Тройные интегралы (1077062)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Тройные интегралы.Задача о массе тела с плотностьюQ т. М(x, y, z) - тело Q.Q ( M )   ( x, y, z )  limV 0Тогда разбиение Т-тела в Q наmVс объемом(1)даетmi    M i  Vi   i ,i ,  i  Vinni 1i 1(2)AKF3.RUm  mi   i ,i ,  i  Vid T   maxdi  Qi   0m  limV 0(3)(4)n  , ,  iiiVii 1(5)Определение тройного интеграла.Рис.31. Замкнутая кубируемая область (ЗКуО) QПусть,- объемы многогранников1) существуетисм.(*)V *  inf VQ1(6)Q  Q2иV*  sup VQ1Q1  Q2)V *  V*  V(7)(8)тогда Q-кубируема, а V - его объемAKF3.RUЗамечание:ЗКуО –ограничено.2. Множество меры (объема) нуль (ММ(О)Н)Это множество , которое можно заключить в многограник любогомалого объема.3.

Пример ЗКуО - область с границей из N гладких поверхностью.Гладкая поверхность - такая поверхность, на которой нормальменяется непрерывно от точки к точке.4. Свойства объема-неотрицательность-монотонность-аддитивность-инвариантность5. Пусть в КуЗО Q задана функция f(x, y, z)Сделаем разбиения Т Q на подобластиобъемВозьмемQi (i  1, n)с диаметромd(T)  maxdiСделаем выбор С точек M i c координатами  i , i ,  i Составим интегральную суммуnS T    f i ,i ,  i  Vii 1(8)Определение 1:Если существует конечный предел I ИС S(T), т.е  0    :T : d T    и CS T   I  (9)то I называется тройным интегралом от f по Q, а функцию f(x, y, z) интегрируемой в QТогда:I   f  x, y, z  dxdydz   f  x, y, z  dV  limQd (T )  0Qn f ( x, y, z)Vii 1(10)6.

Физический смысл тройного интеграла:m  limd (T ) 0n  , ,  ii 1iiVi     x, y, z  dxdydz     x, y, z  dVQ(11)QУсловие существования ТИ.Теорема 1.Если функция непреывна, то она интегрируема.Теорема 2.Если f-ограничена в Q и непрерывная всюду кроме ММ(О)Н, то онаинтегрируема.AKF3.RUТеорема 3.Если функции f и g отличны в Q на ММ(О)Н, то если f- интегрируема,то и g - интегрируема и g  x, y, z  dV   f  x, y, z  dVQ(12)QТеорема 4.1Если f и g – интегрируемы, то f×g - интегрируема итожеgинтегрируема.Свойства тройных интегралов.Q - КуЗО, f и g – интегрируемы.Свойство 1. dV  V   dxdydz  VQQ(13)Свойство 2.  f  x, y, z    g  x, y, z   dV    f  x, y, z  dV    g  x, y, z  dVQQ(14)QСвойство 3.Для КуЗО в Q' Q, f - интегрируема и в Q' и в Q"Q"  Q \ Q 'Свойство 4.Если Q  Q1 Q2,intQintQ12то f  x, y, z  dV   f  x, y, z  dV   f  x, y, z  dVQQ1AKF3.RUСвойство 5.Если f(x, y, z)  0,тоQ2 f  x, y, z  dV  0(16)QСвойство 6.(Интегрирование неравенств)Если f(x,y,z)  g(x,y,z) , то f  x, y, z  dV   g  x, y, z  dVQQ(17)Свойство 7.(Оценка ТИ по модулю)Если f - интегрируема, то |f| - интегрируем и f  x, y, z  dV  QСвойство 8.Если в Qm  f(x, y, z)  MQf ( x, y , z ) dV(18)(15)0  g(x, y, z), тоm  g  x, y , z  dV   f  x, y , z  g  x, y , z  dV  M  g  x, y , z  dV (19)QQQСвойство 8’.Если g(x, y, z)  1, тоmV   f  x, y, z  dV  MV(19’)QСвойство 9.Если еще Q линейно связано, f-непрерывна, а g - знакопостоянна, то т.М 0  x0 , y0 , z0   Q,что f  x, y, z  g  x, y, z  dV  f  x , y , z   g  x, y, z  dV000Q(20)QСвойство 10.Если взять g(x, y, z)  1, то f  x, y, z  dV  f  x , y , z VAKF3.RU0Q00(21)Определение 2:Средним интегральным значением функции f в Q называетсяf  x0 , y0 , z0  1f  x, y, z  dVVQm   g  x, y , z  dV  g  x 0 , y 0 , z 0  V(210)(21’’)QЕсли g – непрерывно, а Q – линейно связано, то существуетт.

M 0  x0 , y0 ,z0  Q :Следовательно, среднее значение плотности0    M 0  mV- плотность однородного тела с теми же m и V, что и у неоднородноготела.Вычисление ТИ. Сведение ТИ к повторному.Пустьz-цилиндроидQz   x, y, z  | ( x, y  Dxy ; z1 ( x, y )  z  z2 ( x, y ) (22)Теорема 5.Если существует ТИ от f по Qz , а для  т.

