Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

По своему названию уравнениядолжны содержать частные производные неизвестной функции и (ИЛИ нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам,например пространственной переменной х и времени t. Соответственно,для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных,например u(x,t) в некоторой области определения аргументов о < х < L Ио < t < т. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции на границах расчетной области о и L, а начальные — как заданная и (х, о).Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:• параболические — содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;•гиперболические - содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, входящие в уравнение с разными знаками;G эллиптические — содержащие только вторые производные, причем одного знака.Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать подприведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.13.1.2.

Пример: уравнение диффузии теплаНа протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примераочень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности.Глава 13. Уравнения в частных производных319Двумерное динамическое уравнениеРассмотрим следующее параболическое уравнение в частных производных,зависящее от трех переменных — двух пространственных х и у, а также отвремени t:&u(x,y, t) _ Jd'u(x,y,t) , (Tu(x,y,tM . „.. .. . ..,+ ф(х, у, t, u)Эх2ay3(1)ПримечаниеВыражение в скобках в правой части уравнения (сумму вторых пространственных производных функции и часто, ради краткости, обозначают при помощиоператора Лапласа: Ли).Это уравнение называется двумерным уравнением теплопроводности или, подругому, уравнением диффузии тепла.

Оно описывает динамику распределения температуры u(x,y,t) на плоской поверхности (например, на металлической пластине) в зависимости от времени (рис. 13.1). Физический смыслкоэффициента D, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры, заключается в задания скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция$(x,y,t,u) описывает приток тепла извне, т.е. источники тепла, которыетакже могут зависеть как и от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от времени и температуры и.Рис. 13.1. Физическая модель, описываемая двумернымуравнением теплопроводностиДля того чтобы правильно поставить краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности, следует определить следующие дополнительныеусловия:• граничные условия, т.

е. динамику функции u(x,y,t) и / или ее производных на границах расчетной области;•начальное условие, т. е. функцию u ( x , y , t ) .320(Часть III. Численные методыПримечаниеjЕсли рассматривается не одно уравнение в частных производных, а системауравнений, то соответствующие начальные и граничные условия должны бытьпоставлены для каждой из неизвестных функций.Стационарное двумерное уравнениеЧастный случай уравнения теплопроводности определяет стационарную,т.

е. не зависящую от времени задачу. Стационарное уравнение описываетфизическую картину распределения температуры по пластине, не изменяющуюся с течением времени. Такая картина может возникнуть при условии,что стационарный источник тепла действует довольно продолжительноевремя, и переходные процессы, вызванные его включением, прекратились.Пример численного решения такого уравнения показан на рис.

13.2 в видеповерхности и(х,у).Рис. 13.2. Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности(см. листинг 13.7 ниже)Как несложно сообразить, если искомая функция не зависит от времени, точастная производная по времени в левой части уравнения равна нулю, исамо уравнение можно переписать (переобозначив ради упрощенияследующим образом:3 J u(x, у)Эх2Э2и(х, у)= -ф(х, у, и)Полученное уравнение, согласно классификации предыдущего раздела, является эллиптическим.

Его называют уравнением Пуассона, а для его решения в Mathcad предусмотрены две встроенные функции. Если, к тому же,источники равны нулю, то уравнение (2), принимающее вид Ди=о? называютуравнением Лапласа.Глава 13. Уравнения в частных производных321Одномерное динамическое уравнениеПредположим, что мы рассматриваем задачу распределения тепла не поплоской поверхности, а по удлиненному телу типа металлического стержня(рис. 13.3). В этом случае зависимость от координаты у в общем уравнениитеплопроводности пропадает, и получается одномерное уравнение:Эи(х, t):„ Э и<х, t) .

.,_. ^ ..,t, и)2Эх(3)и(х)РИС. 13.3. Физическая модель одномерногоуравнения теплопроводностиОдномерное уравнение намного проще двумерного, поскольку объем вычислений для реализации алгоритма его численного решения не так велик.Типичное решение одномерного уравнения диффузии тепла с коэффициентом диффузии D=2, нулевым источником ф=о и начальным распределениемтемпературы в форме нагретой центральной области стержня показано (ввиде графика поверхности) на рис.

13.4.Начиная с новой версии Mathcad 11, для решения одномерных параболических и гиперболических уравнений можно применять новую встроеннуюФУНКЦИЮ pdesolve.Линейное и нелинейное уравненияЕсли присмотреться к уравнению диффузии тепла внимательнее, то можноусловно разделить практические случаи его использования на два типа.• Линейная задача — если коэффициент диффузии D не зависит от температуры и и, кроме того, если источник тепла ф либо также не зависит оти, либо зависит от и линейно. В этом случае неизвестная функцияu(x,t) и все ее производные входят в уравнение только в первой степени (линейно).О Нелинейная задача — если уравнение имеет нелинейную зависимость отu ( x , t ) , т. е. или коэффициент диффузии зависит от и, и / или источниктепла нелинейно зависит от и.322Часть ///.

