Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 56
Текст из файла (страница 56)
13.16. График поверхностирешения уравнения Пуассона{листинг 13.6)Рис. 13.17. График линий уровнярешения уравнения Пуассона(листинг 13.6)Параметр численного алгоритма характеризует скорость сходимости итераций. Он должен быть числом от о до 1. В матрице граничных условий v не12 Зак 984344Часть III. Численные методыобходимо задать только граничные элементы, исходя из значения краевыхусловий по периметру расчетной области.
Прочие (внутренние) элементыэтой матрицы служат для задания начального приближения к решению.Суть алгоритма релаксации сводится к тому, что в ходе итераций происходит проверка уравнений и соответствующая коррекция значений искомойфункции в каждой точке. Если начальное приближение выбрано удачно, томожно надеяться, что алгоритм сойдется ("срелаксирует") к правильномурешению.Внимание!Все матрицы, задающие как коэффициенты разностной схемы a , b , c , d , e ,граничные условия v, так и само решение F, должны иметь одинаковый размер(м+1)х(м+1), соответствующий размеру расчетной области.
При этом целоечисло м обязательно должно быть степенью двойки: м=2".Решение уравнения Пуассона с тремя источниками разной интенсивностипри помощью функции relax приведено в листинге 13.7.Листинг 13.7. Решение уравнения Пуассона с помощью функции r e l a xМ := 32FM,M:= ОFl5,20:=10F25,10:=Si := 0 ..к := 0 ..МFlo , 1 0 : = ~ 5Мa i , к := 1Ь := ас := аd := aе := - 4 -аV i , k := ОG := r e l a x { а , b , с , d , е , -F , v , . 95 )Первые три строки имеют тот же смысл, что и в предыдущем листинге.Только вместо одного источника тепла взято их другое распределение —один сильный источник, один более слабый и один сток тепла. В следующих шести строках задаются коэффициенты разностной схемы.
Отложим ихобсуждение до последнего раздела этой главы, ограничившись утверждением, что для решения уравнения Пуассона коэффициенты должны быть взяты именно такими, как показано в листинге 13.7. В предпоследней строкезадана матрица нулевых граничных условий и нулевых начальных приближений, а в последней матрице G присваивается результат действия функцииГлава 13. Уравнения в частных производных345relax.
График полученного решения в виде линий уровня показан нарис. 13.18.Рис. 13.18. Решение уравнения Пуассонас помощью функции r e l a x (листинг 13.7)Разностная схема для решения уравнения ПуассонаНесмотря на отсутствие сведений в справочной системе Mathcad о решениидругих линейных дифференциальных уравнений в частных производных,кроме уравнения Пуассона, сделать это возможно с помощью той же функции relax (см. предыдущий разд.).
Для этого нужно правильным образомзадать коэффициенты разностной схемы.Начнем с пояснения выбора этих коэффициентов (см. листинг 13.7) дляуравненияПуассона.Согласноосновнымидеямметодасеток(см. разд. «Разностные схемы» этой главы), для дискретизации обеих пространственных производных в уравнении (12) следует использовать по трисоседних узла вдоль каждой из координат. Поэтому уравнение Пуассона(12) может быть записано в разностной форме при помощи шаблона типа"крест" (рис. 13.19). В этом случае после приведения подобных слагаемых вразностных уравнениях коэффициенты разностной схемы будут такими, какпоказано возле узлов шаблона на этом рисунке (аналогичные коэффициенты для явной и неявных схем решения уравнения теплопроводности см.
нарис. 13.6 и 13.11, соответственно).Теперь если Вы сравните полученные числа с константами, которые присвоены элементам матриц-аргументов функции relax (см. листинг 13.7), тоувидите, что они как раз и описывают вычисленные нами только что коэффициенты разностной схемы "крест". Таким образом, нетрудно сообразить,что с помощью встроенной функции relax можно решать и другие линейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые можноаппроксимировать схемой типа "крест" или схемой, являющейся ее состав-Часть HI, Численные методы346ной частью. Конечно, для того чтобы использовать эту встроенную функцию для другого уравнения, необходимо будет составить соответствующуюразностную схему.к+1к1[7Г^• -П7)к-1i-1i+1Р и с .
1 3 . 1 9 . Шаблон аппроксимации уравнения Пуассона "крест"Решение уравнения диффузии теплапри помощи функции relaxПриведем пример применения встроенной функции relax для решениядругого уравнения в частных производных (т. е. не уравнения Пуассона, длякоторого она изначально предназначена). Вычислим при помощи этойфункции решение уже хорошо нам знакомого однородного линейного уравнения теплопроводности (см. разд. 13.1.2). Будем использовать явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис.
13.6. Для того чтобы «приспособить» для явной схемы функцию relax, требуется только задать ееаргументы в соответствии с коэффициентами, показанными на шаблоне(см. тот же рис. 13.6). Программа, реализующая таким способом явную схему, представлена на листинге 13.8. Число Куранта в этом листинге обозначено переменной с, как и положено явной разностной схеме, она выдаетустойчивое решение только для с<1.Листинг 13.8.