(x,y)  Dxy  О.И.то существует повторный интегралz2 ( x , y ) f  x, y, z  dz(23)z1 ( x , y )z2 ( x , y ) dxdy (  f  x, y, z  dz )Dxy(24)z1 ( x , y )и равен тройному:QzAKF3.RUI   z2  x , y f  x, y, z  dxdydz   dxdy   f  x, y, z  dz  (25) z  x, y Dxy1Частный случай 1 (Поby2 ( x )z2 ( x , y )ay1 ( x )z1 ( x , y ) f  x, y, z  dxdydz  dx  dy  f  x, y, z  dzQz(26)Частный случай 2 (ПоПустьd dyx2 ( y )z2 ( x , y )Qzcx1 ( y )z1 ( x , y ) dx  f  x, y, z  dz(27)x-цилиндроидQx   x, y, z  | ( y, z  Dyz ; x1 ( y, z )  x  x2 ( y, z)I1   f  x, y, z  dxdydz   dydzQzDyzQxx2 ( y , z ) f  x, y, z  dx(29)x1 ( y , z )bz2 ( y )x2 ( y , z )az1 ( y )x1 ( y , z )I 2   f  x, y, z  dxdydz  dy(28) dz  f  x, y, z  dx(30)dy2 ( z )x2 ( y , z )cy1 ( z )x1 ( y , z )I 3   f  x, y, z  dxdydz  dzQxПусть dy  f  x, y, z  dx(31)y-цилиндроидQy   x, y, z  | ( x, z  Dxz ; y1 ( x, z )  x  y2 ( x, z )I1   f  x, y, z  dxdydz   dxdzQyDxzf  x, y, z  dy (33)bz2 ( x )y2 ( x , z )az1 ( x )y1 ( x , z )dx2 ( z )y2 ( x , z )cx1 ( z )y1 ( x , z ) dz  f  x, y, z  dy dx  f  x, y, z  dyAKF3.RUI 3   f  x, y, z  dxdydz  dzQyy1 ( x , z )I 2   f  x, y, z  dxdydz  dxQyy2 ( x , z )(32)(34)(35)ТИ в криволинейных координатахКриволинейные координаты в пространстве.Пусть заданы Ку30 * и Q*И F:R 3  R3 и F: *  Q* x=x( , , )F:  y=y( , , ) z=z( , , )(1)Потребуем, чтобы1) F – биективно2) Непрерывно дифференцируема иxyzxy0zAKF3.RUxD( , ,  ) yJ1 ( , ,  ) D( x, y, z ) z(2)Тогда утверждение 1:1) J сохраняет знак в *2) Существует обратное отображениеF -1: *  Q*   ( x, y , z )   ( x, y , z )   ( x, y , z )Которое биективно(3)x3) J1 ( , ,  )  D( , ,  )  D ( x, y , z )xxТак какJ1 J1J110Jyyyz0zz(4)(5)(6)4) Элемент объема области Q* есть dV  dxdydzВ декартовых координатах Oxyzdxdydz  J ( , ,  ) d  d d  - в криволинейных координатах(7)Доказательство:(8)AKF3.RUVR*   J ( , ,  ) d d dПусть A1 ( , ,  ) даем приращение по Е :A5 (   , ,  )A4 ( ,   ,  )A2 ( , ,    )Всемалы!Если Ai (  i ,  i ,    i ) ,тоBi ( x  xi , y  yi , z  zi )Тогда B1B5   x5 , y5 , z5 Из (1) : x5 y5 xxx 0 0x (10) xyzB1B5     ;   ;    Аналогично xyzB1B4     ; ;  (11) xyzB1B2     ; ;  (12)При малых криволинейные отрезки будут ближе к отрезкампрямолинейных.(криволинейный параллелепипед будет близок к косоугольному с объемом:B1 B4y yy zx zx    zx AKF3.RUV ДК  B1 B5x xB1 B2 x yyyzz J ( , ,  )   zV ДК(14)Следовательно модуль Якобиана, равный J ( , ,  ) V  (15)дает коэффициент сужения объема при переходе от криволинейныхкоординат к декартовым координатам, тогда для бесконечно малых реберd , d , d  в криволинейных координатах:dVкр.к  d , d , dИ из (15) :dV ДК  J ( , ,  )  d  d d (16)То есть доказали (7)Докажем (8) по аддитивности объема (свойству объема):VQ*   1  dVQ*   J ( , ,  )  d  d d (17)QТаким образом доказали (8).Сформулируем теорию о замене переменных в ТИ:Теорема 1: В условиях (1) , (2) утв.1 и если f(x,y,z) непрерывна в Q ( илиограничена или непрерывна всюду кроме ММ((0)Н ) f ( x, y, z)dxdydz   f ( x( ,,  ), y( ,,  ), z( ,,  )) J ( ,,  )  d dd(18)*QЦилиндрические координаты.В цилиндрических координатах: (рис.2.8 стр.119)x  r cos y  r sin AKF3.RU(19)zz r (20) zxrD( x, y, z ) yJ ( , ,  )  J ( r ,  , z )D(r ,  , z ) rzrxyzxzcos y sin z0zzr sin  0r cos 0(21’)J (r ,  , z )  r(21)dV ДК  rdrd dz(22)V   rdrd dz(23)*0 11cos r sin sin r cos  r (cos 2   sin 2  )  rI   f ( x, y, z )dxdydz   f (r cos  , r sin  , z)rdrd dz(24)*QСферические координаты.Рассматривают две разновидности сферических координат.Разновидность 1 сферических координат.В сферических координатах: Рис.2.12 стр.

124x  r sin  cos y  r sin  sin (25)z  r cos rAKF3.RU  sin  cos D ( x, y , z )J ( , ,  )  sin  sin D(r ,  , )cos r sin  sin r cos  cos r sin  cos r cos  sin 0r sin sin  cos  sin  cos  cos =  r sin  sin  sin cos cos  sin 0 sin 2cos =  r 2 sin  (cos ( sin 2   cos  cos2  cos   sin  (sin  cos 2   sin  sin 2  ) = r 2 sin    cos 2   sin 2    r 2 sin (26)ПРОДОЛЖЕНИЕРазновидность 2 сферических координат.В сферической СК1 рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги