Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Установите курсор на место вставки функции в документе.2. Вызовите диалоговое окно Insert Function нажатием кнопки f(x) на стандартной панели инструментов или командой меню Insert / Function(Вставка / Функция), или нажатием клавиш <Ctrl>+<E>.Insert Functionlolation and Predicind ExponentialNumber Theory/CombiPiecewise Contni uousProbsbilstv Uens.ViProbability Distributionжри'-.:пвi-иpoeab-!va. • • у'stihebo'sП «л . и1:i.•1Рис. 14.8.
Диалоговое окно Insert FunctionГлава 14. Математическая статистика3593. В списке Function Category (Категория функции) (рис. 14.8) выберитеодну из категорий статистических функций. Категория Probability Density(Плотность вероятности) содержит встроенные функции для плотностивероятности, Probability Distribution (Функция распределения) — длявставки функций или квантилей распределения, Random Numbers (Случайные числа) — для вставки функции генерации случайных чисел.4.
В списке Function Name (Имя функции) выберите функцию, в зависимости от требующегося закона распределения. При выборе того или иногоэлемента списка в текстовых полях в нижней части окна будет появляться информация о назначении выбранной функции.5. Нажмите кнопку ОК для вставки функции в документ.14.2.СтатистическиехарактеристикиВ большинстве статистических расчетов Вы имеете дело либо со случайными данными, полученными в ходе какого-либо эксперимента (которые выводятся из файла или печатаются непосредственно в документе), либо с результатами генерации случайных чисел, рассмотренными в предыдущихразделах встроенными функциями, моделирующими то или иное явлениеметодом Монте-Карло.
Рассмотрим возможности Mathcad по оценке функций распределения и расчету числовых характеристик случайных данных.14.2.1. Построение гистограммГистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы областьзначений случайной величины (а,Ь) разбивается на некоторое количествоbin сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется нескольковстроенных функций.
Рассмотрим их, начиная с самой сложной по применению, чтобы лучше разобраться в возможностях каждой из функций.Гистограмма с произвольными сегментами разбиенияО h i s t ( i n t v l s , х ) — вектор частоты попадания данных в интервалыгистограммы;•intvls — вектор, элементы которого задают сегменты построениягистограммы в порядке возрастания a<intvisi<b;• х — вектор случайных данных.Если вектор intvls имеет bin элементов, то и результат h i s t имеет столькоже элементов.
Построение гистограммы иллюстрируется листингом 14.8 ирис. 14.9.360Часть III. Численные методыЛистинг 14.8. Построение гистограммыN:=1000bin:=3 0х := rnorm (N , 0 , 1)lower := floor (min {x) )upper := ceil (max (x) )upper - lower._hbinj := 0 .. binintj := lower + h • jf :=• 1 hist (int, x)N- hДля анализа взято N=IOOO данных с нормальным законом распределения,созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга).
Далееопределяются границы интервала (upper,lower), содержащего внутри себявсе случайные значения, и осуществляется его разбиение на количество(bin) одинаковых сегментов, начальные точки которых записываются ввектор i n t (предпоследняя строка листинга).Внимание!В векторе i n t можно задать произвольные границы сегментов разбиения так,чтобы они имели разную ширину.i n t :- i n t + —21i0.4fdnorm(int,G,1)i-4-2linn*.0intРис.
14.9. Построение гистограммы (листинг 14.8)Глава 14. Математическая статистика36/Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы, с тем чтобы она правильно аппроксимировалаплотность вероятности, также показанную на графике. Очень важно переопределение вектора int в самом верху рис. 14.9, которое необходимо дляперехода от левой границы каждого элементарного сегмента к его центру.Гистограмма с разбиением на равные сегментыЕсли нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной ширины, тоудобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции h i s t .П h i s t (bin, x) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы;• bin — количество сегментов построения гистограммы;• х — вектор случайных данных.Для того чтобы использовать этот вариант функции h i s t вместо предыдущего, достаточно заменить первый из ее аргументов в листинге 14.8 следующим образом:f :=1N- h-hist ( i n t , х)Недостаток упрощенной формы функции h i s t в том, что по-прежнему необходимо дополнительно определять вектор сегментов построения гистограммы.
От этого недостатка свободна появившаяся в Mathcad 2001 функция histogram.П histogram(bin,x) — матрица гистограммы размера binx2, состоящая изстолбца сегментов разбиения и столбца частоты попадания в них данных;• bin — количество сегментов построения гистограммы;• х — вектор случайных данных.Примеры использования функции histogram приведены в листинге 14.9 ирис. 14.10. Сравнение с предыдущим листингом подчеркивает простоту построения гистограммы этим способом (стоит отметить, что в листинге 14.9,в отличие от предыдущего, мы не нормировали гистограмму).Листинг 14.9.
