Лекция 5 (1077344), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение матрицы Якоби в узловом методе

Для механической системы рис.8.1 составим нормальный граф, предварительно составив эквивалентную схему, рис.8.1 б (по аналогии с примером лекции 7).

ПП

Ввв

В качестве базового узла возьмем узел 4 (имеет наибольшее количество связей с другими узлами) и составим матрицу трансцеденций (сопряжений), с помощью которой будем кодировать вышеуказанный граф по следующим правилам:

каждому узлу графа (кроме базового) поставим с соответствие одну строку будущей матрицы, а каждому ребру- один столбец, (для столбцов введем буквенные обозначения: а, б, в, г и т.д.);

в столцах будем записывать « +1 » или « -1 » на пересечениях со строками по следующему правилу,- в столбце записывается (+1) на пересечении со строкой узла, к которому ребро, соответствующее данной строке, направлено, и (-1) ,- на пересечении со строкой узла, из которого направлено ребро. Остальные клетки матрицы будем считать нулевыми.

Напомним, что нормальное дерево графа – это такое фундаментальное дерево, в которое ребра включаются в следующей последовательности:

источники разности потенциалов типа Е, ребра типа С, ребра типа R, ребра типа L, источники переменной типа I. В соответствии с представленной на рис. 8.1б эквивалентной схемой, расположение ребер в графе отражает фактические связи в узлах 1,2,3 и 4.

В таблице 8.1 записана матричная форма нормального графа (для рассматриваемого примера).

Таблица 9.1 (Матрица трансцеденций)

С т р о к и ( ребра графа)

Узлы а б в г д е ж з и

1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0

2 +1 -1 -1 -1

3 +1 -1 -1 +1

Матрицу, описывающую нормальный граф (см табл.9.1), используем позже, в узловом методе составления топологических уравнений.

При составлении топологических уравнений используется так называемая

М-матрица, в которой используется вышеуказанный граф дерева.

При этом количество столбцов М-матрицы соответствует числу ветвей дерева, а количество строк – числу хорд.

Процедура формирования М-матрицы заключается в следующем: каждая хорда графа поочередно включается в дерево, при этом образуются замкнутые контуры; затем выполняется обход по каждому контуру в направлении, заданном направлением хорды и заполняется таблица (М-матрица) следующим образом: в строке матрицы, соответстввующей данной хорде, ставится «+ 1», если направление ветви дерева совпадает с направлением обхода контура, ставится «– 1», если направление ветви дерева противоположно, ставится «0», если ветвь не входит в данный контур. Для построенного на нормальном графе (см рис. 9.1) дереве, укажем хорды ( а , б , в , г , д … ) и соединим их ветвями ( 1 , 2 , 3 ). При подключении хорды «а» образуется контур из ветвей дерева 1 , 2.

, в столбцах матрицы, соответствующих ветвям и появится «– 1», в столбце, соответствующем ветви будет «+ 1», остальные столбцы содержат «0». Аналогично заполняются и другие строки М-матрицы. Образец составления М-матрицы приведен в таблице 9.2.

Топологические уравнения с использованием М-матрицы имеют вид:

МU_в.д. + U_х = 0 (9.1)

I_в.д + М^t I_х = 0 (9.2)

где U_в.д. , U_х - векторы переменных типа разностей потенциалов на ветвях дерева и хордах; I_в.д , I_х - векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд; М^t – транспонированная М –матрица.

Таблица 9.2 (М-матрица)

С т р о к и ( ребра графа)

Узлы а б в г д е ж з и

1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0

2 +1 -1 -1 -1

3 +1 -1 -1 +1

Если сравнить полученные уравнения с приведенными ранее (см пример составления топологических уравнений по эквивалентной схеме

в примере из лекции N7), легко усматривается аналогия с законами Киргофа.

Таким образом, уравнение (9.1) есть ни что иное, как уравнение второго закона Кирхгофа, записанное в матричной форме, а (9.2) – уравнение первого закона Кирхгофа для сечений дерева, отмеченных пунктирными линиями на рис.8.2.(в обозначениях примера лекции N7 под потенциалом U и потоком I для ММ механической системы указаны, соответственно, скорость V и сила F).

