Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Линейная регрессиях:= ( 01у:= ( 4.1232.4line (x , у) =56)Т4.33.6435.25.9)Тf2.829( 0.414f (t) := line (x, у) о + line (x, у) i • tЛистинг 15.8. Другая форма записи линейной регрессиих := ( 01у := { 4 . 1232.4i n t e r c e p t (x, у)s l o p e (х , у)f (t)4354.36 )Т3.65.25 . 9 )Т= 2.829= 0 . 414:= i n t e r c e p t ( х , у)+ s l o p e ( x , у) • tВ Mathcad имеется альтернативный алгоритм, реализующий не минимизацию суммы квадратов ошибок, а медиан-меди энную линейную регрессиюдля расчета коэффициентов а и ь (листинг 15.9).• medfit(x,y) — вектор из двух элементов (Ь,а) коэффициентов линейной медиан-медианной регрессии Ь+а-х;•х,у — векторы действительных данных одинакового размера.Листинг 15.9.
Построение линейной регрессиидвумя разными методами (продолжение листинга 15.7)medfit (x, у) =2.5170.55g (t) := medf it (x , у) о + medf it (x , у) i • tРазличие результатов среднеквадратичной и медиан-медианной регрессиииллюстрируется рис. 15.13.Глава 15. Обработка данных391Рис. 1 5 . 1 3 .
Линейная регрессия по методу наименьших квадратови методу медиан (листинги 15.7 и 15.9)15.2.2. Полиномиальная регрессияВ Mathcad реализована регрессия одним полиномом, отрезками несколькихполиномов, а также двумерная регрессия массива данных.Полиномиальная регрессияПолиномиальная регрессия означает приближение данных (х 1 ( у^ полиномом k-й степени A(x)=a+b-x+c-x2+d-x3+. . .+h-xk (рис. 15.14). При к=1 полином является прямой линией, при к=2 — параболой, при к=з — кубическойпараболой и т. д. Как правило, на практике применяются к<5.ПримечаниеДля построения регрессии полиномом к-й степени необходимо наличие покрайней мере ( k + i ) точек данных.В Mathcad полиномиальная регрессия осуществляется комбинацией встроенной функции regress и полиномиальной интерполяции (см. разд.
15.1.2).•regress(х,у,к) — вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии данных;D interp(s,x,y, t) — результат полиномиальной регрессии;•••s=regress(x,y,к);х — вектор действительных данных аргумента, элементы которогорасположены в порядке возрастания;у — вектор действительных данных значений того же размера;Часть III. Численные методы392к — степень полинома регрессии (целое положительное число);t — значение аргумента полинома регрессии.Внимание!Для построения полиномиальной регрессии после функции r e g r e s s Вы обязаны использовать функцию i n t e r p .Рис.
15.14. Регрессия полиномами разной степени(коллаж результатов листинга 15.10 для разных к)Пример полиномиальной регрессии квадратичной параболой приведен влистинге 15.10.! Листинг 15.10. Полиномиальная регрессиях := ( 0у:- (4.1122.43356)т4.33.645.2>5.9 )к:=2s := r e g r e s s (x , у , к)А ( t) : - i n t e r p ( s , х, у , t)Регрессия отрезками полиномовПомимо приближения массива данных одним полиномом имеется возможность осуществить регрессию сшивкой отрезков (точнее говоря, участков,т. к. они имеют криволинейную форму) нескольких полиномов.
Для этогоимеется встроенная функция loess, применение которой аналогично функции regress (ЛИСТИНГ 15.11 И рис. 15.15).jГлава 15. Обработка данных393О loess (x,у, span) — вектор коэффициентов для построения регрессииданных отрезками полиномов;Оi n t e r p ( s , x , y , t) — результат полиномиальной регрессии;••s=loess(x,y,span);х — вектор действительных данных аргумента, элементы которогорасположены в порядке возрастания;• у — вектор действительных данных значений того же размера;• span — параметр, определяющий размер отрезков полиномов (положительное число, хорошие результаты дает значение порядкаspan=0.75).Параметр span задает степень сглаженности данных. При больших значениях span регрессия практически не отличается от регрессии одним полиномом (например, span=2 дает почти тот же результат, что и приближениеточек параболой).Ш щ: <з< ": Листинг 15.11.
Регрессия отрезками полиномов6 )тх:=(Оу:={4.12.434.35.23.65.9s := l o e s s ( x , у , 0 . 9 )А (t) := i n t e r p ( s , x , y , t)СоветРегрессия одним полиномом эффективна, когда множество точек выглядит какполином, а регрессия отрезками полиномов оказывается полезной в противоположном случае.1i11i6 /5_A(t)oooО43о-О01111112345Gt,xРис. 15.15. Регрессия отрезками полиномов (листинг 15.11)394Часть III. Численные методыДвумерная полиномиальная регрессияПо аналогии с одномерной полиномиальной регрессией и двумерной интерполяцией (см. разд.
15.1.5) Mathcad позволяет приблизить множество точек z^jfx^Yj) поверхностью, которая определяется многомерной полиномиальной зависимостью. В качестве аргументов встроенных функций дляпостроения полиномиальной регрессии должны стоять в этом случае невекторы, а соответствующие матрицы.Пregress (x,z, k) — вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии данных;П loess (х, z, span) — вектор коэффициентов для построения регрессииданных отрезками полиномов;•i n t e r p ( s , x , z , v ) — скалярная функция, аппроксимирующая данныевыборки двумерного поля по координатам х и у кубическими сплайнами;•s — вектор вторых производных, созданный одной из сопутствующихфункций loess ИЛИ regress;• х — матрица размерности NX2, определяющая пары значений аргумента (столбцы соответствуют меткам х и у);• z — вектор действительных данных размерности N;• span — параметр, определяющий размер отрезков полиномов;• к — степень полинома регрессии (целое положительное число);• v — вектор из двух элементов, содержащий значения аргументов х иу, для которых вычисляется интерполяция.Внимание!Для построения регрессии не предполагается никакого предварительного упорядочивания данных (как, например, для двумерной интерполяции, котораятребует их представления в виде матрицы NXN).