Численные методыРис. 13.4. Решение одномерного уравнения теплопроводности(см. листинг 13.1 ниже)Решение линейных уравнений в частных производных, как правило, получаются вполне предсказуемыми и их часто можно получить аналитически(этим проблемам посвящены соответствующие главы науки, называемойматематической физикой). В случае уравнения теплопроводности линейнаязадача описывает физически ожидаемое решение, выражающее остываниепластины или стержня в форме перетекания тепла от нагретого центра кхолодной периферии.Нелинейные уравнения, напротив, могут демонстрировать самые неожиданные решения, причем в подавляющем большинстве практических задачих можно получить только численно, а никак не аналитически.ПримечаниеРазличные линейные и нелинейные варианты рассматриваемого уравнения теплопроводности описывают различные модели физических сред, которые характеризуются определенными зависимостями D ( U ) И ф(и).

В частности, дляметаллов в большинстве случаев можно считать, что D- C onst, в то время какдля плазмы имеется специфическая зависимость коэффициента диффузии оттемпературы.Обратное уравнение теплопроводностиЗамечательными свойствами обладает так называемое обратное уравнениедиффузии тепла, которое получается путем замены в исходном (прямом)уравнении переменной t на - t . Согласно постановке задачи, обратноеуравнение теплопроводности описывает реконструкцию динамики профилятемпературы остывающего стержня, если известно начальное условие в видепрофиля температуры в некоторый момент времени после начала остыва-Глава 13.

Уравнения в частных производных323ния. Таким образом, требуется определить, как происходило остываниестержня. Мы ограничимся самым простым линейным уравнением с D=constбез источников тепла:Эи(х, t)3t(4), t)=Эх2Это уравнение гиперболического типа и оно, несмотря на кажущуюся близость к рассмотренным вариантам уравнения теплопроводности, обладаетвесьма замечательными свойствами.Если попробовать осуществить расчет обратного уравнения диффузии теплапо тем же самым алгоритмам, что и для обычных уравнений (для этого достаточно в листинге 13.1 или 13.2 заменить значение коэффициента диффузии на отрицательное число, например D = - I ) , ТО МЫ получим заведомо нефизичное решение.

Оно показано на рис. 13.5 в виде профилейраспределения температуры для нескольких последовательных моментоввремени. Как видно, решение выражается в появлении все более быстрыхщн—транственных осцилляции профиля температуры для каждого новогомомента времени. Очень существенно, что такое поведение решение являетсянепроявлениемнеустойчивостичисленногоалгоритма(см. разд. «Устойчивость» этой главы), а определяется спецификой самойзадачи.Оказывается, что обратное уравнение теплопроводности принадлежит к довольно широкому классу задач, называемых некорректными. Некорректныезадачи нельзя решать стандартными методами, а для того чтобы с нимисправиться (т. е., чтобы получить осмысленное физическое решение) приходится несколько менять саму их постановку, вводя в нее дополнительнуюаприорную информацию о строении решения.г -Ф\l-1ie,1!-;О-О©~$-ф.^i•«н^Що.г0.6Рис.

13.5. Численное решение обратного уравнения теплопроводностидает совершенно нефизичную картину динамики температуры{см. листинги 13.1, 2 ниже с параметром D=-l)324Часть III. Численные методы13.2. Разностные схемыРассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (3) и на его примереразберем наиболее часто использующийся для численного решения уравнений в частных производных метод сеток. Выпишем еще раз само уравнение„ Э2и(х, t)Эи(х, t)-,dtD+ ф(Х/ t , U) '2Эх«)V'а также и начальноеu(x,0) = uo(x)(6)и граничные условияu(0, t) = ^<t) ,u{L, t) = f ^ t ) .(7)которые необходимы для правильной с математической точки зрения постановки задачи.Основная идея численного решения уравнений в частных производныхочень похожа на метод решения краевых задач для ОДУ, рассмотренныйнами в предыдущей главе.

Основным отличием от ОДУ является необходимость дискретизации уравнения не по одной, а по нескольким переменным(в зависимости от размерности задачи).Таким образом, сначала следует покрыть расчетную область <x,t) сеткой ииспользовать затем узлы этой сетки для разностной аппроксимации уравнения. В результате, вместо поиска непрерывных зависимостей u{x,t) достаточно будет отыскать значения функции в узлах сетки (а ее поведение впромежутках между узлами может быть получено при помощи построениякакой-либо интерполяции). По этой причине дискретное представлениефункции и часто называют сеточной функцией.Поскольку уравнения в частных производных по определению зависят отпроизводных неизвестных функций по нескольким переменным, то способов дискретизации этих уравнений , может быть, как правило, несколько.Конфигурацию узлов, используемую для разностной записи уравнений вчастных производных на сетке, называют шаблоном, а полученную системуразностных уравнений - разностной схемой.

О принципах построения разностных схем, и, в частности, о классах явных и неявных схем, мы уже подробно говорили на примере краевых задач для ОДУ (см. разд. 12.3.1), поэтому, излишне не повторяясь, перейдем к рассмотрению типичныхособенностей уравнений в частных производных, которые возникают приразработке и реализации разностных схем.13.2.1. Явная схема ЭйлераРассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работыГлава 13. Уравнения в частных производных325разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейномууравнениям.Построение разностной схемыИспользуем для решения уравнения теплопроводности шаблон, изображенный на рис.

Характеристики

Список файлов книги