§ 9.2 Узловой метод получения математических моделей систем

В узловом методе в качестве вектора базисных координат используется вектор переменных типа узловых потенциалов, а топологические уравнения записываются в форме первого закона Кирхгофа в виде

I(φ) = 0 (8.3)

Где φ – вектор переменных типа потенциала, характеризующий состояние узла (скорости, температуры и т.п.); I – вектор переменных типа потока (силы, токи, расходы, тепловые потоки)

Топологические уравнения типа (8.3) могут быть получены с помощью вышеупомянутой матрицы инциденций А (см табл.9.1) в виде:

A I = 0 (8.3)

Топологические уравнения типа (9.3) выводятся из уравнений (8.1 и 8.2)

следующим образом. В эквивалентную схему обьекта вводятся фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым узлом (узел 4 на рис.8.2).

Проводимости фиктивных ветвей очевидно равны нулю, т. е. переменная типа I в этих ветвях равна нулю. В дерево включаются только фиктивные ветви.

Для нормального графа рис.8.2 (без учета ветвей, отмеченных пунктиром, sait была построена матрица инциденций А (см табл.8.1).

Для этого же графа на рис. 8.2 построено дерево, ветви которого отмечены пунктирными линиями, а в таблице 8.2 приведена соответствующая М-матрица.

Фиктивные ветви дерева указаны нарис.8.2 пунктиром. И имеют направление от небазового узла к базовому.

Сравнивая М-матрицу с матрицей инциденций А ( обе матрицы “привязаны” к примеру механической поступательной системы, см ее на рис.8.1),можно заметить, что если каждой фиктивной ветви поставить в соотвествие узел, из которого она выходит, то справедливо равенство

А = - М ^t , то есть А-матрица соответствует транспонированной М- матрице.

Преобразуем общие топологические уравнения (8.1 и 8.2)

от исходного вида

МU_в.д. + U_х = 0

I_в.д + М^t I_х = 0 .

Так как ветви дерева фиктивные, то I_в.д = 0 и из второго уравнения

получим

М ^t I = A I = O

где I – вектор переменных типа потока реальных ветвей.

Из уравнения (8.1) получим уравнение связи переменных типа потенциала φ

с переменными типа разности потенциалов U на реальных ветвях.

Так как U_в.д = φ , то получаем

М φ + U = 0 или А ^t φ - U = 0 (8.4)

Как уже было сказано выше, в узловом методе в вектор неизвестных включается вектор φ или U_в.д , и, кроме того, накладывается ограничение на вид компонентного уравнения: оно обязательно должно быть представлено в виде зависимости переменной типа потока от переменной типа потенциала, т.е.

I = I(φ), либо от времени.

.

Алгебраизованная и линеаризованная система уравнений, согласно (8.4), после перемножения матриц, приобретает вид

1 0 0 M U 0

0 1 -M^t 0 0 = 0

Y₃₁ 0 1 0 I K

0 0 0 1 φ 0

(8.5)

где У₃₁ - матрица частных производных компонентных уравнений по переменным типа разности потенциалов; К – вектор невязок компонентных уравнений.

Исключим из вектора неизвестных подвекторы U и I, для чего из первого уравнения уравнения системы (8.5) найдем U = -M φ. Подставим полученное выражение в третье уравнение системы (8.5), а полученный результат – во второе:

I = K + Y₃₁ M φ ; M^t K + M^t Y₃₁ M φ = 0, или последнее в виде:

Y φ = - M^t K, (8.6) – линеаризованная MMC

для узлового метода,

где Y = M^t Y₃₁ M -матрица Якоби, (или M^t Y₃₁ M = A Y₃₁ A^t ), алгоритм экономного вычисления которой будет рассмотрен ниже (см пример с электрической схемой);

M^t K - вектор сумм переменных типа потока в узлах схемы.

Матрица Y₃₁ при оговоренной структуре компонентных уравнений будет диагональной матрицей с размерностью, равной количеству ветвей (размерность – 5 см рис.8.1- граф ).

Характеристики

Список файлов лекций