Соболев С.К. - Двойные интегралы (1077059), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Всякая элементарная функция(8) одной или нескольких переменныхнепрерывна во всех точках, где определена.(5) Полярные координаты на плоскости задаются началом отсчета точкой Р, называемойполюсом, и выходящей из неё лучом, называемой полярной осью. Полярные координатыточки М – это пара чисел (ϕ ; r ) , где φ – ориентированный угол между полярной осью ивектором PM , а r = PM ≥ 0 – расстояние между точками М и Р (вместо латинскойбуквы r иногда используется греческая буква ρ). Если совместить полярную и декартовусистемы координат естественным образом, т.е.
так, чтобы полюс Р совпал с началомкоординат О, а полярная ось совпала с положительным направлением оси ОХ, тодекартовы координаты M ( x; y ) и полярные координаты M (ϕ ; r ) будут связанысоотношениями:x = r ⋅ cosϕ , y = r ⋅ sin ϕ , x 2 + y 2 = r 2 .(6) Якобиан – дополнительный множитель, появляющийся в двойном интеграле припереходе от декартовых координат к другим координатам.В общем случае якобианом системы двух дифференцируемых функций двухпеременных f ( x, y ) и g ( x, y ) называется определительJ ( x, y ) =∂f∂x∂f∂y∂g∂x∂g∂y.Пусть при замене переменных в двойном интеграле старые координаты х, увыражаются через новые координаты u, v посредством функций x = x (u, v ), y = y (u, v ) ,которые имеют непрерывные частные производные в области Е, и при отображениипосредством этих функций область Е переходит в область D, а якобиан J (u, v ) системыэтих функцийAKF3.RUС.К. Соболев.
Двойные интегралыJ ( u, v ) =∂x∂u∂x∂v20∂y∂u∂y∂vне обращается в ноль в области Е, за исключением, быть может, нескольких точек. Тогдасправедлива формула:∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x(u, v ), v( x, y ) ⋅ J (u, v ) ⋅ dudvDEВ случае перехода к полярным координатам(5) x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , соответствующийякобиан равен∂x∂rJ ( r ,ϕ ) =∂r∂ϕ∂ycosϕsin ϕ∂r==r.∂y− r sin ϕ r cos ϕ∂ϕ(7) Центрóид геометрической фигуры D – это центр масс этой фигуры, наделеннойпроизвольной постоянной плотностью, например, равной единице.
Координаты центроидаC ( x0 ; y0 ) плоской фигуры D находятся по формулам:x0 =MyMx, y =, где M x = ∫∫ x ⋅ dxdy , M y = ∫∫ y ⋅ dxdy , S ( D ) = ∫∫ dxdy .S ( D) 0 S ( D)DDD(8) Элементарная функция – функция, заданная одной формулой и построенная спомощью четырех арифметических действий и операции композиции (взятия сложнойфункции) из простейших функций: константа, степенная, логарифмическая, показательнаяи логарифмическая, основные тригонометрические и обратные к ним.(9) Цилиндрическая поверхность – поверхность, полученная поступательнымдвижением в пространстве некоторой прямой, пересекающей некоторую линию L,называемой направляющей цилиндрической поверхности, и остающейся параллельнойнекоторой фиксированной прямой.
Каждая из прямых, составляющих цилиндрическуюповерхность, называется её образующей. Если поверхность задана в пространствеуравнением с двумя переменными, то эта поверхность – цилиндрическая, образующаякоторой параллельна оси, одноименной с отсутствующей переменной.(10) Гиперболоид – поверхность в пространстве, заданная каноническим уравнением (сточностью до перестановки переменных):2x2 + y − z2 = ±1.a 2 b2 c 2Знак «плюс» справа соответствует однополостному гиперболоиду, а знак «минус» –двуполостному. При a = b гиперболоид является поверхностью вращения, а именно онможет быть получен вращением вокруг оси OZ гиперболыx2 − z 2 = ±1 .a2 c2(11) Параболоид – поверхность в пространстве, заданная каноническим уравнением (сточностью до перестановки переменных):2x 2 ± y = 2 z , где p, q > 0 .pqAKF3.RUС.К. Соболев.
Двойные интегралы21Вершина такого параболоида находится в начале координат. Знак «плюс» слевасоответствует эллиптическому параболическому, а знак «минус» – гиперболическому. Впервом случае при p = q параболоид называется круговым, или параболоидом вращения,т.к. может быть получен вращением вокруг оси OZ параболы x 2 = 2 pz . Второй(гиперболический параболоид) имеет форму седла.( x − x0 )2 ( y − y0 )2±= ( z − z0 ) задает «смещенный» гиперболоид с вершинойa2b2в точке V ( x0 ; y0 ; z0 )Уравнение(12) Четная функция – функция f ( x ) , область определения D которой симметричнаотносительно нуля, и для которой f ( − x ) = f ( x ) для всех x ∈ D . Нечетная функция –функция f ( x ) , область определения D которой симметрична относительно нуля, и длякоторой f ( − x ) = − f ( x ) для всех x ∈ D .(13) Гульдин Пауль (1577–1643) – швейцарский математик. Написал работу о центрахтяжести тел, в которой также трактуются вопросы о поверхностях и объёмах тел.
С егоименем связан ряд теорем для определения объёмов и поверхностей тел вращения.(14) Центр масс конечной системы материальных точек P1, ..., Pk , в которыхсосредоточены массы m1, ..., mk , – это такая точка С, что1OC =( m ⋅OP1 + ... + mk ⋅ OPk ) ,m1 + ... + mk 1где О – точка отсчета. Положение точки С в пространстве не зависит от выбора точкиотсчета О. Декартовы координаты центра масс C ( x0 ; y0 ; z0 ) выражаются черезкоординаты точек Pi ( xi ; yi ; zi ), i = 1, ..., k по формулам:x0 =1( m ⋅ x + ...
+ mk ⋅ xk ) , y0 = m + ...1 + m ( m1 ⋅ y1 + ... + mk ⋅ yk ) ,m1 + ... + mk 1 11k1( m ⋅ z + ... + mk ⋅ zk ) .m1 + ... + mk 1 1В случае непрерывного распределения массы (вдоль линии, по поверхности илипространственному телу) для определения положения центра масс нужен интеграл.z0 =AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы22СодержаниеПредисловие ·································································································································21.
Понятие двойного интеграла ································································································21.1. Определение и интерпретация двойного интеграла ···························································21.2. Свойства двойных интегралов ·····························································································32. Вычисление двойного интеграла ·······················································································42.1.
Повторный интеграл ··············································································································42.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах ···········································42.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах ··············································53. Приложения двойных интегралов ·····················································································83.1. Геометрические и физические приложения двойного интеграла ·····································83.2. Примеры на приложения двойных интегралов ···································································94.
Особенности вычисления двойных интегралов ·····························································134.1. Вычисление двойного интеграла от распадающейся функции ·······································134.2. Расположение декартовой системы координат при вычисленииплощади поверхности и объема тела в пространстве ······················································14Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения ··························16Ответы к задачам для самостоятельного решения ·························································· 18Литература ·································································································································18Глоссарий ·································································································································· 19Содержание ································································································································22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
