Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Математическая статистика351Математическое ожидание и дисперсия являются, по сути, параметрамираспределения. Плотность распределения для трех пар значений параметровпоказана на рис. 14.1. Напомним, что плотность распределения dnorm задаетвероятность попадания случайной величины х в малый интервал от х дох+Дх. Таким образом, например, для первого графика (сплошная линия)вероятность того, что случайная величина х примет значение в окрестностинуля, приблизительно в три раза больше, чем вероятность того, что онапримет значение в окрестности х=2. А значения случайной величины, большие 5 и меньшие -5, и вовсе маловероятны.1P\0 .4dnorm(x ,0 , 1)dnorm(x,2)dnorm(x,5 , 1)5;/1•10 .2/.••-л •\-5•'*••s00XРис.
14.1. ПЛОТНОСТЬ вероятности нормальных распределенийФункция распределения F(X) (cumulative probability) — это вероятность того,что случайная величина примет значение меньшее или равное х. Как следует из математического смысла, она является интегралом от плотности вероятности в пределах от -°° до х. Функции распределения для упомянутыхнормальных законов изображены на рис. 14.2. Функция, обратная F(X> (inverse cumulative probability), называемая еще квантилем распределения, позволяет по заданному аргументу р определить значение х, причем случайнаявеличина будет меньше или равна х с вероятностью р.ПримечаниеЗдесь и далее графики различных статистических функций, показанные на рисунках, получены с помощью Mathcad без каких-либо дополнительных выражений в рабочей области.Приведем несколько примеров, позволяющих почувствовать математический смысл рассмотренных функций на примере случайной величины х,распределенной по нормальному закону с ц=о и ст=1 (листинги 14.1 — 14.5).Часть III.
Численные методы3521131/V"!priori» (х , 0 , 1)pnorro(x , • , 2)5 /0.5pnorni (x , 5 , 1)J10Рис. 14.2. Нормальные функции распределенияЛистинг 14.1. Вероятность того, что х будет меньше 1.881pnorm(1.881,0,1)=0.97Листинг 14.2.97%-ный квантиль нормального распределенияq n o r m ( 0 . 9 7 , 0 , 1)- 1.881] Листинг 14.3.
Вероятность того, что х будет больше 2',1 - p n o r m (2 , 0 , 1) = 0 . 0 2 2 7 5Листинг 14.4. Вероятность того, что х будет находиться в интервале (2,3)pnorm1( 3 , 0 , 1 )—2 • erfI/3-pnorm- e r f l —=( 2 , 0 , 1 )- 0. 021= 0.021Листинг 14.5. Вероятность того, что |х | <2pnormerf( 2 , 0 , 1 )2-pnorm(-2,0,1)=0.954= 0.954Обратите внимание, что задачи двух последних листингов решаются двумяразными способами. Второй из них связан с еще одной встроенной функцией erf, называемой функцией ошибок (или интегралом вероятности, илифункцией Крампа).Глава 14. Математическая статистика•353erf (х) — функция ошибок;D erfc(x)si-er£(x).Математический смысл функции ошибок ясен из листинга 14.5.
Интегралвероятности имеет всего один аргумент, в отличии от функции нормальногораспределения. Исторически, последняя пересчитывалась через табулированный интеграл вероятности по формулам, приведенным в листинге !4.6для произвольных значений параметров ц и о (листинг 14.6).Листинг 14.6. Вероятность того, что х будет в интервале (2, з)ц := 5о := 2pnormU , М- - ст)-рпогт(2 , (Л , о) = 0.092f U f - L ^ - L erf= 0.092а-у/2)Если Вы имеете дело с моделированием методами Монте-Карло, то в качестве генератора случайных чисел с нормальным законом распределенияприменяйте встроенную функцию rnorm. В листинге 14.7 ее действие показано на примере создания двух векторов по м=500 элементов в каждом с независимыми псевдослучайными числами xi ± и х 2 ь распределенными согласно нормальному закону. О характере распределения случайныхэлементов векторов можно судить по рис.
14.3. В дальнейшем мы будемчасто сталкиваться с генерацией случайных чисел и расчетом их различныхсредних характеристик.I4x2+ 4-0-411ШRдарИii1Q-2 xl 24Рис. 14.3. Псевдослучайные числа с нормальнымзаконом распределения (листинг 14.7)Часть III. Численные методы354{ Листинг 14.7. Генерация двух векторов с нормальным законом распределения ]о := 1м := 500ц := Оx l := rnorm (м , ц , о)х2 := rnorm (м , ц , а)14.1.2. Равномерное распределениеСамое простое распределение случайной величины — это распределение спостоянной вероятностью.
Вероятность p=const=i/ (b-a) при хе (а,Ь) ир=о, для х вне интервала (a,b). Эту плотность вероятности, наряду с прочими статистическими характеристиками, задают следующие встроенныефункции:•dunif (x,a,b) — плотность вероятности равномерного распределения;•punif (x,a,b) — функция равномерного распределения;Пqunif (p,a,b) — квантиль равномерного распределения;•runif (м,а,Ь) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет равномерное распределение;•rnd (x) — случайное число, имеющее равномерную плотность распределения на интервале (0,х);• х — значение случайной величины;• р — значение вероятности;•(a,b) — интервал, на котором случайная величина распределена равномерно.11LZZ0.5b11il.i+^t ^ * $++ + + * +++i t * + ++++t + 1*"^ "^t•+•• + r00i0.5XIi1Рис.
