5 | 5 | 1 | 3 | 52.71 |
| 6 | 1 | 1 | 3 | 44.07 |
| 7 | 5 | 5 | 3 | 88.66 |
| 8 | 1 | 5 | 3 | 80.07 |
Таблица 2
Данные специальной серии опытов по измерению величины y
| № опыта | m, кг | b, Hc/м | s, H/м | y, H |
| 1 | 3 | 3 | 2 | 56.07 |
| 2 | 3 | 3 | 2 | 55.82 |
| 3 | 3 | 3 | 2 | 55.39 |
| 4 | 3 | 3 | 2 | 54.77 |
| 5 | 3 | 3 | 2 | 53.94 |
| 6 | 3 | 3 | 2 | 56.63 |
| 7 | 3 | 3 | 2 | 54.26 |
| 8 | 3 | 3 | 2 | 55.78 |
Используя данные из этих таблиц, найти экспериментальную зависимость y(m, b, s). В качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида
y(m, b, s) = 01 + 1 m + 2 b + 3 s + e,
где 0, 1, 2, 3 — коэффициенты регрессии; 1, m, b, s — базисные функции (F0 = 1, F1 = m, F2 = b, F3 = s); e — случайная величина.
Решение:
Чтобы получить точечные оценки параметров регрессионной модели (*) , используем данные табл. 1 и составим матрицы X и Y:
где хij – значение j-того фактора в i-том опыте, уi – значение отклика в i-том опыте. Численные значения всех базисных функций представим в матричной форме:
где fij – значение j-й базисной функции Fj в i-том опыте.
Чтобы определить точечные оценки b0 ,b1 ,b2 ,b3 коэффициентов регрессии, применим метод наименьших квадратов (МНК). Для этого найдём:
И по известной формуле получаем матрицу искомых точечных оценок (b0,.., b3):
Кроме точечных оценок коэффициентов βi необходима оценка дисперсии σe2 случайной величины е.
Так как вид адекватной модели заранее не известен, то по известной формуле, используя данные специальной серии опытов (при фиксированных значениях факторов), найдём (при n=N=8):
где уi – значение отклика в i-том опыте, причём эти значения не используются для получения точечных оценок коэффициентов регрессии.
Затем проведём статистический анализ, состоящий из проверки значимости коэффициентов регрессии, проверки адекватности и работоспособности регрессионной модели.
При проверке значимости коэффициентов регрессионной модели выясним, обусловлено ли отличие bi от нуля чисто случайными обстоятельствами или же это отличие неслучайно и вызвано тем, что в теоретической регрессионной модели действительно присутствует соответствующий коэффициент регрессии. Проверка осуществляется путем вычисления статистик (t0,...,t3):
Если |ti| t* то соответствующий коэффициент регрессии полагаем незначимым и исключаем из регрессионной модели. Критическое значение t* равно значению t ,a/2 , которое является квантилем уровня 1-a/2 распределения Стьюдента, число степеней свободы равно 7 и уровень значимости a соответствует 0,05, т.е.:
t* = t7, 0,025 = 2,37.
После проверки значимости всех коэффициентов регрессии получим регрессионную модель, содержащую только значимые коэффициенты регрессии β(0) , β(1) , β(2) , т.е. :
y(m, b, s) = (0) m + (1) b + (2) s + e ,
где m, b, s – базисные функции (F(0) = m, F(1) = b, F(2) = s).
Затем численные значения всех базисных функций представим в матричной форме:
где fij – значение j-й базисной функции F(j) в i-том опыте.
Точечные оценки b(0) , b(1) , b(2) значимых коэффициентов регрессии определяем аналогичным образом , т.е. :
Тогда уравнение регрессии имеет вид:
y = b(0)F(0) + b(1)F(1) + b(2)F(2) . (**)
Проверка адекватности регрессионной модели возможна, так как получена точечная оценка S2e = 0,855 дисперсии σ2е и выполнено условие d+1 = 3 < N = 8. (Здесь d –больший индекс коэффициента регрессии). Для такой проверки используется статистика F_:
где
и
и где у_i – значения, предсказанные с помощью регрессионного уравнения (**).
Критическое значение F* равно значению F1,2,a , которое является квантилем уровня 0,95 распределения Фишера, 1 = N – d – 1 = 5 и 2 = 7 – число степеней свободы S2e , т.е. :
F* = F5,7, 0,05 =3,97.
Так как F_ не превосходит критического значения F* , то модель адекватна. Следовательно, для регрессионной модели имеет смысл рассматривать вопрос о её работоспособности.
Чтобы получить представление о точностных свойствах регрессионной модели, вычислим по формуле:
где
, и где
Тогда
Найденное значение R2 расположено близко к 1, что свидетельствует о хорошей точности регрессионной модели.
Таким образом, искомая экспериментальная зависимость у от массы механизма m, коэффициента затухания b демпфера и жёсткости s пружины имеет вид:
y = 1,993*m + 8,847*b + 11,242*s.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
