КИ лекция 15 (1077079), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема. Если степенной ряд

(9)

имеет интервал сходимости (−R, R), то ряд

(10)

полученный почленным дифференцированием ряда (9), имеет тот же интервал сходимости (−R, R), при этом , если |x| < R,

т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (9) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (9).

Доказательство. Докажем, что ряд (9) мажорируем на любом отрезке [−ρ, ρ] целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Возьмем точку ξ такую, что ρ < ξ < R. В этой точке ряд (9) сходится, следовательно, , поэтому можно указать такое постоянное число М, что , (n = 1, 2, ...). Если |x| ≤ ρ, то

где . Таким образом, члены ряда (10) при |x| ≤ ρ по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами

Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера. Следовательно, ряд (10) мажорируем на отрезке [−ρ, ρ], и на основании теоремы 3 его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке [−ρ, ρ], т. е.

Так как всякую внутреннюю точку интервала (−R, R) можно заключить в некоторый отрезок [−ρ, ρ], то отсюда следует, что ряд (2) сходится в любой внутренней точке интервала (−R, R).

Докажем, что вне интервала (−R, R) ряд (10) расходится. Допустим, что ряд (10) сходится при х₁ > R. Интегрируя его почленно в интервале (0, х₂), где R < x₂ < x₁, мы получили бы, что ряд (9) сходится в точке х₂ а это противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал (−R, R) есть интервал сходимости ряда (2). Теорема полностью доказана.

Ряд (10) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод:

Теорема. Если степенной ряд сходится в интервале (−R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот же интервал (−R, R).

Характеристики

Список файлов лекций