Решение уравнения теплопроводностипри помощи функции r e l a xм:=16С:=0.9i := 0 .. МСi,k--2Сi,k-сА2> := Оk:=0..MГлава 13, Уравнения в частных производныхdi j k347:=l-C4 , к -— _-1Fi ,k:=Vi,k:=°0v 0 5 := 1G := r e l a x ( a , b , c , d , e , F , v , . 5 )Результат действия профаммы листинга 13.8 показан на рис. 13.20 в видетрехмерной поверхности. Если сравнить рис. 13.20 с рис. 13.4, полученнымпри расчетах по запрограммированной разностной схеме, то в графикахрис. 13.4 нетрудно узнать сечения этой поверхности плоскостями t=const.Еще раз подчеркнем, что использовать встроенную функцию можно толькодля тех уравнений, которые допускают построение разностной схемы типа«крест» (см.
рис. 13.16) или составного фрагмента этой схемы.Рис. 13.20. Решение уравнения теплопроводностис помощью функции r e l a x (листинг 13.8)В заключение разговора об уравнениях в частных производных, нельзя несказать несколько слов об их визуализации. Результат решения динамических уравнений (зависящих от времени t) выглядит намного эффектнее,если будет представлен в виде анимации. Для создания анимационных роликов расчетное время следует выразить через константу FRAME И затемприменить команду View / Animate (Вид / Анимация) (как об этом рассказано в разд. "Создание анимации"гл. 16).ГЛАВА 14МатематическаястатистикаMathcad имеет развитый аппарат работы с задачами математической статистики. С одной стороны, имеется большое количество встроенных специальных функций, позволяющих рассчитывать плотности вероятности и другие характеристики основных законов распределения случайных величин(см. разд.
14.1). Наряду с этим в Mathcad запрограммировано соответствующее количество генераторов псевдослучайных чисел для каждого законараспределения, что позволяет эффективно проводить моделирование методами Монте-Карло. Имеется возможность строить гистограммы и рассчитывать статистические характеристики выборок случайных чисел и случайныхпроцессов, таких, как средние, дисперсии, корреляции и т. п. (см.разд. 14.2). При этом случайные последовательности могут как создаватьсягенераторами случайных чисел, так и вводиться пользователем из файлов.В заключение главы рассматривается решение средствами Mathcad нескольких типичных примеров из области анализа случайных процессов (см.разд.
14.3) математической статистики (см. разд. 14.4).14.1. Случайные величиныДля моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами МонтеКарло. Их основная идея состоит в создании определенной последовательности случайных чисел, моделирующей тот или иной эффект, например,шум в физическом эксперименте, случайную динамику биржевых индексови т. п. Для этих целей в Mathcad имеется ряд встроенных функций, реализующих различные типы генераторов псевдослучайных чисел.Согласно определению, случайная величина принимает то или иное значение, но какое конкретно, зависит от случайных обстоятельств опыта и зара-350Часть III. Численные методынее точно предсказано быть не может.
Можно лишь говорить о вероятностир(хк) принятия случайной дискретной величиной того или иного значенияхк, или о вероятности попадания непрерывной случайной величины в тот илииной числовой интервал (х,х+Дх). Вероятность Р(Х К ) ИЛИ Р ( Х ) ( Д Х ) , соответственно, может принимать значения от о (такое значение случайной величины совершенно невероятно) до i (случайная величина заведомо приметзначение от х до х+Дх). Соотношение Р(Х К ) называют законом распределенияслучайной величины, а зависимость р(х) между возможными значенияминепрерывной случайной величины и вероятностями попадания в их окрестность называется ее плотностью вероятности (probability density).В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения.
Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, посути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либоспециальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения. Рассмотрим подробно возможностиMathcad на нескольких наиболее популярных законах распределения, а затем приведем перечень всех распределений, встроенных в Mathcad.14.1.1.
Нормальное (Гауссово) распределениеВ теории вероятности доказано, что сумма различных независимых случайных слагаемых (независимо от их закона распределения) оказывается случайной величиной, распределенной согласно нормальному закону (т. н.центральная предельная теорема). Поэтому нормальное распределение хорошо моделирует самый широкий круг явлений, для которых известно, что наних влияют несколько независимых случайных факторов.Перечислим встроенные функции, имеющиеся в Mathcad для описаниянормального распределения вероятностей:П dnorm(x,(^,cr) — плотность вероятности нормального распределения;• рпогш(х,(1,ст) — функция нормального распределения;П cnorm{x} — функция нормального распределения для ц=о,с=1;П qnorm(p,(j.,cf) — обратная функция нормального распределения;О rnorm(M,|i,<7) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет нормальное распределение;• х — значение случайной величины;• р — значение вероятности;• ц — математическое ожидание;• и — среднеквадратичное отклонение.Глава 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