Упрощенный вариант построения гистограммыN:=1000bin :=10х := rnorm {Ы , 0 , 1)f := histogram (bin , x)Часть III. Численные методы362Рис. 14.10. График и матрица гистограммы (листинг 14.9}Создание графика гистограммыДля того чтобы создать график в виде гистограммы:1.
Постройте двумерный график, задайте переменные по осям и пределыоси х (в примере из листинга 14.9 это числа lower и upper).2. Войдите в диалоговое окно Formatting Currently Selected Graph (Форматирование) выбранного графика (например, двойным щелчком мыши) иперейдите на вкладку Traces (Графики).(i300200ЙвЙШпе Currently Selected... НLegend Latiol -!!••trace 2nonetrace 3nonetrace 4noneirace 4n•o"n"eirace 6trace 1 |•-100-4-4•"11 '"..I--'• ".'••-£ •*RST .14 -• L-. .
.•i :*:/ L E Vu».--d o td a s hd a d o ts o l i dj .L-iJiшяшяblunes2"1gtnines1 J_Jmag ines1cyames1 tL-nnessolidba •J i 1 j dlines ££poinlsIerr«barstepdrewsiemРис. 14.11. Установка типа графика для построения гистограммыГлава 14. Математическая статистика3633. Установите для серии данных гистограммы в поле Туре (Тип) элементсписка bar (столбцы) или solidbar (гистограмма) (рис. 14.11).4. Нажмите кнопку ОК.На рис. 14.9 и 14.10 были применены установки графика bar (столбцы).В Mathcad 2001 появилась новая возможность построения гистограммы вболее привычном виде — закрашенными столбиками (solidbar).
Такой типграфика иллюстрируется рис. 14.11.14.2.2. Среднее значение и дисперсияВ Mathcad 11 имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик рядов случайных данных.d mean(x) — выборочное среднее значение;• median (x) — выборочная медиана (median) — значение аргумента, которое делит гистограмму плотности вероятностей на две равные части;О var{x) — выборочная дисперсия (variance);О stdev(x) — среднеквадратичное (или "стандартное") отклонение (standarddeviation);CJ max(x), min(x) — максимальное и минимальное значения выборки;О mode(x) — наиболее часто встречающееся значение выборки;О var{x) ,stdev(x> — выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение в другой нормировке;• х — вектор (или матрица) с выборкой случайных данных.Пример использования первых четырех функций приведен в листинге 14.10.i Листинг 14.10.
Расчет числовых характеристик случайного векторах := r w e i b u l l{1000 , 1 . 5 )N := l e n g t h ( x )m e a n (x)N = 1х 10= 0.917median (x)= 0.781v a r (x) = 0.402s t d e v (x) = 0 . 6 3 4hi := mean (х) + s t d e v (x)Vv a r< х ) = 0-634l o := m e a n ( x ) - s t d e v ( x )На рис. 14.12 приведена гистограмма выборки случайных чисел, распределенных согласно закону Вейбулла. Пунктирные вертикальные прямые, показанные на графике, рассчитаны в последней строке листинга и обознача-Часть III. Численные методы364ют стандартное отклонение от среднего значения.
Гистограмма полученас помощью листинга 14.8, рассмотренного в предыдущем разделе. Обратитевнимание, что поскольку распределение Вейбулла, в отличие, например, отГауссова, несимметричное, то медиана не совпадает со средним значением.Рис. 14.12. Гистограмма распределения Вейбулла (листинг 14.10)Определение статистических характеристик случайных величин приведенов листинге 14.11 на еще одном примере обработки выборки малого объема(по пяти данным).
В том же листинге иллюстрируется применение еще двухфункций, которые имеют смысл дисперсии и стандартного отклоненияв несколько другой нормировке. Сравнивая различные выражения, Вы безтруда освоите связь между встроенными функциями.Внимание!Осторожно относитесь к написанию первой литеры в этих функциях, особеннопри обработке малых выборок (листинг 14.11).Листинг 14.11. К определению статистических характеристикх := ( 5 214N := length (x)3 2 )N= 5N-1-•NУxi = 5.2i=0median (х) =3m := mean { хmode (x) =2m = 5.2max (x) =14min (x) = 2Глава 14. Математическая статистика365Ы-1— - > (Xi-тГ = 20.56i= 0var (x) =20.56var (х) =4.534Var (x) = 25.7stdev(x) -4.534Ыvar ( х) •= 25.7N-1Stdev (x) = 5 .07stdev (x) • /- 5.07V N-114.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