В связи с этим данные представляются как вектор.Двумерная полиномиальная регрессия иллюстрируется листингом 15.12 ирис. 15.16. Сравните стиль представления данных для двумерной регрессиис представлением тех же данных для двумерной сплайн-интерполяции(см. листинг 15.6) и ее результаты с исходными данными (см. рис. 15.10) иих сплайн-интерполяцией (см. рис. 15.11).-Листинг 15.12. Двумерная полиномиальная регрессияО0000010 20 30 40 01111110 20 30 40 02222210 20 30 40 03333;,.
; ,,,:i:,;.310 20 3 0 40 04444410 20 30 40л ТГлава 15. Обработка данныхZ:=(l101.11.21233952 . 1 1 . 5 1 . 3 3 . 3 51.721.333 . 7 2 . 1 2 . 9 1 . 5 22.52.84!S := r e g r e s s ( X , Z , 3)к:=ЗОi :=О ..кj :=О ..^tj_ > j := i n t e r ps,x,z,кi^— - 4к— • 40кПримечаниеОбратите внимание на знаки транспонирования в листинге. Они применены длякорректного представления аргументов (например z в качестве вектора, а нестроки).Рис. 15.16.
Двумерная полиномиальная регрессия(листинг 15.12)15.2.3. Регрессия специального видаКроме рассмотренных, в Mathcad встроено еще несколько видов трехпараметрической регрессии. Их реализация несколько отличается от приведенных выше вариантов регрессии тем, что для них, помимо массива данных,требуется задать некоторые начальные значения коэффициентов а,ь,с.
Используйте соответствующий вид регрессии, если хорошо представляете себе,какой зависимостью описывается Ваш массив данных. Когда тип регрессииплохо отражает последовательность данных, то ее результат часто бываетнеудовлетворительным и даже сильно различающимся в зависимости от вы-396Часть III. Численные методыбора начальных значений.
Каждая из функций выдает вектор уточненныхпараметров а,ь,с.Оexpf i t (x,y,g) — регрессия экспонентой f {х) =a'ebx+c;Оi g s f i t ( x , y , g ) — регрессия логистической функцией f <х)=а/(1+1>е~сх);Пsinf i t (x,y,g) — регрессия синусоидой f (х) =a-sin (x+b) +c;Пpwfit(x,y,g) — регрессия степенной функцией f(x)=ax b +c;•logfit (x,y,g) —регрессиялогарифмическойфункциейf (x) -а-ln (х+Ь) +с;П infit(x,y} — регрессия двухпараметрической логарифмической функцией f (x}=a-ln(x)+b;•х — вектор действительных данных аргумента;• у — вектор действительных значений того же размера;• g — вектор из трех элементов, задающий начальные значения а , ь , с .(Примечание^Правильность выбора начальных значений можно оценить по результату регрессии — если функция, выданная Mathcad, хорошо приближает зависимостьу ( х ) , значит они были подобраны удачно.Пример расчета одного из видов трехпараметрической регрессии (экспоненциальной) приведен в листинге 15.13 и на рис.
15.17. В предпоследнейстроке листинга выведены в виде вектора вычисленные коэффициентыа,ь,с, а в последней строке через эти коэффициенты определена искомаяфункция f (х).Листинг 15.13. Экспоненциальная регрессиях:=(01у := ( 4.122.434356)Т4.33.61g :=С := expf it ( х , у , д),^0 .111 ЛС=0.5443.099f (t) :=CQ • exp(ci • t) + C25.25.9)ТГлава 15. Обработка данных397)ПримечаниеМногие задачи регрессии данных различными двухпара метрически ми зависимостями у (х) можно свести к более надежной, с вычислительной точки зрения,линейной регрессии. Делается это с помощью соответствующей замены переменных.1б1i11/ооо5-4>О——о—О3 --о01i111123456с,хРис. 15.17.
Экспоненциальная регрессия (листинг 15.13)15.2.4. Регрессия общего видаВ Mathcad можно осуществить регрессию в виде линейной комбинацииCif1<x)+c2f2(x) + . . . , где fi(x) — любые функции пользователя, a Ci — подлежащие определению коэффициенты. Кроме того, имеется путь проведения регрессии более общего вида, когда комбинацию функций и искомыхкоэффициентов задает сам пользователь.Приведем встроенные функции для регрессии общего вида и примеры ихиспользования (листинги 15.14 и 15.15), надеясь, что читатель при необходимости найдет более подробную информацию об этих специальных возможностях в справочной системе и Mathcad Resources.О U n f i t (x,y,F) — вектор параметров линейной комбинации функцийпользователя, осуществляющей регрессию данных;П genfit{x,y,g,G} — вектор параметров, реализующих регрессию данныхс помощью функций пользователя общего вида;•х — вектор действительных данных аргумента, элементы которогорасположены в порядке возрастания;• у — вектор действительных значений того же размера;• F(X) — пользовательская векторная функция скалярного аргумента;• g — вектор начальных значений параметров регрессии размерности N;Часть III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