14.4. Псевдослучайные числа с равномерным законом распределенияГлава 14. Математическая статистика355Чаще всего в несложных программах применяется последняя функция, которая приводит к генерации одного псевдослучайного числа. Наличие такойвстроенной функции в Mathcad — дань традиции, применяемой в большинстве сред программирования. Пример использования генератора вектораиз м случайных чисел показан на рис. 14.4, который получен заменой вдвух последних строках листинга 14.7 генератора нормальных чисел наrunif ш,о,1). Плотность вероятности и функция равномерного распределения показаны на рис. 14.5.1dun ifX,pumfx . 0 , 1))/0 , 1)/0 .5/001XР и с . 1 4 .
5 . Плотность вероятности и функция равномерного распределения14.1.3. Биномиальное распределениеПриведем встроенные функции, описывающие еще одно распределениеслучайной величины, которая, в отличие от двух предыдущих, является ненепрерывной, а может принимать лишь дискретные значения. Биномиальное распределение описывает последовательность независимых испытаний,каждое из которых может приводить к генерации определенного событияс постоянной вероятностью р.П dbinom(k,n,p) — плотность вероятности биномиального распределения(рис. 14.6);П pbinom(k,n,p) — функция биномиального распределения;О qbinom(p,n,p) — квантиль биномиального распределения;• rbinom{M,n,p) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет биномиальное распределение;• к — дискретное значение случайной величины;• р — значение вероятности;• п — параметр распределения (количество независимых испытаний);• р — параметр распределения (вероятность единичного случайного события).Часть III.
Численные методы356Примером биномиального распределения может служить n-кратное подбрасывание монеты. Вероятность выпадения орла или решки в каждом испытании равна р=о.5, а суммарное количество выпадений, например орла, задается биномиальной плотностью вероятности. Приведем простой пример:если монета подбрасывалась 50 раз, то наиболее вероятное количество выпадений орла, как видно по максимуму плотности вероятности на рис. 14.6,составляет 25. Вероятность того, что орел выпадет 25 раз, составляетdbinom(25, 50, о.
5}=о. 112, а, скажем, вероятность того, что 15 раз dbinora(15,50,0.5)-0.002.0.2d b i n o t n ( k , 10 , 0 . 5 )dfciinoin(Jc, 50 , 0 . 5 )JL0.1 -0!ill20Ih.40Рис. 1 4 . 6 . Плотность вероятности биномиального распределения14.1.4. Другие статистические распределенияКак легко заметить по рассмотренным трем распределениям, Mathcad имеетчетыре основные категории встроенных функций. Они различаются написанием их первой литеры, а оставшаяся часть имени функций (ниже в списке функций она условно обозначена звездочкой) идентифицирует тот илииной тип распределения.•d*{x,par) — плотность вероятности;П р* (х,раг) — функция распределения;• q*(P,par) —- квантиль распределения;•г* (м,раг) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которыхимеет соответствующее распределение;• х — значение случайной величины (аргумент функции);• р — значение вероятности;• par — список параметров распределения.Глава 14.
Математическая статистика357Чтобы получить функции, относящиеся, например, к равномерному распределению, вместо * надо поставить unif и ввести соответствующий списокпараметров par. Он будет состоять в данном случае из двух чисел а,ь — интервала распределения случайной величины.Перечислим все типы распределения, реализованные в Mathcad, вместе с ихпараметрами, на этот раз обозначив звездочкой * недостающую первую букву встроенных функций.
Некоторые из плотностей вероятности показанына рис. J4.7.0.2d l o g i s ( х , 1 0 , 2)d p o i s ( x , 20)Аd g a m m a ( x , 5)0.1_1ЛttI '11i 'j<* ' AJ */ \хii' /1I **0is3\l10\\•20Xll3DРис. 14.7. Плотность вероятности некоторых распределенийD *beta<x,si,s2> — бета-рас пределен и е (si,s2>o — параметры, о<х<1).•*binom(k,n,p) — биномиальное распределение (п — целый параметр,o<k<n и о<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).• *cauchy(x,i,s) — распределение Коши (1 — параметр разложения,s>o — параметр масштаба).2П *chisq(x,d) — % ("хи-квадрат") распределение (d>o — число степенейсвободы).• *ехр(х,г) — экспоненциальное распределение (г>о — показатель экспоненты).•*F(x,di,d2) — распределение Фишера (di,d2>o — числа степеней свободы).• *gamma{x,s) — гамма-распределение (s>o — параметр формы).П *geom(k,p) — геометрическое распределение (о<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).358Часть III.
Численные методыП*hypergeom(k,a,b,n) — гипергеометрическое распределение (а,ь,п —целые параметры).•*inorm(x,n,a) — логарифмически нормальное распределение (ц — натуральный логарифм математического ожидания, о>о — натуральныйлогарифм среднеквадратичного отклонения).П*iogis(х,1,s) — логистическое распределение (1-— математическоеожидание, s>o — параметр масштаба).П *nbinom(k,n,p) — отрицательное биномиальное распределение (п>о —целый параметр, о<р<1).•*погт(х,ц,о) — нормальное распределение (ц — среднее значение,а>0 —среднеквадратичное отклонение).•*pois{k,X) — распределение Пуассона (Я>о — параметр).•*t(x,d) — распределение Стьюдента (d>o — число степеней свободы).П*unif(x,a,b) — равномерное распределение (а<ь — границы интервала).П*weibuii(x,s) — распределение Вейбулла (s>o — параметр).Вставку рассмотренных статистических функций в программы удобно осуществлять с помощью диалогового окна Insert Function (Вставка функции).Для этого необходимо выполнить следующие действия:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
